Ineens in het gelid

Het wiskundig oplossen van het Ising-model voor magnetisme in 1944 leverde een Nobelprijs op. Een Twentse hoogleraar komt nu met een veel eenvoudiger oplossing.Dirk van Delft

Zestig jaar na de baanbrekende oplossing van de Noorse Nobelprijswinnaar Lars Onsager is er een nieuwe doorbraak op het gebied van tweedimensionale magnetische systemen. In het maartnummer van Europhysics Letters publiceert de Twentse hoogleraar nano-elektronica Harold Zandvliet een elegante oplossing van het zogeheten Ising-model. Zandvliet gaat een stap verder dan Onsager. En waar de Noor zo'n 35 pagina's nodig had om zijn formule voor de overgang van orde naar wanorde af te leiden, telt het Nederlandse artikel er 5.

Het Ising-model, een simpele wiskundige modellering van de fysische werkelijkheid, is in 1920 geïntroduceerd door de Duitse fysicus Wilhelm Lenz. Het omvat een rooster van atomaire magneetjes die zijn op te vatten als minikompasnaaldjes die met hun noordpool omhoog óf omlaag staan. Dat rooster kan een-, twee- of driedimensionaal zijn. Ieder kompasnaaldje voelt de aanwezigheid van zijn naaste buren en wil zijn richting (op/neer) daarop afstemmen. Tegelijk trilt het magneetje op zijn plaats, door een warmtebeweging die aanzet tot wanorde en die heviger is naarmate de temperatuur hoger ligt. De vraag is nu wie wint: het ordenende effect van de interactie met naaste buren of de tot wanorde leidende temperatuurbeweging. In het eerste geval spreken fysici van ferromagnetisme, in het tweede van paramagnetisme.

verruwen

Het Ising-model is een klassieker in de theoretische natuurkunde. Toepassingen van het model reiken veel verder dan de magnetische kristalroosters waarvoor het oorspronkelijk is bedacht. Zodra er sprake is van een groot aantal 'deeltjes' die in twee toestanden kunnen verkeren en met elkaar in interactie staan, komt het van pas. Voorbeelden zijn het spontaan verruwen van oppervlakken, het vouwen van eiwitten en het gedrag van glasachtige substanties (vaste stoffen zonder ordening van de moleculen).

In 1925 leidde Ernst Ising, een leerling van Lenz af dat in het eendimensionale geval van een rij magneetjes op gelijke afstanden de wanorde altijd wint. Ising stelde toen dat in het twee- en driedimensionele geval (denk aan een go-bord en een zich in alle richtingen repeterende kubus) ordening eveneens altijd zou uitblijven. Fout.

In de jaren dertig werd duidelijk dat bij het twee- en driedimensionale Ising-model beneden een zekere temperatuur wel degelijk ordening optreedt. In 1944 slaagde Onsager (toen werkzaam op Yale) erin het tweedimensionale Ising-model netjes wiskundig op te lossen. Bij afkoeling, zo concludeerde de Noor in Physical Review, treedt een faseovergang op. De waarde van die overgangstemperatuur hangt af van de sterkte van de interactie (koppeling) tussen de magneetjes. Zoals wanordelijk water bij het vriespunt overgaat in ordelijk ijs, zo treedt in het Ising-model bij de overgangstemperatuur een faseovergang op naar de geordende toestand. Er vormt zich opeens een ferromagneet.

Zandvliet heeft Onsagers resultaat, een klassieker binnen de theoretische fysica, nu op veel eenvoudiger weg afgeleid - als speciaal geval in een bredere aanpak. Waar de Noor uitging van de situatie waarin een magneetje alleen de naaste buren voelt (in het tweedimensionale Ising-model zijn dat er vier), neemt de Twentse fysicus, verbonden aan het onderzoeksinstituut Mesa+, ook de 'diagonale' buren van het magneetje in ogenschouw. Dat zijn er ook vier [zie de figuur]. Altijd is gedacht dat deze Ising-variant niet exact oplosbaar is en dat de onderzoeker genoegen moet nemen met benaderingsmethoden om de overgangstemperatuur te bepalen. Zandvliet heeft die oplossing alsnog gevonden. En als de interacties met de diagonale buren op nul gesteld worden (de klassieke situatie is dan weer terug) verandert zijn formule keurig in die van Onsager. Overigens kon de Noor met zijn methode veel meer eigenschappen van het Ising-rooster afleiden.

domeinen

De essentie van Zandvliets aanpak is dat hij kijkt naar gebieden (domeinen) van magneetjes die dezelfde kant op staan. Tussen zulke gebiedjes brengt de Twentse hoogleraar een denkbeeldige wand aan [de scheiding tussen wit en grijs in de figuur], en leidt hij een formule af die aangeeft hoeveel 'vrije energie' het kost om zo'n scheiding aan te brengen. Bij hogere temperatuur neemt die energie af. Is de energie nul, dan is het systeem in staat zelf spontaan overal domeinwanden te creëren, en is de overgang van de geordende naar de ongeordende toestand een feit.

De exacte oplossing van Zandvliet laat zich vertalen naar een zogeheten fasediagram, waarin voor diverse waarden van de interactie tussen de magneetjes de overgang is aangegeven. In dat fasediagram stemt de exacte curve zoals afgeleid door Zandvliet op verbluffende wijze overeen met resultaten die met uiteenlopende benaderingsmethoden en simulaties zijn behaald.

De doorbraak van Zandvliet is in feite een toevalstreffer. In de jaren negentig verrichtte hij in Twente onderzoek naar het 'verruwen' van kristaloppervlakken. Die verruwing zet in zodra de energie om een staprand (een plateau met een trede) in het leven te roepen, nul is. In 1999 lukte het Zandvliet om in geval van een kubisch rooster met interacties tussen naaste buren en buren van naaste buren een exacte formule voor die energie af te leiden. Pas in 2005 daagde het inzicht dat die aanpak zich ook leende voor het afleiden van een formule voor de overgangstemperatuur bij het Ising-model. Hoe vooruitgang in de wetenschap onverwachte paden kiest.