Belle en het beest

Hoe kan zoiets moois zo’n lelijke plek uitkiezen om geboren te worden? Misschien heeft u er al in de krant over gelezen; er is zelfs deze week een toespraak over gehouden in het Amerikaanse congres (maar de Tweede Kamer heeft het, zo ver ik weet, nog niet op de agenda gezet). Wiskundigen hebben een van de mooiste objecten van het mathematische universum in kaart gebracht. Het heet heel prozaïsch E8 en het is geen robotje uit Star Wars, maar een prachtige symmetrie die je alleen in 57 dimensies kunt zien. Niet gemakkelijk voor te stellen dus, zeker als je al moeite hebt met een stereoscopisch vakantieplaatje.

Maar om het American Institute for Mathematics te vinden, de plaats waar deze monumentale berekening in teamverband werd volbracht, is ook niet eenvoudig. Eerst moet je naar een anonieme buitenwijk van Palo Alto, nabij Stanford University in Californië. Vanaf een gigantisch parkeerterrein dien je dan een zijdeurtje van een grote loods achter een reusachtige elektronicawinkel weten te vinden. Dat geheime deurtje, slechts aangeduid door een abstract wiskundig symbool — ja, het lijkt wel een episode uit Kuifje — leidt dan naar een vensterloze hal met synthetisch tapijt, plastic stoelen, goedkope koffie, stapels koffiebroodjes en … de allermooiste formules!

De schatrijke eigenaar van deze elektronicaketen is in de ban van de wiskunde en heeft daarom zijn eigen instituut opgericht. Hij is er vast van overtuigd dat de grote problemen in dit vakgebied alleen collectief, onder flinke druk en in volkomen isolement kunnen worden opgelost. Binnenkort zal het instituut verhuizen naar een neorenaissance kasteel dat hij laat bouwen op zijn privé-golfterrein in de bergen. Het wordt de ultieme ivoren toren, maar dan winstgevend, als een onmogelijk ontwerp van Escher. De contributies van de snobs die daar volgens de strikte regels van de golfprofs een balletje willen slaan, zullen de andere snobs bekostigen die boven in het clubhuis volgens de nog veel striktere regels van de wiskundeprofs met formules jongleren. Het is een ingenieus plan, dat alleen een gewiekste zakenman en een groot liefhebber van golf en wiskunde kan bedenken. Ik ben alleen bang dat het nieuwe instituut niet veel mooier zal worden, tenzij u een fan bent van de architectuur van de Efteling.

Nu vraagt u zich vast af, wat hebben wiskundigen toch met schoonheid? In ieder persbericht wordt E8 steevast mooi genoemd. Waarom blijven wiskundigen hun formules, ideeën en objecten koppig als mooi en elegant beschrijven, terwijl de rest van de wereld het slechts taaie en gortdroge materie vindt? Wie ziet nu wat in dat lelijke eendje?

Maar vergist u zich niet. E8 is nauw gerelateerd aan een van de oudste wiskundige symbolen: de dodecaëder of het twaalfvlak. Dat is een soort mathematische voetbal, verkregen door twaalf regelmatige vijfhoeken aan elkaar te plakken. Archeologen hebben in Schotland granieten ballen uit de late steentijd gevonden die precies in deze symmetrische vorm zijn geslepen. Vierduizend jaar geleden, ver voor de Venus van Milo of de Mona Lisa, moet iemand dus E8 al mooi hebben gevonden! En niet alleen in de steentijd. Gisteren werd in Karlsruhe de tentoonstelling Mein Gen, das hat fünf Ecken geopend met werk van de Nederlandse kunstenaar Gerard Caris, wiens complete oeuvre gebaseerd is op deze vijfhoekige vorm.

De dodecaëder is een van de zogenaamde regelmatige lichamen, symmetrische meetkundige figuren, waarvan er precies vijf blijken te bestaan. Naast eenvoudige familieleden als de kubus en de tetraëder (een driehoekige piramide in de vorm van een ouderwets melkkartonnetje), heeft de dodecaëder altijd een bijzondere rol gespeeld. Het is de uitzondering op alle uitzonderingen. Ik weet het, je mag dat nooit in de krant schrijven waar u alleen het allerlaatste nieuws voorgeschoteld behoort te krijgen, maar dit is al zo sinds de tijd van de Oude Grieken.

