Wiskundigen hebben het oneindige getemd

Er zijn oneindig veel priemgetallen. Een lijn is oneindig lang en een punt is oneindig klein. Oneindigheid komt in de wiskunde volop voor. „Het begrip oneindig gaat ons voorstellingsvermogen te boven. Maar toch hebben we het weten te temmen”, zegt Onno van Gaans van het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden. „We kunnen er heel secuur mee rekenen!”

Hoe werkt dat dan?

„Je hebt allerlei soorten oneindigheid. Dingen kunnen oneindig groot of oneindig klein zijn of er kunnen er oneindig veel zijn. Al die gevallen kun je wiskundig omwerken tot ‘oneindig veel’. Er liggen bijvoorbeeld oneindig veel punten op een cirkel. Je zou oneindig lang bezig zijn om daar punt voor punt iets over te zeggen. Daarom kies je één willekeurig punt om iets over te zeggen, bijvoorbeeld dat de afstand van dat punt tot een bepaalde lijn nooit groter is dan 10. Het maakt niet uit welk individueel punt je kiest, het gaat alleen om de definiërende eigenschap van dat punt. Diezelfde eigenschap geldt dan voor alle andere punten op die cirkel. Je kijkt niet naar objecten, maar naar hun beschrijvende eigenschappen. Daardoor kan de moderne wiskunde aan oneindig veel dingen tegelijk werken.”

Hoe past u dat toe?

„Zelf werk ik bijvoorbeeld aan systemen om een automatische piloot te ontwerpen. Je stelt een koers in, maar door zijwinden of stromingen kan je vliegtuig of boot uit de koers raken. Dit probleem is met wiskundige modellen goed te beschrijven. Om bij te sturen moet je op elk moment de gewenste koers en de feitelijke koers weten. Maar dat meetsignaal moet door allerlei snoertjes en een microprocessor heen, dat levert altijd een kleine vertraging op. Al die opgeslagen koersen van de afgelopen milliseconden vormen samen een oneindige familie van meetwaarden, die je als een wiskundige functie kunt beschrijven. Deze benadering geeft een betere koers, het vliegtuig zal minder schudden als het wiskundige model voor deze tijdsvertraging corrigeert. Die tijdsvertraging is een punt geworden in een oneindig dimensionale ruimte. Met een zelfde benadering kun je bijvoorbeeld ook laserbundels heel strak richten.”

Hoe ziet zo’n oneindig dimensionale ruimte er eigenlijk uit?

„Persoonlijk stel ik mij een ruimte voor, met één donkere hoek die ik niet goed kan zien. Als ik daar ga staan, is het perspectief een slag gedraaid en zie ik weer een andere donkere schaduw. Bijzonder is dat je in een oneindig dimensionale ruimte nog steeds een deel van de gewone meetkunde kunt doen. Het begrip afstand blijft bruikbaar. Maar aan het begrip volume heb je niets meer. Om erachter te komen welk gereedschap nog bruikbaar is, moet je een zekere intuïtie opbouwen. Zaken die ons voorstellingsvermogen te boven gaan, kun je toch secuur en betrouwbaar doorrekenen. In de wiskunde moet je het net als tweeduizend jaar geleden puur van je eigen slimheid hebben. We hebben geen peperdure apparatuur, maar hooguit een kladblaadje. Soms wordt na honderden jaren puzzelen ineens weer een kwestie opgelost. Dat vind ik mooi.”

Filosofeert u wel eens over het eeuwige leven?

„Dat idee vraagt om een veel ruimere definitie van het begrip leven, in een veel abstractere vorm. Daarvan kunnen wij stervelingen ons geen voorstelling maken.”