Virtuoos vlechtwerk

Islamitische mozaïekpatronen zijn vaak razend ingewikkeld. Volgens twee fysici verraden ze diep wiskundig inzicht.

Margriet van der Heijden

Sommige dingen leg je liever uit met potlood en papier, of met een krijtje en een schoolbord dan met woorden. Daarop zou je kunnen laten zien wat een Penrose-betegeling is: die bestaat niet zoals in de badkamer uit rijen en kolommen van vierkanten of rechthoeken, maar bedekt een vlak naadloos door vlieger- en pijlvormige tegels op een slimme manier op elkaar te laten aansluiten. Je zou ook kunnen laten zien hoe ingenieus de mozaïeken op eeuwenoude islamitische gebouwen zijn. Met onder meer vijfhoeken en vijf- en tienpuntige sterren, waarover met ribbels of strepen vaak weer een geometrisch vlechtwerk ligt. En dan zou je kunnen illustreren wat volgens twee Amerikaanse fysici het verband is tussen die oude mozaïeken en Penrose-achtige structuren.

Want dat is wat Peter Lu, natuurkundestudent aan Harvard, en Paul Steinhardt, kosmoloog en hoogleraar in Princeton, vorige week in het wetenschapsblad Science schreven: de mozaïeken hebben patronen (‘girih’ in het Arabisch) die wiskundigen in het westen pas sinds een paar decennia begrijpen. Zoals Lu het in de New York Times formuleerde: de islamitische cultuur was “veel verder ontwikkeld dan we dachten”.

isfahan

Gloednieuw is die constatering niet. Vorig jaar organiseerde historicus van de wiskunde Jan Hogendijk in Leiden een internationale workshop over de fraaie ‘Geometric Patterns in Islamic Art’. Omgekeerd togen studenten van hem naar onder meer Isfahan in Iran. En de Deense kristallograaf Emil Mackovicy beschreef in 1992 in een boek ook al hoe het mozaïekpatroon op een graf in Maragha in Iran uit 1197 samenvalt met een Penrose-betegeling.

Net als Mackovicy en Hogendijk werd Lu op het spoor gezet tijdens een reis, in zijn geval naar Uzbekistan. Tot zijn verbazing zag hij daar op een Islamitische school een mozaïek met een tienvoudige rotatiesymmetrie: een van de kenmerken van zogeheten quasikristallen, die westerse wiskundigen pas sinds de jaren zestig bestuderen.

Quasikristal-patronen bestaan net als regelmatige kristalpatronen uit een basispatroon dat aan elkaar geschakeld wordt en zich zo voortdurend herhaalt. Maar die herhaling is niet periodiek: als de hele betegeling in horizontale en/of verticale richting wordt opgeschoven, valt de betegeling nooit meer samen met zichzelf – zelfs niet als in het oneindige door wordt getegeld.

In een ‘kristalbetegeling’ (met, 2,3,4, of 6-voudige symmetrie), zoals de vlakken op een schaakbord of de raten in een honingraat, valt het patroon wel samen met zichzelf als het over bepaalde afstanden wordt opgeschoven. In quasikristalbetegelingen, waarvan die van de Britse kosmoloog Roger Penrose (uit 1973) de bekendste is, gebeurt dat alleen als het tegelwerk over een veelvoud van 36 graden wordt gedraaid.

De oude Arabische bouwmeesters, zeggen nu Lu en Steinhardt, moeten ergens tussen de dertiende en zestiende eeuw nieuwe inzichten hebben gekregen die tot de constructie van quasikristalachtige patronen konden leiden. Ze zouden een uitvloeisel zijn geweest van slimme methoden om steeds ingewikkelder basispatronen met vijfvoudige en tienvoudige symmetrie te maken. Want die ingewikkelde patronen foutloos construeren met passer en liniaal is volgens Lu en Steinhardt ondoenlijk.

De twee fysici baseren zich op een paar duizend foto’s van mozaïeken, maar ook op oude rollen met tekeningen van de bouwmeesters. Heel vaag waren onder de patroontekening volgens hen geregeld bepaalde veelvlakken geschetst. Alsof de truc van de bouwmeesters een set van vijf basistegels was: een ruit, een vijfhoek, een tienhoek, een zeshoek en een strikje, allemaal met zorgvuldig gekozen lijnen erop. Door die basistegels en de lijnen daarop lokaal steeds volgens bepaalde regels te laten aanluiten, zou op grote schaal een ingewikkeld motief ontstaan.

Er zijn honderden van die ingewikkelde patronen te vinden op moskeeën, paleizen en tombes uit de dertiende tot de zestiende eeuw, schrijven Lu en Steinhardt – overigens nooit zover doorgezet dat aperiodiciteit optreedt. Maar aperiodiciteit, ofwel een quasikristal-structuur, claimen ze wel te zien op een foto van de Darb-i-Imamtombe uit 1453, in Isfahan. De tegels daarin dragen niet alleen de lijnen van het vlechtwerk, maar hebben bovendien een fijner motief, dat zich op kleinere schaal herhaalt. Het resulterende patroon, laten Lu en Steinhardt zien, zou een klein deel van een Penrose-betegeling kunnen zijn.

dispuut

Hogendijk heeft de publicatie op zijn vakantieadres niet gelezen. Maar hij waarschuwt per e-mail, net als collega’s in een commentaar in Science, voor al te veel projectie van moderne ideeën op de oude islamitische cultuur, “hoe vooraanstaand die ook was”. Zijn student in Leiden, Mark Roelands, zegt na wat telefonisch overleg met Hogendijk dat de vondst overigens wel “schitterend en bijzonder” is. Science zelf maakt de vreemde figuur om in het commentaar vooral het bittere dispuut uit te meten dat nu is losgebroken tussen Lu en Steinhardt en de Deense Mackovicy, die in hun publicatie slechts heel terzijde wordt genoemd.