De taaiheid van getallen

Decennia lang publiceerde Martin Gardner puzzels in ‘Scientific American’. De mooiste en kortste daarvan zijn nu verzameld in een kolossaal puzzelboek. Geen blijkt verouderd.

Man bij een schoolbord Foto Christian Lichtenberg A person looking at a chalkboard with markings on it. Jupiterimages

Martin Gardner: The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. Norton & Company, 496 blz. €35,50

Op een dinsdagavond in december 1961 vroeg de wiskundige Alfred Tarski mij: ‘Je komt een huis binnen waar je nooit eerder bent geweest. In de hal zijn drie aan-uit-schakelaars. Twee daarvan hebben geen enkele functie. Ze zijn er om je een probleem te geven. De derde schakelaar is verbonden met een lamp boven in het huis. Je mag met de schakelaars doen wat je wil en daarna loop je naar boven naar waar de lamp is. Je mag maar één keer de trap op. Hoe bepaal je welke van de drie schakelaars met de lamp boven verbonden is?’

Ik vroeg: ‘Hoe hoog zit dat lampje?’

Tarski antwoordde: ‘Inderdaad’, en we gingen verder over hoe we ‘tussen’ en ‘rechts van’ het beste konden definiëren, want hij was bezig de vlakke meetkunde eens precies op te zetten.

Zover ik mij kan herinneren heb ik het raadsel nooit aan iemand verteld, al was het maar omdat de formulering zo nauw luistert en de lichtschakelaars in Nederland meestal geen aan-uit-aanwijzing hebben. De vermelding dat het lampje boven zo laag zit dat je het kan aanraken geeft de aardigheid van het raadsel weg.

Wie schetst mijn verbazing toen ik achterin het Kolossale Raadselboek dat Dana Richards heeft gemaakt van de rij puzzelboeken die Martin Gardner heeft gemaakt van zijn jarenlange bijdragen in de Scientific American, dit raadsel tegenkwam. Heeft u de oplossing al gevonden? Of bent u in staat om rustig door te lezen, terwijl het probleem nog in uw hoofd zweeft?

Nadat ik drie jaar wiskunde had gestudeerd, vond ik het mooi geweest. Ik stelde mijn afstuderen uit tot ik in dienst moest als ik geen bevoegd wiskundeleraar was. In de tussenliggende jaren was mijn enige wiskundige bezigheid dat ik elke maand in de Scientific American de problemen van Martin Gardner oploste. Daarvan zijn de mooiste korte nu in deze kolossale uitgave verzameld, waarbij zijn commentaren en oplossingen vaak zijn uitgebreid. In een aanhangsel schenkt Gardner ons ook nog twaalf nieuwe problemen. Tot mijn verbazing was het eerste daarvan het probleem dat Tarski mij 35 jaar geleden opgaf, en tot mijn spijt stond er een fout in de oplossing.

Geniaal

Hebben dieren raadsels? Onlangs stond er een mooi stuk in de wetenschapsbijlage van deze krant over een roek die, om aan een hapje te komen, ingewikkelde dingen deed. Zou die roek ook puur voor de lol de raadsels van de dierpsycholoog oplossen? Ik vrees dat de lol van een roek anders is dan de lol van een mens, maar we zouden een vogel moeten hebben die aan menspsychologie doet om het antwoord te vinden.

De essentie van het raadsel is dat de opgever het antwoord weet, anders is het geen raadsel maar een probleem. Ook degene die het raadsel opgegeven krijgt, weet dat de opgever het antwoord weet. Een bijkomende, maar misschien niet essentiële, eigenschap van raadsels is dat het antwoord er ook niet toe doet. Hoe vaak kom je in een huis met in de hal drie schakelaars waarvan er één een lampje op zolder doet branden, en je mag maar één keer de trap op?

