Onbeslist waar

Kurt Gödel, honderd jaar geleden geboren, was een schuwe, bijna paranoïde wiskundige met weinig oog voor sociale omgangsvormen. Tegelijk was hij een briljante geest en zijn befaamde onvolledigheidsstelling zette de wiskunde op zijn kop. Dirk van Delft

Op een congres in het Duitse Königsberg in 1930 maakte de wiskundige en logicus Kurt Gödel terloops een mededeling die de wiskunde op zijn grondvesten deed schudden: er zijn wiskundige waarheden waar de wiskunde niet bij kan. In de stad (nu Kaliningrad) was een gerenommeerd internationaal gezelschap bijeen om zich te buigen over de fundamenten van de wiskunde. Het waren jaren van grondslagenstrijd, van scholen als het constructivisme, het logicisme en de verzamelingenleer. Grote programma’s met grote pretenties.

“Een centrale figuur in die strijd was David Hilbert”, zegt Albert Visser, hoogleraar logica aan de Universiteit Utrecht. Visser is een van de organisatoren van de ‘Gödel Centennial Celebration’, die de Onderzoeksschool Logica en de Nederlandse Vereniging voor Logica en Wetenschapsfilosofie ter gelegenheid van Gödels honderdste geboortedag op 26 mei in de Utrechtse Jaarbeurs organiseren.

Visser: “Hilbert was vastbesloten te laten zien dat de systemen die wiskundigen hanteren consistent zijn, dus vrij van tegenspraken. Het idee: als je de wiskunde zo opbouwt dat je binnen de spelregels niet kan bewijzen dat 7+5=13, dan zit je goed. Het was Gödel die Hilberts pretenties op grondslagengebied de grond inboorde.”

Hilbert (1862 - 1943) was hoogleraar te Göttingen en de grootste wiskundige van zijn tijd. Hij was ervan overtuigd dat ieder wiskundig probleem is op te lossen, of dat is vast te stellen dat het onoplosbaar is. Een ignorabimus [we zullen het nooit weten] bestaat niet in de wiskunde, luidt een van Hilberts gevleugelde uitspraken. Begin jaren twintig riep de Duitser op om de hele wiskunde uitgaande van basisprincipes (axioma’s) in een serie ondubbelzinnige en logische stappen onder te brengen (formaliseren): het Hilbertprogramma. Dit leggen van nieuwe fundamenten moest de wiskunde vrijwaren van paradoxen.

spelregels

Het was tijdens de discussie over onder andere de lezing van de Amsterdamse wiskundige Arend Heyting, een leerling van L.E.J. Brouwer (de tegenstander van Hilbert), dat Gödel op het congres in Königsberg zijn vinger opstak. In grote trekken deelde hij de aanwezigen een resultaat mee dat hij onlangs had geboekt. Binnen ieder wiskundig systeem, aldus de 24-jarige wiskundige uit Wenen, bestaan ware uitspraken die binnen het systeem echter niet zijn te bewijzen. Visser: “Kort daarna werd duidelijk dat Gödels redenering ertoe leidde dat een systeem als de rekenkunde binnen de spelregels van die rekenkunde niet zijn eigen consistentie kan bewijzen. Hilberts programma bleek onuitvoerbaar, daar kwam het op neer.”

Niet dat die boodschap in Königsberg direct begrepen werd. “Er viel toen Gödel uitgesproken was een diepe stilte”, zegt Visser. “Carnap, net als Gödel lid van de Wiener Kreis, kon er zo snel geen chocola van maken en hij was niet de enige. Alleen John von Neumann, die toen in Berlijn doceerde, begreep direct dat er iets bijzonders aan de hand was en hij nam Gödel terzijde om over diens ‘onvolledigheidsstelling’ door te praten. Niettemin werd Gödels resultaat de daaropvolgende twee jaar in brede kring begrepen en in orde bevonden. Natuurlijk was er een fervent groepje ongelovigen, maar dat marginaliseerde snel. Hilbert, die er in Königsberg niet bij was, reageerde aanvankelijk boos. Snel probeerde hij zijn aanpak zo aan te vullen dat Gödels stelling er geen vat meer op had. Zo voerde hij een regel in met een oneindige rij, maar dat kwam neer op ‘vals spelen’. Door een leerling die wel enthousiast was, is Hilbert over de streep gehaald.”

