Draaitafel en flipperviltje

Weer schieten fysici te hulp in de oplossing van kleine dagelijkse problemen. Deeltjesfysicus René Martin haalde er deze week de site www.nature.com/news mee, anders was zijn werk misschien aan de aandacht ontsnapt. Intussen is zijn integrale studie op www.collisiondetection.net te vinden.

Het zit zo. Martin werkt op het CERN, het Europees centrum voor nucleair onderzoek bij Genève. Daar worden subatomaire deeltjes, waarvan een normaal mens het bestaan niet kent of vermoedt, versneld tot ze deeltjes doen ontstaan waarvan helemaal niemand het bestaan had vermoed. 't Is uitputtend werk en de deeltjesfysici blazen geregeld even uit op het terras van het CERN. Daar drinken zij dan koffie aan kleine tafeltjes met vier poten. Die tafels staan half op het gras, half op een bestraat stukje grond waar geen steen gelijk is aan de ander. Daarom wiebelen die tafeltjes. Altijd. Het ligt niet aan de tafeltjes, heeft Martin uitgezocht, het ligt aan de grond.

De meeste mensen verhelpen het wiebelen van een wiebelende tafel door een lucifersdoosje, een bierviltje of een passerend keitje onder de poot te schuiven die loos in de lucht hangt. Het kan ook onder de poot daar schuin tegenover, want het tekort van de ene poot zou je net zo goed het tekort van de poot daar diagonaal tegenover kunnen noemen: dat is de essentie van het wiebelen. Het wiebelen bestaat uit scharnieren (roteren) om de steunpunten van de twee poten die wèl goed op de grond staan.

Het is dus te verhelpen met een lucifersdoosje. Je ziet wel mensen te veel materiaal onder zo'n los pootje steken, dan moet daarna ook weer een doosje onder een andere poot, om precies te zijn: een poot van het stel dat nu net zo goed stond. Dit is uitzichtloos.

Martin verhelpt het euvel altijd koppig door het tafeltje ter plekke net zolang te draaien tot een stuk grond wordt gevonden waarop alle poten tegelijk steun vinden. De ervaring leerde hem dat dat uiteindelijk altijd lukt en zo kwam hij op het idee te bewijzen dat dit ook moet lukken, als aan een paar voorwaarden is voldaan. De belangrijkste voorwaarde is dat de grond gelijkmatig (smooth) en continu is en ook weer niet al te zeer helt. Uitgangspunt is verder dat het tafeltje volmaakt is: een vierkant blad, de poten precies even lang, oneindig dun en stijf, loodrecht op het blad enz. Tenslotte moet worden benadrukt dat het er alleen om gaat de tafel te stabiliseren, hij hoeft niet volmaakt horizontaal te staan.

Het bewijs van Marin neemt een pagina of acht in beslag, maar maakt geen gebruik van hogere wiskunde. Toch laat hij het voorafgaan door een intuïtief stukje waarin hij uitlegt dat hij bewijzen kàn dat een vierkante tafel altijd zó is te draaien dat al binnen een verdraaiing van 90 graden volledig grondcontact moet ontstaan. Vandaag is dat bewijs genoeg.

Inmiddels is op de genoemde site een levendig debat ontstaan over de tafel van Martin. Het ligt helemaal niet aan de grond maar wel degelijk aan de rottige tafels van het CERN-terras, is de klacht. En niet het gewiebel is er het grote probleem, maar die eindeloze Bob Dylan-muziek. Het beste is dus de Dylan-cd onder de poot te leggen die tekort schiet.

Een enkele deeltjesfysicus vraagt zich af of het Martin-theorema ook opgaat voor een situatie waarin het gewiebel komt van een poot die wèl net iets korter is dan de ander drie. En hij geeft zelf het antwoord: nee, want op een volmaakt vlakke bodem blijft zo'n tafel wiebelen, hoe je ook draait.

Na een lange pauze is in de Google-zoeklijst eindelijk ook het artikel `Smash, grab and touchdown: a measure of flippancy' van de Britse technici Ian Johnston en Hazel Lucas opgenomen (onder motivate.maths.org). Zij kwamen twee jaar geleden in het nieuws met een ontwerp voor een bierviltje waarmee ongekend goed kon worden geflipperd, als dat de Nederlandse term is voor het spelletje hier op de foto's. Het is café-vermaak.

Op de rand van de toog ligt een bierviltje, zó dat hij er net niet afvalt. Het is de kunst er met de rug van de hand een tik onder te geven en het tuimelende viltje met dezelfde hand nog in de volle vlucht beet te grijpen. Smash and grab, heet dat. De chef AW is er tamelijk behendig in, het gaat ook goed met cd's. In Engeland, waar een bierviltje een `coaster' wordt genoemd, bestaat ook nog een spelvariant waarbij het viltje op een glas moet terecht komen.

Johnston en Lucas, de een van Open University en de ander van Hertford College, kregen geld van brouwerij Strongbow om een optimaal viltje te bedenken en zijn ook werkelijk met iets voor de dag gekomen. Zij rustten de doorgaans vierkante Britse viltjes uit met twee vleugels ter weerszijden: de Aeromat. Dankzij die vleugels lukt het flipperen ook in zwaar beschonken toestand.

Nu ja. Het aardigst was het onderzoek aan de gang van zaken bij het flipperen met gewone Britse vierkante bierviltjes. De kwestie werd geanalyseerd aan de hand van behoudswetten, in dit geval de wetten van behoud van impuls en van impulsmoment. Het levert minder vergelijkingen dan onbekenden op, maar daar redt men zich uit met randvoorwaarden. Het viltje kan namelijk op twee manieren de lucht in: onmiddellijk helemaal los komen van de toog (lofted launch) of eerst scharnieren om de rand die het verst van de speler verwijderd is (rotated launch). De overgang tussen die twee wordt bepaald door (1) de mate waarin het viltje over de toogrand steekt, (2) de precieze plaats van de tik en (3) het zogenoemde traagheidsmoment van het viltje. Met wat aannames over de soort viltvlucht die optimaal zou zijn komen Johnston en Lucas tot hun ontwerpeisen. Het interessante is dat het ideale flipperviltje per se niet vierkant of rond moet zijn: dat brengt een heel instabiele vlucht mee. Dat is zelfs te zien bij een boek dat men omhoog werpt om het een salto te laten maken. Hield men het boek bij de lange zijde vast dan volgt een kalme rotatie. Hield men het bij de korte kant dan volgt er een soort getuimel dat `wobbling' heet. Het ideale bierviltje is licht rechthoekig en wordt geflipperd met de lange as evenwijdig aan de toog.