De Grieken deden aan wiskunde en deden de prachtigste ontdekkingen. De Grieken begrepen niets van natuurkunde. Eeuwen later bleek dat je met wiskunde natuurkundige zaken kunt ontdekken. Archimedes was daar dichtbij, maar werd vermoord. Newton was een geniaal wiskundige en een geniaal natuurkundige, maar zijn geniaalste idee was om die twee vakken elkaar te laten inspireren. Einstein was ook geniaal, maar dat geniaalste idee hoefde maar één keer te worden uitgevonden.

De samensteller van het kolossale boek heeft de puzzels proberen te ordenen in vier hoofdstukken: getallen, meetkunde, algoritmes en ‘andere puzzels’. Wist u wat de taaiheid van een getal is? Vermenigvuldig alle cijfers van het getal met elkaar. Doe met de uitkomst weer hetzelfde. Dus, bijvoorbeeld, het getal 679 wordt 6x7x9 = 378. Vervolgens wordt 378: 3x7x8 = 168, 168 wordt 1x6x8 = 48 en 48 wordt 4x8= 32. Dan houdt het op want 32 wordt 6 en er valt niets meer te vermenigvuldigen. Het getal 679 heeft dus vijf vermenigvuldigingen nodig. We zeggen: ‘679 heeft de taaiheid 5’. En 679 is ook het kleinste getal met taaiheid 5! Niemand kent het getal met taaiheid 12, maar het moet meer dan vijftig cijfers tellen. Zulke problemen zitten in het eerste hoofdstuk.

In het tweede hoofdstuk zit een Nederlands record. Het gaat om de vraag of een vierkant te verdelen is in ongelijke vierkanten. In 1939 lukte het Roland Sprague een vierkant in 55 ongelijke vierkanten te verknippen. Toen Gardner het probleem in de Scientific American behandelde stond het op 24 vierkantjes. De Nederlander A.J.W. Duijvestijn lukte het in 1978 om het vierkant in 21 vierkanten te splitsen en hij vond daarmee de minimale en unieke oplossing.

Deeghouw

In het hoofdstuk ‘Andere puzzels’ staan de populaire Cryptarithmische puzzels, waarin cijfers door letters zijn vervangen. Van Jack van der Elsen kreeg ik onlangs het boekje Alphametics, cijferen met woorden toegestuurd (uitgegeven door Shaker in Maastricht) waarin een aantal Nederlandse puzzels van het type

EEN

EEN

----- +

TWEE

wordt behandeld. Van der Elsen geeft zelfs een computerprogramma dat dit type raadsels op de stomste wijze oplost, namelijk door alle mogelijkheden af te lopen. Gardner geeft een aantal van dit soort puzzels, maar eentje vindt hij zo makkelijk dat hij de oplossing er niet bij geeft. Het gaat om negen letters die de negen cijfers van 1 tot en met 9 moeten voorstellen, en waarbij:

a X bc = d X ef = g X hi.

Ik zal u de oplossing geven, maar probeer het eerst zelf. De clou zit hem in het bepalen van het moment waarop je niet langer slim wil zijn, maar eenvoudig de resterende gevallen gaat uitproberen.

In dit laatste restjeshoofdstuk staat de puzzel: wat is het langste woord waarvan de letters in alfabetische volgorde staan? Gardner geeft billowy. Maar er zijn meer talen dan Engels, en het Nederlands heeft een woord dat één letter langer is dan billowy, namelijk deeghouw (niet een houw met een degen, maar een instrument bij het papiermaken).

De ellende van die stomme sudoku’s is dat je iemand een week nadat hij een sudoku heeft opgelost weer precies dezelfde opgave kan voorleggen en dat hij die niet herkent en er evenveel tijd aan kwijt raakt. Alle puzzels van Gardner zijn, ook na veertig jaar, onvergetelijk.

Traditiegetrouw geef ik de drie oplossingen, van het lampje, van EEN+EEN =TWEE, en van abcdefghi hieronder op zijn kop.