Niemand minder dan Plato suggereerde een verband tussen deze vijf meetkundige vormen en de vier elementen (water, vuur, aarde en lucht), waaruit men in die tijd veronderstelde dat de wereld was samengesteld. Zo stond de kubus, een praktische vorm waar je stevige bouwstenen van kunt maken, voor het element aarde. De tetraëder met zijn scherpe hoekpunten waaraan je je lelijk kunt prikken, was symbool voor het element vuur. Zoals u zelf kunt narekenen blijft er in deze “theorie van alles” dan nog één meetkundig figuur over. Dat was de dodecaëder, waarvan Plato veronderstelde dat de goden er het hemelgewelf van hadden gemaakt: de sterren, de planeten en de ether. Sinds die tijd staat dit vijfde element of de kwintessens voor het buitenaardse, het esoterische, het onvergankelijke. In een bizarre omkering van normen en waarden werd zo een precies wiskundig object tot het symbool van zweverigheid en magie.

Trouwens, met een kosmische knipoog naar de Oude Grieken, berichtte het prestigieuze tijdschrift Nature een paar jaar geleden, nota bene op de omslag, dat het heelal wel eens daadwerkelijk de vorm van een dodecaëder zou kunnen hebben. Het universum als een reusachtige voetbal. Het mocht uiteindelijk niet zo zijn, maar het moet de sportfans onder u wel aanspreken.

De schoonheid van de wiskunde is niet alleen voor leken moeilijk voor te stellen, zij komt ook in twee complementaire smaken. Kort gezegd, een liefde voor het algemene of voor het bijzondere. De eerste variant is een etherische vorm van schoonheid, weerspiegeld in formele structuren en patronen, in de onverbiddelijke orde waarin de mathematische wereld zich schikt. Denk maar aan de perfecte wijze waarop de oneindige rij getallen in het gelid staat.

De tweede vorm betreft juist de uitzonderingen op de regels, de objecten die in geen enkele categorie passen, die eigenlijk geen bestaansrecht hebben. Dit zijn de wiskundige varianten van wat je in natuurhistorische wonderkabinetten verzameld vindt: skeletten, fossielen, vreemde mineralen, suggestief uitgesleten stukken rots of halfvergaan drijfhout, monsters op sterk water. Veilig opgeborgen achter glas om te bewonderen of van te griezelen.

Natuurlijk heeft E8 als mathematische curiositeit een ereplaats in de wiskundige Wunderkammer. Toch blijft het iets voor beginners. De absoluut overtreffende trap, het pièce de résistance van de collectie dat zijn eigen vitrine, nee, zijn eigen zaal verdient, staat simpelweg bekend als “het monster”. Het is de grootste onder de giganten. Deze wiskundige zwaargewicht leeft in niet minder dan 196882 dimensies. Alleen al om het aantal onderdelen te beschrijven heb je een getal van 53 cijfers nodig. In een gezamenlijke arbeid van meer dan dertig jaar en na tienduizend pagina’s vol berekeningen werden het monster en zijn familieleden (zoals het babymonster) beschreven. Het monster is, afhankelijk van je smaak, het mooiste of het lelijkste dat de wiskunde te bieden heeft.

Is dit allemaal nog ergens goed voor, levert het nog iets praktisch op? Wie weet. Zowel de groep E8 als het monster spelen een belangrijke rol in de snaartheorie en andere speculatieve ideeën over de unificatie van alle krachten en deeltjes in het heelal. Alle bekende symmetrieën van de natuur lijken er mooi in te kunnen worden samengevat. Maar het zal nog heel veel experimenten en denkwerk vergen, voordat we met recht kunnen zeggen dat Plato gelijk had en dat E8 de compositie van de hemel vormt.

Wiskundigen hoeven niet zo lang te wachten. Hermann Weyl, een van de mathematische reuzen uit de twintigste eeuw, was een directe collega van Einstein op het Institute for Advanced Study in Princeton. Dat instituut heeft als motto Truth and Beauty, geïllustreerd door twee bevallige blote dames. (Ik zie wel eens verbaasde blikken als ik mijn favoriete trui met dat logo draag.) Toen Weyl aan het einde van zijn leven werd gevraagd, welke van die twee waarden hij verkoos, was zijn antwoord: “Mijn werk heeft altijd geprobeerd waarheid met schoonheid te verbinden, maar als ik tussen een van beide moest kiezen, koos ik meestal voor schoonheid.”