Rekenonheil

In 1827 formuleerde Georg Simon Ohm zijn beroemd geworden wet die het verband aangeeft tussen tussen spanning en stroomsterkte in een stroomkring met gelijkstroom. Voor elke component in de kring bestaat een vaste verhouding tussen de spanning over en de stroom door die component. Die verhouding heet de elektrische weerstand.

Al meer dan anderhalve eeuw wordt de wet van Ohm samengevat in de formule: U = I x R. Daarin stellen U en I de spanning en stroomsterkte voor en is R de weerstand. Het is zo'n simpele formule dat leraren natuurkunde hem graag en gretig gebruiken voor hun praktica, proefwerken en repetities. Zijn U en R bekend dan is I te berekenen, zijn U en I bekend dan is R te vinden, enzovoort. Ook de leerlingen zelf hadden er alijd plezier in. Alleen rond de Wisselmeren en aan de voet van de Kilimanjaro leverde de formule lange tijd problemen op, maar dat kwam doordat de kinderen er zich geen voorstelling konden maken van elektriciteit. Dat is nu voorbij.

Deze week is duidelijk geworden dat toepassing van de formule op Nederlandse middelbare scholen tegenwoordig op bezwaren stuit. De eendimensionale formulering van de wet van Ohm (U = I x R) blijkt te zijn vervangen door een tweedimensionale die hier op het plaatje staat. De kwestie was dat de leerlingen maar niet konden onthouden hoe je R berekent als U en I gegeven zijn, of je dan U door I of I door U moest delen. Nu zien ze het vanzelf, want U staat altijd boven. U moet altijd in de teller. De natuurkundeleraar doet schamper over de driehoek, maar kijkt wel uit hem af te schaffen. Zonder de driehoek wordt het niets. Let wel het gaat hier om kinderen van 16 jaar oud, ze zitten in de vierde klas van het gymnasium.

Dit is niet helemaal het soort onderwerp dat gewoonlijk in deze rubriek behandeld wordt, meestal gaat het hier over eieren, ballen en ballonnen, maar voor deze keer moet het maar. Scherper is de achteruitgang van het klassieke rekenonderwijs waarschijnlijk niet in beeld te brengen. Het was al bekend dat de staartdeling uit het basisonderwijs is geschrapt en dat het werken met breuken (3/5 : 6/15) praktisch is opgegeven, nu blijkt dat ook de allereenvoudigste formule uit fysica een hindernis is geworden. Zo groeide deze week de vrees dat er stilletjes nog meer is of wordt geschrapt.

Het besluit viel eens een blik te werpen in het wiskunde-boek dat daar in die vierde klas wordt gebruikt. Het blijkt `Getal en ruimte - VWO 2', een boek waaraan dertien auteurs hebben meegewerkt. Het bekeken exemplaar was een eerste druk uit 1998. Een kakelbont geheel barstensvol appetizers, terzijdes, samenvattingen, terugblikken en geinige cartoons waarin nauwelijks de weg is te vinden. Essentiële uitbreidingen van de theorie blijken er vaak in de sommen verstopt. Maar het zou te ver voeren te beweren dat de oud-HBS'er er van de ene verbazing in de andere rolt. Veel stof komt bekend voor maar is vergeleken met veertig jaar geleden aanmerkelijk uitgebreid. Bovendien komen ook volkomen nieuwe onderwerpen aan de orde: het kansbegrip, de binomiale verdeling, recursieve formules en goniometrische modellen. De sommen zitten onmiskenbaar geraffineerder in elkaar dan die uit het `leerboek der algebra' uit 1960 (dat nog voorhanden was).

Maar op bladzijde 59, midden in het hoofdstuk dat de exponentiële functie en het gebruik van logaritmen behandelt, gebeurt iets vreemds. De leerling krijgt de taak de verdubbelingstijd te berekenen van een populatie die met 3,5 % per jaar groeit. De formule is 1,035T = 2. Gebruik van logaritmen is hier onontkoombaar, weet de HBS-er. T = log 2 : log 1,035 = 20,1. Binnen tien seconden is hij klaar, want logaritmentafels zijn daar niet meer voor nodig. Maar nee: de leerling krijgt het advies zijn GR, de Grafische Rekenmachine, te pakken en die de coördinaten van het snijpunt tussen de exponentiële functie y = 1,035T en de rechte y = 2 te laten uitrekenen. Daar is de leerling zeker drie of vier keer zo lang mee bezig en als hij de `plots' van de grafieken op zijn GR niet in het juiste `venster' krijgt nog heel veel langer. Vaak bevatten de sommetjes aanwijzingen voor het te kiezen venster, maar zijn die er niet dan verzeilt de leerling in een uiterst tijdrovend trial-and-error. Geharde leerlingen hebben dat op eigen initiatief vervangen door een trial-and-error dat aantrekkelijker is: zij vinden de juiste waarde van T door eenvoudigweg aannemelijke waarden van T te `proberen'.

Het moet hier even bij blijven, de conclusie dat na vier eeuwen ook de logaritmes van Napier en Briggs als rekenhulp zijn geschrapt, net nu zij standaard in veel rekenmachines zijn opgenomen, is misschien voorbarig. Maar de intuïtie zegt: er dreigt onheil.

Liever een woord ter nuancering om misverstanden te voorkomen. De GR is een natuurlijk een schitterend hulpmiddel waarop men met terugwerkende kracht jaloers kan worden. En voor zover daarover zekerheid is krijgen heben leerlingen niet veel last van die kakelbonte opmaak in de wiskundeboeken. De historische terzijdes (wie was Napier, wie was Fourier en wie Gauss), waarvoor de volwassene zo dankbaar is, slaan zij gewoon over. De pogingen om de wiskunde rechtstreeks in verband te brengen met de soort fysica waarvoor zij in hoofdzaak wordt gebruikt zijn prijzenswaardig. De algebra van 1960 werd, waarschijnlijk uit estetische overwegingen, zó abstract gehouden dat je in wanhoop maar aannam dat de som van de rij 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16...enz. (zonder ophouden) eindig was en wel: 2. Het was een minimale moeite geweest om met een praktisch voorbeeld duidelijk te maken dat ook de som van oneindig veel termen eindig kan zijn. Het besproken boek neemt die moeite.

Toch nog een klein balletje tot slot, het staat hier op de foto. Ook dit is een illustratie van het feit dat de som van oneindig veel termen eindig kan zijn. Een `magic ball' of pingpongbal die mag stuiteren en tot rust komen zoals getoond kan in theorie oneindig veel sprongetjes maken en toch binnen vier seconden stil liggen. Minnaert rekent het voor in deel drie van `De natuurkunde van 't vrije veld'.