Sommen op proef

Onderwijs

Hoe leer je kinderen het beste rekenen? Met verschillende rekenoplossingen? Of juist maar één? De experts twisten.

Opgave: Nadine fietst elke dag naar school en gaat tussen de middag naar huis. Ze woont 2,380 km van school. Hoeveel kilometer fietst ze op een dag? Erin (1), Mohammed (2) en Natasja (3) doen het elk anders.

Vermenigvuldigingen waarover een volwassene niet nadenkt, zijn soms razend moeilijk voor een kind op de basisschool. Als leraar in opleiding was ik in de afgelopen maanden intensief op zoek naar de beste manier om dergelijke sommen uit te leggen. En belandde zo in een wetenschappelijke loopgravenoorlog.

Neem de opgave in de voorlaatste editie van de rekenmethode Alles telt (2001), waarin kinderen moeten uitrekenen hoeveel kilometer een meisje per dag moet fietsen (zie illustratie rechts). In de groep 8 waar ik les gaf, riep ik drie vlot rekenende kinderen naar voren. Ik liet hen elk één van de drie oplossingsmethoden uit het tekstboek demonstreren. Daarna besprak ik klassikaal de resultaten.

Een goede aanpak? Nee, zegt hoogleraar leeromgevingen Egbert Harskamp (Rijksuniversiteit Groningen): “Experimenteel onderzoek laat zien dat het beter is om per rekenonderdeel [optellen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen, breuken, procenten] één oplossingsmethode aan te bieden. Dat geldt voor zwakke én voor gemiddelde rekenaars.”

Een review over wat werkt in de rekenles heeft Harskamp zojuist aangeboden aan het International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Kinderen leren volgens hem sneller en beter rekenen als ze gebruikmaken van plaatjes en later schema’s, zoals mensen die een bus in- of uitstappen (busmodel voor optellen en aftrekken). Welke plaatjes of schema’s het best werken valt uit de literatuur niet op te maken. Wél is het volgens Harskamp duidelijk dat meesters en juffen visuele modellen en rekenmethoden niet te veel door elkaar mogen gooien.

Harskamp zet zich zo af tegen het Realistisch rekenen, ontwikkeld door wiskundige Hans Freudenthal en sinds 1990 doorgevoerd in het merendeel van de Nederlandse rekenmethoden. Hiermee leren kinderen rekenen met situaties uit hun eigen belevingswereld (snoepjes verdelen, geld betalen). De verscheidenheid aan oplossingswijzen wordt voor lief genomen.

Kinderen raken daarvan in de war, zeggen makers van traditionele rekenmethoden zoals Reken zeker. Zij leren kinderen één oplossingswijze per rekenonderdeel en laten die vervolgens hard oefenen.

Over wat het beste werkt, voeren beide kampen al jarenlang een loopgravenoorlog. Volgens Harskamp werken de Realistische Rekenaars met “verouderde standpunten” die nooit wetenschappelijk getoetst zijn. Onderwijskundige Marja van den Heuvel van het rekeninstituut Freudenthal bestrijdt dat: “Het is gewoonweg dom om kinderen één vaste rekenwijze aan te bieden.”

De Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen concludeerde in 2009 dat er geen wetenschappelijk gefundeerde uitspraak kan worden gedaan over de superioriteit van één van beide concepten.

Voor een methodemaker of een leraar die evidence based wil werken is de controverse een probleem. Als er al gedeelde inzichten bestaan, dan geven de opponenten dat pas toe nadat er meermalen om is gevraagd.

Methodemakers hebben hun conclusies al getrokken. Leerboeken die in één les meerdere oplossingen tonen zijn “achterhaald”, zegt onderwijskundige Sietske Zagers van ThiemeMeulenhoff, uitgever van Alles telt: “De som met het fietsende meisje komt uit de eerste editie van 2001. Die is op veel scholen nog in gebruik, maar in de meest recente druk van 2011 lossen we het anders op. De meeste methodemakers zijn het erover eens dat je klassikaal één rekenstrategie of visueel model moet behandelen.”

Maniertje

Ook Else Simons van Malmberg, uitgever van de veelgebruikte methode Pluspunt, vindt dat zwakke leerlingen niet geconfronteerd moeten worden met veel verschillende oplossingsmethoden: “Dat hebben we ook te horen gekregen van de scholen. Wat dat betreft is er in onze jongste uitgave van 2009 ten opzichte van 2001 al veel verbeterd.”

Maar Harskamp gaan de veranderingen niet ver genoeg: “Methodemakers blijven werken met verschillende oplossingswijzen”, zegt hij. “Dat is een probleem, ook als het niet binnen één les gebeurt.”

Harskamp erkent na enig aandringen wél dat het traditionele rekenen uit de tijd voor Freudenthal vaak te abstract was: “Het sommen maken werd vaak een maniertje”, zegt hij. “Het Realistische Rekenen heeft ook terecht gewezen op het belang van de toepassing van rekenkennis in voorstelbare situaties.”

Ook aan de zijde van het Freudenthal Instituut valt beweging te bespeuren. In antwoord op Harskamps kritiek dat methodemakers oplossingswijzen te veel door elkaar gooien, zegt Van den Heuvel: “We kennen in Nederland geen staatsdidactiek. Methodemakers kunnen met onze inzichten doen wat ze willen.” Harskamp reageert triomfantelijk: “Kennelijk twijfelt Van den Heuvel nu ook aan de kwaliteit van realistische rekenmethodes, net als ik.”

In een goed gestructureerde methode, zegt Van den Heuvel, sluiten visuele modellen aan op een ontwikkelingsfase van het kind. “Modellen groeien met de kinderen mee”, zegt zij. “Kinderen beginnen met de kralenketting, een concreet model. Dan volgt een getallenlijn. Bij het aanleren van breuken en procenten verandert die in een strook [breuk als deel van een strook papier] en ten slotte een verhoudingstabel [waarin gelijke verhoudingen overzichtelijk naast en onder elkaar staan].”

In zo’n aanpak kan Harskamp zich ten dele vinden. “Maar ga bij het optellen en aftrekken van breuken nou niet een strokenmodel mixen met een verhoudingstabel. Voor veel leerlingen is één manier van rekenen al moeilijk genoeg.”

Volgens Van den Heuvel is de kern van het realistisch rekenen dat de leerkracht probeert verder te bouwen op wat leerlingen al kunnen. Onlangs nog toonde ze aan dat ook heel zwakke rekenaars (58 kinderen uit het speciaal onderwijs met een leerachterstand van enkele jaren) beter uit de voeten kunnen met aftreksommen als ze de kans krijgen om het sommetje 62 – 58 uit te rekenen door op te tellen: 58 + 2 + 2 (Educational Studies in Mathematics, februari 2012). “Dat bewijst dat ook zwakke rekenaars baat hebben bij verschillende oplossingswijzen”, zegt Van den Heuvel. “Volgens procedurele [traditionele] rekenmethodes zou zoiets niet mogen. Daar worden optellen en aftrekken gescheiden.”

Harskamp erkent dat het voor een leraar die werkt met groepjes van drie of vier leerlingen heel goed kan zijn om oplossingswijzen te gebruiken die kinderen passen. “Maar in een groep met 25 tot 30 leerlingen is het anders”, zegt hij. “Dan kun je onmogelijk alle leerlingen feedback geven op hun eigen oplossingsmethode. Computerprogramma’s kunnen dat in de toekomst misschien wel, maar zover is het nog niet. Tot die tijd moeten we leerlingen een eenduidige standaard aanpak aanleren.”