Een fietswiel en een theekopje met een oor zijn hetzelfde

Het Poincaré-vermoeden gaat over bollen.

Maar dan in de abstracte wereld van de wiskundige.

Het Poincaré-vermoeden is in 1904 opgeworpen door de Franse wiskundige Henri Poincaré. Het behoort tot de topologie, een tak van meetkunde die zich bezighoudt met objecten waarvan niet de precieze vorm ertoe doet maar de hoeveelheid gaten die ze bevatten, en of ze begrensd zijn. In de topologie zijn een theekopje met oor en een fietsband hetzelfde: plet het kopje, verdeel het materiaal (denk aan kneedbare klei) over het oor, rek het zaakje uit en voilà!

Het Poincaré-vermoeden gaat over bollen – met de aantekening dat topologisch gezien bollen niet verschillen van rugbyballen, bakstenen en piramides. Het komt erop neer dat de lus van een lasso, op een boloppervlak gelegd en daarmee contact houdend, probleemloos strak gemaakt kan worden tot een punt. Is het touw door het oor van een kopje gestoken, dan lukt dat niet: voor het punt bereikt is zit de lasso klem. De truc met de lasso is een manier om verschillende soorten objecten te onderscheiden.

Kunnen we ons boloppervlakken en theekopjes in een driedimensionale wereld nog eenvoudig voorstellen, anders ligt dat in hoger dimensionale werelden. In onze vertrouwde wereld heeft een (gekromd) oppervlak geen dikte en is het in feite tweedimensionaal. Maar hoe zit het in de abstracte werelden van de wiskundige, met oppervlakken van méér dimensies dan twee? Aan de wiskundige de taak te bewijzen dat het Poincaré-vermoeden voor alle dimensies klopt.

Toen Grigori Perelman zich in 1994 aan het probleem zette, boden alleen de driedimensionale oppervlakken nog koppig tegenstand. Voor de goede orde: de bol uit de ons vertrouwde wereld is een tweedimensionaal oppervlak: twee getallen volstaan om een punt op zo’n bol te markeren. Na acht jaar werken in complete afzondering zette de Rus in november 2002 pardoes een preprint van een artikel op het internet; in maart en juli 2003 volgden er nog twee. Normale wiskundigen sturen hun artikelen (ook) naar een tijdschrift, in de hoop dat ze na beoordeling door vakgenoten (peer review) worden gepubliceerd.

Niettemin namen wiskundigen Perelman direct serieus: de Rus bezat een solide reputatie en zijn werk sloot aan bij wat elders gebeurde. April 2003, toen twee van de drie artikelen waren verschenen, gaf Perelman lezingen op Amerikaanse universiteiten. Verdere contacten met collega’s is hij sindsdien uit de weg gegaan.

Dat neemt niet weg dat Perelmans resultaten door collega’s inmiddels zeer nauwgezet op fouten zijn gecontroleerd. Een fikse toer: lang niet alles is fatsoenlijk uitgeschreven en een tijdschrift had zeker stevige aanpassingen geëist. Hier en daar begaat de Rus een slordigheidje, maar ernstig is dat nergens, laat staan fataal. Op het congres van de International Mathematical Union, deze week in Madrid, staan lezingen op het programma waarin experts een oordeel over Perelman zullen vellen – een uitnodiging om zelf te komen spreken had de Rus al in een vroeg stadium afgeslagen. Afgaande op de laatste Notices of the AMS, een tijdschrift van de American Mathematical Society, zit het wat betreft het bewijs van het Poincaré-vermoeden wel goed en waarschijnlijk heeft Perelman veel meer bewezen dan dat.

Het aardige van Perelmans oplossing, zo benadrukken kenners, is dat hij schijnbaar losstaande deelgebieden binnen de wiskunde aan elkaar knoopt. De nieuwe technieken die de Rus heeft ontwikkeld om het Poincaré-vermoeden te bewijzen, zullen ook elders in de wiskunde vruchten afwerpen.