Wiskundige Everest

De formule van het meest ingewikkelde symmetrische object uit de wiskunde, E8, is berekend.

Margriet van der Heijden

De supercomputer deed 77 uur over de berekeningen. De achttien wiskundigen waren vier jaar bezig met de voorbereidingen. Maar nu is dan ook E8 uitgeschreven. Dat maakte een Amerikaans-Europees team van wiskundigen deze week bekend op het Massachusetts Institute of Technology in de Verenigde Staten – al valt in woorden nauwelijks te vangen wat E8 dan wel beschrijft.

E8 is een ‘Lie-groep’ en beschrijft het meest complexe symmetrische object dat in de wiskunde bestaat. Daarmee is E8 ook de meest complexe van alle Lie-groepen. Als het landschap van die groepen uit heuvels en bergtoppen bestaat, dan is E8 daarin de hoogste en moeilijkst te bedwingen berg, aldus een van die achttien wiskundigen – een mathematische Mount Everest dus.

De Lie-groepen vormen een gebied in de wiskunde dat raakt aan de algebra en de geometrie. Ze werden meer dan een eeuw geleden ontdekt door de Noorse wiskundige Sophus Lie. Hij schreef verzamelingen van algebraïsche vergelijkingen op die bepaalde objecten in de ruimte continu laten transformeren, zonder dat het uiterlijk van die objecten verandert.

bol en as

Een cirkel bijvoorbeeld kan een klein beetje of juist veel om zijn middelpunt draaien, en toch steeds met zichzelf blijven samenvallen. Hetzelfde geldt voor een bol die om zijn as draait. Symmetrieën liggen hieraan ten grondslag, en de symmetrieën van zulke ‘gladde’ objecten kunnen steeds met de vergelijkingen uit een bepaalde Lie-groep beschreven worden.

Vier grote families van relatief simpele Lie-groepen waren er zo te vinden, volgens Lie. Maar later werden nog eens vijf uitzonderlijke Lie-groepen ontdekt, die hier als het ware bovenuit torenden, waaronder dus E8. Deze supercomplexe groep beschrijft eigenlijk alle symmetrieën die horen bij een 57-dimensionaal object dat op 248 manieren kan transformeren. “Nogal abstract, inderdaad”, gaf projectleider Jeffrey Adams van de Universiteit van Maryland in de Verenigde Staten toe.

De complete beschrijving – de Lie-groep helemaal netjes uitgewerkt dus – vereist de berekening van 200 miljard parameters. Vandaar dat de wiskundigen een team vormden en het krijtje en het schoolbord verruilden voor de supercomputer.

Zou de uitwerking in kleine cijfertjes en symbolen neergekrabbeld worden, dan was een vel papier nodig van elf bij elf kilometer. Een vel zo groot als Manhattan dus, zo merkte het team met enig wiskundig machismo op tijdens de presentatie.

Nog zo’n vergelijking die daar werd getrokken was met het DNA-onderzoek. Alle letters van het menselijk DNA passen in een stuk computergeheugen van krap een Gigabyte, terwijl voor de oplossing van E8 maar liefst zestig Gigabyte nodig is. “Maar zoals je van het DNA pas iets leert als je groei en ontwikkeling van het bijbehorende organisme bestudeert, zo leer je van E8 pas iets door de wiskunde die eruit voortvloeit te bestuderen”,zei een van de aanwezigen in de New York Times.

natuurkunde

Maar wat E8 en de nieuwe berekeningen eraan zullen opleveren valt nog lang niet te zeggen. De wiskundige onderbouwing van symmetrieën speelt in elk geval ook in de natuurkunde een cruciale rol. Lie-groepen hangen samen met de relativiteitstheorie, de quantummechanica, de deeltjesfysica en de snarentheorie. En wie weet, zo werd tijdens de presentatie gespeculeerd: misschien zal ooit nog eens blijken dat E8, de groep voor de grootste symmetrische structuur van allemaal, de basis vormt voor een complete beschrijving van ons universum.