3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459231

Karel Knip

Morgen is het pidag. Wereldpidag, om precies te zijn. Dan zijn er weer pifestiviteiten, openen pimusea hun deuren en worden er thuis pikoekjes gebakken.

’t Zit zo: morgen is het 14 maart en dat kun je schrijven als 14/3 zoals wij hier doen, maar ook als 3/14 zoals Amerikanen doen, of liever nog: 3.14. En dan staat daar zomaar de waarde van pi in twee decimalen. Wie dus voortaan onthoudt dat het een week voor het begin van de lente altijd pidag is (en niet een week voor het begin van de herfst, natuurlijk, en zeker niet een week ná het begin van de herfst) en dat je 14 maart schrijven moet als 3.14 en niet als 14.3, laat staan 1.43, die kan voortaan moeiteloos onthouden hoe groot pi is. Eindelijk.

Pi, voor de goede orde, is de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. Ook geschreven als π. Hij kwam hier een paar jaar geleden ook al ter sprake maar toen bestond er nog geen traditionele pidag. Nu wel, want pi is in. Mensen vinden pi magisch.

Wat zou de amateuronderzoeker nog van π willen weten? Vijf jaar geleden ging het hier over de vraag hoe men in hemelsnaam in de Bijbel (II Kronieken 4:2 en I Koningen 7:23) heeft kunnen aannemen dat π gelijk was aan 3 terwijl uit het eerste het beste onderzoek blijkt dat het meer moet zijn. Je kunt het met een touwtje nameten, je kunt ook even met een passer een regelmatige zeshoek construeren binnen de cirkel die je onderzoekt. Met de punten van de zeshoek op de cirkel. De zes zijden van de zeshoek hebben dan elk de lengte van de straal r van de cirkel en de omtrek van de zeshoek is 6r. De diameter van de cirkel is 2r en zo zie je in één oogopslag dat π groter is dan 3. Een rond watervat dat 10 el meet van rand tot rand kan geen omtrek van 30 el hebben. Dat Salomo dit niet zag!

Archimedes zag het wel. Hij zag zelfs dat hij de regelmatige zeshoek kon gebruiken om de waarde van π heel precies te berekenen. Uit de zeshoek is in een wip een 12-hoek geconstrueerd met zijden waarvan de lengte makkelijk heel precies is te berekenen. Er is niet meer voor nodig dan kennis van de stelling van Pythagoras en weten hoe te worteltrekken. Of zelfs dat niet, want de wortel in kwestie is √3 en de waarde daarvan vind je ook wel met herhaald proberen.

Zo berekent een mens-zonder-hulpmiddelen binnen een paar minuten dat π ook zeker groter moet zijn dan 3,106 en dan gaat hij vervolgens naar de 24-hoek en doet het spelletje opnieuw. Het is een vervelend karwei, maar er kan niets misgaan en als je Archimedes heet en je doet het voor het eerst en voor de eeuwigheid dan neem je die moeite.

Archimedes werkte van twee kanten, hij sloot de te analyseren cirkel in in regelmatige veelhoeken die er binnen pasten en die er omheen waren te tekenen. Met die laatste vond hij ook een bovengrens voor de waarde van π. Wie bereid is lang genoeg door te rekenen kan net zo goed uitsluitend met alleen maar binnen-veelhoeken werken.

Het vreemde is dat Archimedes in principe helemaal niet zoveel rekenwerk had. Hij had een eenvoudige formule gevonden waarmee hij de zijdelengte van elke volgende veelhoek uit die van de vorige afleidde. Dus die van de 12-hoek uit de 6-hoek, die van de 24-hoek uit de 12-hoek enzovoort.

Zo staat het beschreven in het mooie boekje ‘Pi – de geschiedenis en de wiskunde van het getal π’ van Frits Beukers (Epsilon Uitgaven, 2002). Met de toevoeging dat Archimedes toch al stopte bij de 96-hoek, omdat het rekenwerk hem te veel werd. Wat de buitenstaander makkelijk vergeet is dat het rekenen zonder het moderne Arabische cijferschrift, inclusief de 0, geen pretje was. Het zal wel zo zijn dat Archimedes zijn cirkel wilde insluiten tussen binnen- en buitenveelhoeken omdat hij gek werd van het rekenen.

Het pi-boekje legt ook uit hoe Archimedes aan de genoemde eenvoudige formules kwam, maar daarbij zet Beukers een stap die de AW’er niet helemaal volgen kan. Volgens Beukers gebruikte Archimedes formules van het soort sin 2α = 2sinα cosα . De vraag is of die formules toen al beschikbaar waren. Echte goniometrie schijnt in het werk van Archimedes niet voor te komen (wikipedia: history of trigonometry) maar hij ontwikkelde wel middelen voor het berekenen van de lengte van koorden (zoals de lijnstukken AB en AC). Wie erover nadenkt realiseert zich dat de sinus van hoek α een maat is voor de lengte van de koorde die in de cirkel staat over hoek 2α (en wel: de helft).

Dat is wat de geschiedenis van de wiskunde zo ingewikkeld maakt. Je weet nooit precies welke kennis op welk moment waar al beschikbaar was. Kon Archimedes de stelling van Pythagoras al kennen? Ja dat kon. Kende hij hem ook? Dat moet je dan weer opzoeken.

De take home message is dat een middelbare scholier ook zonder zakjapanner Archimedes moeiteloos verslaat in het berekenen van π louter en alleen dankzij de beschikbaarheid van het Arabische cijfersysteem.

Leuk om te weten is dat een mens-zonder-hulpmiddelen ook zelf sinus-waarden kan berekenen. Daarvoor is immers geen kennis van π nodig! De sinus-waarden voor 0, 30, 45, 60 en 90 graden liggen voor de hand. Alle overige waarden zijn te vinden. Er zijn formules voor dubbele en halve hoeken en voor hoekcombinaties, zoals die hierboven, waarmee de sinus van elke andere hoek te benaderen is. Een heidens werk, maar het kan.

Volgende keer: zelf logaritmen berekenen.