Piramides husselen in de computer levert compacte stapeling op

Door virtueel een paar duizend piramides in een doos heen en weer te schudden en samen te drukken hebben Amerikaanse onderzoekers een verrassend compacte stapeling ontdekt. Nooit heeft iemand méér piramides in een doos gekregen (Nature, 10 december).

Pakkingsproblemen houden wiskundigen al eeuwenlang bezig. Voor identieke bollen weten we allemaal wat de meest efficiënte stapeling is – kijk maar naar de sinaasappelstapel bij de groenteboer. De astronoom Kepler sprak in 1611 het vermoeden uit dat ze op deze manier de ruimte optimaal (voor iets meer dan 74 procent) vullen, iets wat overigens pas in 1998 kon worden bewezen.

De meest efficiënte pakking van andere regelmatige vormen bleef echter heel lang een raadsel. Een paar jaar geleden zijn er wiskundige simulaties ontwikkeld waarmee in de computer de ‘vullingsgraad’ wel berekend kan worden. Tal van wiskundigen schudden nu virtueel duizenden piramides, oktaëders en andere regelmatige veelvlakken om te zien hoeveel er maximaal in een doos kunnen. Met name het stapelen van regelmatige viervlakken of tetraëders (een piramide opgebouwd uit vier gelijkzijdige driehoeken) trekt veel belangstelling. In 2006 liet Salvatore Torquato zien dat die ten minste een vullingsgraad van 72 procent konden bereiken, maar een jaar later werd hun record al verbeterd tot 77,8 procent waarna Torquato dit jaar zelf weer liet zien dat het met een beetje duwen nog iets beter kon: 78,2 procent (Nature, 13 augustus).

In Nature van deze week tonen Sharon Glotzer en haar collega’s van de universiteit van Michigan aan dat het einde nog niet in zicht is. Zij lieten op een heel ingenieuze manier de tetraëders in de computer zélf de energetisch meest gunstige structuur vinden. Ze gooiden er meer dan vierduizend willekeurig in een bak, en lieten deze langzaam onder lichte druk van buitenaf tot evenwicht komen. Tot hun eigen verbazing ging de wanordelijke, ‘vloeibare’ structuur op een goed moment over in een geordend quasikristal, een structuur die zich niet periodiek herhaalt, maar die toch een zekere ordening heeft. Met dit quasikristal bleken de tetraëders niet minder dan 83 procent van de ruimte te vullen. Dit soort problemen heeft niet alleen fundamentele betekenis, maar geeft ook beter begrip van het gedrag van korrelvormige materialen of poeders, zoals bij het maken van dichte keramische materialen voor de lucht- en ruimtevaart. Die worden namelijk gemaakt door poeders onder hoge druk en temperatuur op elkaar te persen.

Rob van den Berg

    • Rob van den Berg