Diagonaalverpakking

DE KLEINE wiskunde van alledag: er is meer van dan het lijkt. Vorige week zaterdag begon het al met de fluitketel. Daar zat nog een bodem lauw water in van een vorig gebruik maar hij moest nu tot minstens 0,5 liter worden bijgevuld om eens flink koffie te kunnen zetten. Wat lag meer voor de hand dan er kant en klaar heet water uit de geiser bij te laten lopen?

Al tappende rees de vraag of het niet aantrekkelijk zou zijn de ketel een beetje te overvullen, niet tot de benodigde halve liter maar misschien wel tot driekwart liter. Dan zou de eindtemperatuur, na menging met het al aanwezige lauwe water, mooi hoog zijn en was het water op het gasfornuis misschien wel extra snel aan de kook. Daar stond tegenover dat er dan wel extra véél water aan de kook moest komen, het kon ook averechts werken.

Wat zou verstandig zijn? Daar begon die dag mee. Waarschijnlijk was er een optimum. De ketel tot aan de rand van de fluittuit vullen met geiserwater was waanzin, zo warm was dat geiserwater nu ook weer niet. Maar een beetje extra was misschien zo gek niet.

Het kwam er op aan de zaak voldoende te versimpelen. Voor de `eerste benadering' (waarbij het meestal blijft) is aangenomen dat de tijd die een fluitketel nodig heeft om een bepaalde hoeveelheid water aan de kook te brengen recht evenredig is met die hoeveelheid. Dat staat niet ver van de werkelijkheid. Veder is er vanuitgegaan dat de opwarmtijd (tot koken) van een bepaalde hoeveelheid water recht evenredig is met het `temperatuur-deficiet': het verschil tussen de gewenste 100 graden en de uitgangstemperatuur. Dus: een halve liter water die van 50 graden Celsius aan de kook moet komen doet daar twee keer zo lang over als eenzelfde hoeveelheid die met 75 graden van start gaat. Dat is niet ècht zo, het verschil is in werkelijkheid kleiner omdat vooral het laatste stukje van 90 naar 100 erg lang duurt. Vandaag doen we het er mee.

De benodigde kooktijd is nu voor te stellen als het product c.V.(100 Tm), met c een constante, V het volume en Tm de Celsius-temperatuur die ontstond nadat het hete geiserwater goed mengde met het restwater dat nog in de ketel zat. Tm is dus de mengtemperatuur, het is tegelijk de starttemperatuur voor de verhitting op het gasfornuis. Het berekenen van die mengtemperatuur is middelbareschoolstof, maar er zit een handigheidje achter dat gauw vergeten wordt. Je vindt Tm door aan te nemen dat de hoeveelheid joules (`calorieën') die het opwarmende lauwe water opneemt om tot Tm te stijgen gelijk is aan de joules die het toegevoegde geiserwater afstaat als het tot Tm afkoelt. Het comfortabele van deze aanpak is dat je in graden Celsius kunt blijven werken.

We nemen aan dat er in de ketel nog 200 ml water zat van 25 graden Celsius en dat het water uit de geiser een temperatuur heeft van 60 graden. Wie het werken met onbekende variabelen (`x') verafschuwt kan snel een tabelletje maken dat aangeeft wat steeds het effect is van 100 ml extra geiserwater. De temperatuur in de ketel stijgt van 37 naar 42,5 en vervolgens 46, 48 en 50 graden bij elke volgende hoeveelheid van 100 ml geiserwater. Dat ziet er bedenkelijk uit, de hoeveelheid water stijgt veel sneller dan de temperatuur. Bij een Tm-waarde van 50 hoort al een watervolume van 700 ml.

De algebra maakt dan ook korte metten. Wie de toegevoegde hoeveelheid geiserwater x stelt en weer dezelfde berekeningen uitvoert als voor de tabel, nog even doorcijfert en wegstreept, die stelt vast dat de benodigde kooktijd met toenemende hoeveelheden geiserwater almaar groter wordt. Niks optimum, er moet maar 300 ml geiserwater worden getapt.

Tot zover de som die volgend jaar in het eindexamen wordt opgenomen. Nu naar de afwasteil. Daar stond die zaterdagochtend nog twee liter afwassop in dat nog helemaal niet leek uitgewerkt. Maar het was steenkoud geworden: 15 graden Celsius. Met de geiser boven de teil was die temperatuur natuurlijk snel op peil gebracht, maar dat bracht aanzienlijke verdunning van het sop met zich mee. Wat adviseert dr. Oetker in dit geval?

Weer stellen we `in eerste benadering' dat de waskracht, de `performance' van het sop, recht evenredig is met de concentratie van het detergent. Zelfs stellen we dat de waskracht ook recht evenredig is met de Celsius-temperatuur van het sop, wat ook al niet echt het geval zal zijn. Het is aannemelijk dat de fabrikant een detergent-concentratie adviseert die aan de hoge kant is (tegen verzadiging aan, misschien wel). Ook is de waskracht al nul nog voor de Celsius-temperatuur nul is.

Who cares? Het gaat erom dat de berekening, die bijna net zo gaat als daarnet, nu wel een optimum laat zien. In het aangenomen geval wordt dat met 1 liter geiserwater bereikt. Wordt meer water toegevoegd dan gaat het effect van de verdunning overheersen. Met wat meer reële aannames blijft dit beeld bestaan.

Later op die zaterdag, geloof het of niet, moest een verkoper van De Slegte het boek `Zijn de hemellichamen bewoond?' inpakken. Dat boek was al in 1862 door astronoom Camille Flammarion geschreven maar werd pas in 1891 vertaald. Het is een bezopen boek. Waar het om gaat is dat de De Slegte-verkoper een te klein stuk verpakkingspapier van de rol scheurde. Noch overlangs, noch overdwars paste het om het boek. Het leek erop dat hij maar het beste een nieuw stuk kon afscheuren, maar dat deed hij niet. Hij legde het boek diagonaal in het papier, glimlachte geruststellend en liet zien dat het papier nu met ruime overlap om het boek paste.

Het was een mirakel en het duurde even voor duidelijk werd waar de verkoper de papierwinst vandaan haalde. Met diagonaal verpakken zijn er naar verhouding minder dubbele en drievoudige papierlagen. De illustratie hier toont een stuk karton (verwaarloosbare dikte) van `Gulden Snede', dus zo geknipt dat breedte : lengte = lengte : (breedte + lengte). Dus b/l = l/(b+l). Er zit papier omheen dat te klein was voor gewoon haaks verpakken, maar uitstekend voldeed in diagonale toepassing. De opgave: bereken de minimale zijde-lengte van een vierkant stuk papier dat nog net voor diagonaal verpakken te gebruiken is.