In 1931 publiceerde Gödel zijn onvolledigheidsstelling in de Monatshefte für Mathematik und Physik. De titel luidde ‘Over formeel onbeslisbare stellingen in de Principia Mathematica en vergelijkbare systemen’. De driedelige Principia Mathematica, in de periode 1910-1913 gepubliceerd door het Britse duo Bertrand Russell en Alfred North Whitehead, was precies zo’n poging om de complete wiskunde axiomatisch te formaliseren.

In de inleidende paragraaf windt Gödel er geen doekjes om. “Je zou verwachten”, schrijft hij, “dat deze axioma’s en redeneerschema’s [van de Principia, etc.] volstaan om alle wiskunde vraagstukken die langs formele weg binnen deze systemen zijn op te werpen, te beslechten. Hieronder wordt aangetoond dat dit niet het geval is.” Waarna Gödel in een bewijs van 25 pagina’s de daad bij het woord voegde. Hij formuleerde een uitspraak die niet was te bewijzen binnen het systeem waarin hij werd uitgedrukt. Het geraffineerde was dat Gödels onbeslisbare uitspraak, die hij codeerde in de taal van de gehele getallen, het wiskundig equivalent was van de bewering: “De rekenkunde is vrij van tegenspraken.” De rekenkunde zelf kan van die bewering, waarvan iedereen denkt dat zij waar is, dus niet de waarheid of onwaarheid bewijzen.

“Pas na enige tijd drong het besef door hoe essentieel Gödels resultaat is”, zegt Visser. “Het toevoegen van nieuwe axioma’s, die je immers niet hoeft te bewijzen, biedt geen soelaas. Wanneer je de uitspraak die onbeslisbaar is toevoegt aan de axioma’s en Gödels procedure op dat uitgebreide systeem loslaat, levert dat binnen dat uitgebreide systeem alleen maar een nieuwe ware maar onbewijsbare uitspraak op. Enzovoort.”

Zodra een systeem een zekere basiscomplexiteit of ‘sterkte’ bezit, ontkomt het niet aan Gödels onvolledigheid. In de praktijk volstaan optellen en vermenigvuldigen. “Het klinkt als een paradox”, zegt Visser, “zodra het systeem sterk genoeg is, is het essentieel zwak.”

Gödels onvolledigheidsstelling was een dreun voor grondslagen-optimisten. Maar zij betekende allerminst het einde van de wiskunde, benadrukt Visser. “Het feit dat je om de consistentie van een systeem te bewijzen, een sterker systeem nodig hebt, is geen onoverkomelijk bezwaar. De rekenkunde kan zijn eigen consistentie niet bewijzen, daar moet bijvoorbeeld de verzamelingenleer aan te pas komen. Die is daarmee dus sterker. Het bewijs in dat sterkere, complexere systeem kan best verhelderend en overzichtelijk zijn.”

impact

Niet alleen Gödels resultaat is belangrijk, ook de methode die hij hanteerde had grote impact. Visser: “In zijn bewijs van de onvolledigheidsstelling formaliseert Gödel het redeneren over formele systemen zelf. Noties als ‘berekenbaarheid’ en ‘representeerbaar-heid’ spelen daarbij een hoofdrol. Dat heeft bij wiskundigen als Alan Turing het nadenken over machines gestimuleerd.”

Gödel zelf meende dat zijn stelling de beperkingen van machines laat zien in vergelijking met de menselijke geest. “In de filosofie heeft dat tot een eeuwig terugkerend debat geleid”, zegt Visser. “Eerst was er J.R. Lucas die in zijn artikel ‘Minds, Machines and Gödel’ (1960) uit de Gödelstellingen een hard bewijs meende te kunnen destilleren voor de superioriteit van de menselijke geest. Later probeerde Roger Penrose iets vergelijkbaars. Ik ben daar sceptisch over. Gödelstellingen zijn pure wiskunde en die werkt met mathematisch goed gedefinieerde objecten. Ze toepassen op problemen uit de filosofie heeft alle problemen die zich überhaupt bij het toepassen van wiskunde op de werkelijkheid aandienen, plus wat extra. Je vergelijkt ‘in principe’ machinale mogelijkheden met ‘in principe’ menselijke mogelijkheden. Dat zijn lastige begrippen.”

Is het gezien vanuit de wiskunde ‘jammer’ dat Gödel met zijn onvolledigheidsstelling kwam? “Integendeel”, zegt Visser. “Je zou er als wiskundige blij mee moeten zijn. De onschokbare grondslag is weg. Maar dat niet alles in één formeel systeem is te vangen, geeft de wiskunde iets opens. Het maakt haar oneindig rijk.”

Zie http://ozsl.uu.nl/goedel