Dit is een artikel uit het NRC-archief
Bekijk hele krant

NRC Handelsblad

Wetenschap

Onderstebovenlepel

Karel Knip

Deventer schrijft. Nog gewoon op papier en met eigen hand. “Voor mijn raam hangt een dun nylon gordijn tegen de zon. Kijk ik ’s nachts door dit textiel naar neonlampen op 1 à 2 kilometer afstand dan zie ik het patroon van het weefsel sterk vergroot. Voor elke lamp verschijnt een structuur die het best te vergelijken is met die van een oudhollands wafeltje dat wij vroeger een kniepertje noemden. Bizar is: als ik mijn hoofd naar links of rechts beweeg dan zie ik niet de draden voorbij schieten. Het beeld beweegt zich slechts statisch met mijn hoofd mee. Ik dacht eerst: het ligt aan mijn 87 jaar oude ogen. Maar later bleek dat hetzelfde optrad bij een zijden zakdoek.”

Lezer Wim F. vraagt om een verklaring. Die ligt kant en klaar voor het oprapen in deel één van het hier veel genoemde standaardwerk De natuurkunde van ’t vrije veld. Auteur prof. dr. M. Minnaert zag al voor de oorlog hetzelfde als hij door het weefsel van een paraplu naar een verre lantaarn keek. Letterlijk: ‘Wat u ziet is bepaald niet het weefsel zelf: want als u de paraplu beweegt blijft het patroon op zijn plaats.’

Het blijkt een buigings- en interferentiepatroon, het weefsel treedt op als optisch rooster. Het verschijnsel is het mooist voor heel verre lantaarns die bijna puntvormig lijken. Minnaert besteedt niet veel woorden aan de verklaring: ‘De elementaire theorie staat in elk schoolboek’.

Bijna iedereen heeft het fenomeen vroeg of laat te zien gekregen, al was het maar als er door dun tentdoek naar een ver licht werd gekeken. Weinigen hebben er aandacht aan besteed, en nog minder mensen kwamen aan een correcte duiding toe, zelfs als de elementaire kennis niet ontbrak. Minnaert laat losjes weten dat de golflengte van licht uit het patroon is af te leiden.

Dit is het droevig lot van de geometrische optica. De basisregels zijn au fond eenvoudig maar vroeg of laat vergeet je ze in de juiste volgorde toe te passen. Vandaag komen we weinig verder dan deze constatering en een paar voorbeelden van kwesties die door het tekort bleven liggen. Hoe bepaalt de amateur de brandpuntsafstand van een negatieve lens, zo’n lens die niet in staat is een reëel beeld te vormen – bijvoorbeeld het brilleglas van een bijziende. Dat is zo’n kwestie. De bolle lens, het positieve brilleglas van de verziende heeft een tastbaar brandpunt waarin te branden valt als de zon schijnt. Zijn brandpuntsafstand meet je met een liniaal. Maar die van de negatieve? Door zijn positieve invloed op de brandpuntsafstand van de bolle lens? Of door de uitwaaiering van de lichtbundel die uit de lens treedt als deze op de lichte hemel is gericht?

Andere kwestie: is de werking van zo’n spionnetje in de voordeur met een tweede lenzenstelsel zó om te draaien dat je toch bij de optisch gebarricadeerde bewoner naar binnen kunt kijken? Zo niet, waarom niet?

Wat zie je als je precies vanuit zijn brandpunt kijkt naar het midden van een mooie, grote holle spiegel? Deze vraag is blijven hangen uit de tijd dat een fascinatie voor holle en bolle spiegels ontstond tijdens maaltijden die te lang duurden. Je keek tegen de bolle kant van een goed gepoetste lepel aan en je zag jezelf rechtop zitten. Keek je tegen de holle kant, dan zat je ondersteboven. Maar bracht je de lepel steeds dichter naar je gezicht dan sloeg het beeld opeens om. Met de aardappelopscheplepel ging dat het best. De omslag vond plaats in het brandpunt, weet je nu, maar wat zág je nu precies tijdens de omslag?

Enfin, dit soort waarnemingen en proeven. Een niet te doorgronden wiskundige verhandeling die een half jaar geleden verscheen werd in een persbericht geïllustreerd met de foto van het lichtpatroon dat hiernaast ook is te zien in de geëmailleerde Chinese kroes. Niemand die het beeld niet kent, toch wordt het in schoolboeken meestal niet behandeld. Wat er in twee dimensies voor een cilinder wordt getoond is dat een holle spiegel die sferisch is, dat wil zeggen: een deel van een zuivere bol, er niet in slaagt een bundel evenwijdige lichtstralen in een brandpunt te verenigen. Het onvermogen heet ook wel de sferische aberratie.

Het hartvormige patroon, in de wiskunde met cardioïde aangeduid, is de weergave van een stralenbundel die in de optica wel een brandkromme of een caustische kromme wordt genoemd. Met ‘caustic surface’ geeft Google nog meer voorbeelden. Op www.math.harvard.edu is een applet te vinden van Roy Williams Clickery waarmee de cardioïde zelf is te te produceren (‘The coffee cup caustic’). Wat je daar duidelijk ziet is dat hij automatisch ontstaat als per invallende lichtstraal en per getroffen oppervlak uitsluitend de regel wordt gevolgd dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van terugkaatsing. Niets meer. Het verrassende patroon is een wiskundige noodzakelijkheid.

Zoals met enige moeite ook aan de reflector van de koplamp van de fiets is te zien, moet een holle spiegel een paraboloïde zijn om een bundel evenwijdig licht in een klein brandpunt te kunnen verzamelen. (Of om met behulp van een gloeilampje in dat brandpunt licht in een evenwijdige bundel weg te zenden.) Aardig genoeg neemt het oppervlak van een vloeistof die in rotatie wordt gebracht, bij voorbeeld door er met een lepel in te roeren, precies de vorm aan van een paraboloïde. Zo kun je makkelijk perfecte spiegels maken door een vloeistof in rotatie te brengen die onder het draaien langzaam uithardt, bijvoorbeeld een polymeriserende plastic.

Hoe de Pringles hier op het plaatje gemaakt worden is onbekend. Wiskundigen voeren ze juichend op als alledaags voorbeeld van hyperbolische paraboloïden. Voor de AW-redactie is niet zomaar duidelijk waaraan je ziet dat het geen parabolische hyperboloïden zijn. Of parabolische paraboloïden.