Vliegverkeer

Twee toeristen hebben een tocht gemaakt van hun hotel in het dal naar de top van een nabijgelegen berg. Ze vertrokken om 3 uur, nu loopt het tegen de avond. Ze denderen de berg weer af, terug naar huis. “Hoe hard gaan we”, hijgt de jongste. Precies 6 mijl per uur, zegt de oudste. “Sneller dan toen we omhoog gingen, hè?” Ja, toen gingen we 3 mijl per uur. “En in het vlakke dal?” Daar liepen we 4 mijl per uur. “Ik hoop dat we het avondeten nog halen”, zucht de jongste. We halen alleen het toetje, zegt de oudste, we zijn er pas om 9 uur. En dan zegt hij: vertel mij eens hoeveel mijl we vandaag gelopen hebben als we weer thuis zijn.

Zo klinkt een aangeklede som uit de bundel A tangled tale (1885) van de wiskundige C.L. Dodgson, beter bekend als Lewis Carroll van Alice in Wonderland. Het is een rare kwestie die in eerste oogopslag onoplosbaar lijkt. Maar wie het horizontale dal-traject gelijk stelt aan x mijl en het berggedeelte aan y mijl en kalm doorcijfert, die merkt dat hij de som van x en y berekenen kan zonder de afzonderlijke waarden van x en y te kennen. x + y = 12. Carroll heeft het zaakje behendig geprepareerd: het heen-en-weer per mijl over vlak terrein duurt even lang als het heen-en-weer per mijl op de berg. Met willekeurige andere snelheden lukt het niet. Er zijn mensen bij wie zulke raadsels ergernis opwekken.

Nu naar de onderwijzer Leonard Roggeveen, vooral bekend van De ongeloofelijke avonturen van Bram Vingerling (1927). Roggeveen had een zwak voor wetenschap en techniek en bovendien voor raadsels en spelletjes - sommige mensen hebben dat. In 1952, toen hij was uitgeschreven over Okkie Pepernoot en Jantje Kwak, bundelde hij spelletjes en raadsels in het boek: ‘Doe je mee?’ Eentje gaat zó: Twee wandelaars lopen elkaar op een rechte weg met een snelheid van 5 km/h vanuit de punten A en B tegemoet, A en B liggen 10 km uit elkaar. Op het moment van vertrek vliegt een vlieg met 10 km/h van wandelaar A naar wandelaar B. Zodra hij B treft draait hij om en keert terug naar A. En zo verder. Hoeveel km legt deze vlieg af voor A en B elkaar ontmoeten?

Het is een klassieker, helder genoeg geformuleerd, maar niet eenvoudig op te lossen. Weer is het handig om de onbekenden x en y in te voeren. De vlieg heeft een afstand x afgelegd als hij wandelaar B ontmoet, B heeft dan een afstand y afgelegd, met: x + y = 10. Ook geldt: x/10 = y/5, want over de twee trajecten deden beiden even lang. Daaruit volgt dat de vlieg 6,67 km heeft gevlogen als hij B treft. De andere kant op, richting A, gaat weer net zo, dan wordt het 2,22 km. Als hij opnieuw bij B is staat het totaal al op 9,63 km. Weer bij A: 9,88. Een heel gedoe.

Allemachtig, roepen de raadsel- en spelletjestypes, weet je dan niet dat dit veel eenvoudiger kan. Wandelaar A en B ontmoeten elkaar na een uur, de vlieg vliegt dus ook een uur en hij legt precies 10 km af.

O, de ergerlijke triomf van types die ook altijd onmiddellijk weten hoe je een ronde taart met drie keer snijden in 8 gelijke stukken verdeelt. Zou het samenhangen met intelligentie? Het is maar te hopen voor ze. Ze hebben gelijk maar de eerste benadering is zoveel interessanter. Hoe vaak vliegt de vlieg heen en weer? Daar komen die spelletjestypes niet achter. Hou je rekening met de tijd die hij nodig heeft voor afremmen, landen, keren en opnieuw versnellen (samen één seconde), dan is het na een keer of 8 wel gebeurd. En er is meer waar de spelletjesmens niet achter komt. Wie het systeem ontdekt in de almaar kortere vliegenvlucht stelt vast dat de totale vluchtlengte wordt weergegeven door 20 (1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ... ), waarbij de stippeltjes aangeven dat de reeks almaar doorgaat.

De vlieg leert ons dus dat de som van 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + ... toch eindig is en wel precies gelijk aan 0,5. Een normaal mens had dat niet durven denken. Kijk het na bij ‘meetkundige rij’ of bij ‘geometric series’. Of dit geldt als een waterdicht bewijs valt nog te bezien, wiskundigen zijn daar niet makkelijk in. Wie zijn klassieken kent, realiseert zich dat Zeno en Aristoteles juist uit het oneindige aantal wendingen dat de vlieg kan maken hadden afgeleid dat A en B elkaar nooit zouden ontmoeten. Maar ja, dat waren filosofen.

Waar wil hij toch heen, denkt de lezer. Wel, er is een klein reisprobleem dat al jaren in de la ligt. En wel dit: als ik op een lange autoweg rijd en het aantal auto’s dat ik inhaal is precies even groot als het aantal dat mij inhaalt rij ik dan precies met de gemiddelde snelheid?

Opeens wil de rekenaar het weten. Gemakshalve kiest hij voor een getallenvoorbeeld: 70 procent van de auto’s op een baanvak van 100 km lengte rijdt 120 km/h, 15 procent rijdt 100 en 15 procent rijdt 140. Zoiets. Om te voorkomen dat het een rommeltje wordt in zijn hoofd neemt hij aan dat elke snelheidsklasse een eigen rijstrook heeft en dat de auto’s daarop met onderling gelijke afstanden keurig achter elkaar rijden. Het inhalen gaat dus zonder dat er gestuurd en ingevoegd hoeft te worden. Wie het zijn hoofd extra makkelijk wil maken stelt zich voor dat de stroken bewegen en dat de auto’s daarop stil staan. Drie stroken met drie snelheden. Nog concreter: 1.400 auto’s op de middenstrook die met 120 km/h schuift, en 300 elk op de langzamere en snellere strook aan weerszijden.

Zo overzichtelijk is het nu dat de rekenaar onmiddellijk vaststelt: ja, de gemiddelde snelheid is precies 120 km/h en, ja, wie die snelheid aanhoudt ziet evenveel langzamere als snellere auto’s voorbijschuiven.

Nu gaat hij op een viaduct staan en telt een half uur hoeveel auto’s er van elke snelheid onder hem doorrijden. Dat zijn er 840 met een snelheid van 120 km/h, 150 met een snelheid van 100 km/h en 210 met een snelheid van 140 km/h. Hij vermenigvuldigt, telt op en deelt en stelt vast: de gemiddelde snelheid van deze 1.200 auto’s is precies 121 km/h. Daarna weet hij dat het tijd wordt om vakantie te nemen.