Het A-hoedje en de zandloper

De Indexstelling slaat een brug tussen algebra en meetkunde. Sir Michael Atiyah en Isadore Singer wonnen er de Abelprijs mee en bewezen theoretisch fysici een grote dienst.

OP 25 MEI werd in Oslo voor de tweede maal de Abelprijs toegekend. Deze grootste wiskundige onderscheiding, `de Nobelprijs voor de wiskunde', werd dit keer verleend aan Sir Michael Atiyah en Isadore Singer. Atiyah is van Libanese en Schotse afkomst en is na jaren Oxford en Cambridge nu werkzaam in Edinburgh. Singer is Amerikaan (familie van de schrijver I.B. Singer) en doceert al meer dan vijftig jaar aan het MIT, het Massachusetts Institute of Technology. Ze kregen de prijs voor hun formulering en bewijs van de indexstelling, een van de belangrijkste wiskundige resultaten uit de twintigste eeuw. De indexstelling slaat een brug tussen voorheen gescheiden stukken wiskunde. Het werk van Atiyah en Singer spreekt niet alleen tot de verbeelding van de wiskundige wereld, maar heeft ook de theoretische fysica sterk beïnvloed.

Een enigszins stoffige anekdote zegt dat er geen Nobelprijs voor de wiskunde bestaat omdat de invloedrijke Zweedse wiskundige Mittag-Leffler een affaire zou hebben gehad met mevrouw Nobel. Maar dit is historisch onjuist: Nobel is nooit getrouwd. En Mittag-Leffler was helemaal niet zo'n kwade genius. Zo speelde hij een belangrijke rol in de toekenning van de eerste Nobelprijs voor mathematisch werk aan de natuurkundige Hendrik Antoon Lorentz in 1902. Nee, het ligt meer voor de hand dat Nobel, en velen met hem, de wiskunde niet zag als een onafhankelijke wetenschap met grote maatschappelijke gevolgen, maar eerder als een ondersteunende discipline. Een pijnlijke misvatting die nu meer dan een eeuw later gecorrigeerd is.

Niet dat wiskundigen geen Nobelprijzen kunnen winnen. Alleen moeten zij dat in andere vakgebieden doen. Het beroemdste voorbeeld is John Nash die vanwege zijn jeugdwerk in de speltheorie in 1994 de Nobelprijs voor de economie won, nadat hij eerst uit een jarenlange psychose getreden was. Zijn verhaal is wereldberoemd geworden door de bestseller (1998) en film (2001) A Beautiful Mind.

mythe

Het gemis aan een Zweedse lauwerkrans werd gedeeltelijk gecompenseerd door de Fields-medaille. Deze werd tot voor kort gezien als het hoogste wiskundige eerbewijs, maar was oorspronkelijk bedoeld als aanmoedigingsprijs. De Fieldsmedaille wordt maar eens in de vier jaar uitgereikt en alleen aan kandidaten onder de veertig. Net als een Olympische topsporter kan een wiskundige dus ongelukkig pieken. Dit overkwam Andrew Wiles die net na zijn veertigste de laatste stelling van Fermat bewees en dan ook buiten de prijzen viel. De Fieldsmedaille heeft hard meegewerkt aan de hardnekkige mythe dat een wiskundige na het veertigste levensjaar letterlijk is uitgeteld.

Sinds vorig jaar is dit misverstand verholpen en is er de Abelprijs, ongeveer een miljoen euro's groot en zonder leeftijdsgrens. Toen de prijs werd aangekondigd rees het beeld van een lange rij wachtende eminente wiskundigen voor een nieuw geopend prijzenloket. De jury heeft dan ook een moeilijke taak om de prijs in deze kwetsbare periode zijn reputatie te geven. Dat is tot nu toe goed gelukt. De eerste Abelprijs werd vorig jaar toegekend aan Jean-Pierre Serre van het befaamde Collège de France in Parijs, een onversneden wonderkind dat al sinds de jaren vijftig een overheersende invloed in de wiskunde heeft. En nu zijn Atiyah en Singer bekroond.

Voor wiskundigen kan deze prijs geen mooiere naam dragen. Niels Henrik Abel was een van de grootste wiskundigen uit de negentiende eeuw en is in Noorwegen een nationaal figuur, van het niveau van Ibsen, Grieg of Munch. Zijn leven leest als een driestuiverroman (zie kader). En, zoals Atiyah bij de prijsuitreiking opmerkte, het is toch een veel beter gevoel een prijs te krijgen die genoemd is naar een dergelijk sympathieke figuur dan naar de uitvinder van dynamiet?

Wat is die indexstelling waaraan Atiyah en Singer hun prijs hebben verdiend?

Een groot gedeelte van de wiskunde houdt zich bezig met het oplossen van vergelijkingen, zoals 3x + 6 = 17 of 2x5 -3x² +5x = 1. Het laatste is een voorbeeld van een vijfdegraadsvergelijking: de hoogste exponent van x is vijf. Om dergelijke vergelijkingen op te lossen zijn allerlei methoden ontwikkeld. Je kunt een briljante gok maken of een stelselmatige benadering proberen toe te passen. Je kunt het probleem herformuleren of op zijn kop houden. Maar, je kunt ook iets anders doen. In het geval van de vijfdegraads vergelijking vertelde Abel niet hoe de expliciete oplossing kon worden gevonden, zoals generaties voor hem probeerden. Nee, hij toonde aan dat een dergelijke oplossing eenvoudig niet bestond. Op dezelfde wijze is het nuttig eerst te weten hoeveel oplossingen er zijn, los van de vraag hoe die oplossingen er precies eruit zien. Bijvoorbeeld, als je kunt berekenen dat er nul oplossingen zijn, is het goed dat zo snel mogelijk te weten. Wiskundigen hebben sinds Abel hun les geleerd.

Het is intuïtief wel duidelijk dat een dergelijke overkoepelende vraag naar het totale aantal oplossingen niet in de fijne details van het probleem kan zitten. Als een bepaalde vergelijking precies 26 oplossingen heeft dan lijkt het voor de hand te liggen dat door een kleine verstoring van het probleem dat aantal niet zal verspringen. Het kan namelijk nooit 26,001 of 25,999 worden. Het moeten er op z'n minst direct 27 of 25 worden. Maar waar zit dit soort algemene informatie verborgen? De vondst van Atiyah en Singer was dat het in de meetkunde zat (althans voor een grote klasse van zogeheten differentiaalvergelijkingen).

Stel ik wil een verjaardagsmutsje voor mijn dochtertje maken. Ik begin met een strook karton, plak de twee uiteinden aan elkaar en knip vervolgens puntjes uit de bovenkant om een leuk kroontje te krijgen. Maar als ik de twee uiteinden eerst een slag draai voordat ik ze aan elkaar plak dan vind ik een verrassing. Als ik langs de rand puntjes blijf knippen dan merk ik als ik helemaal rond ben gegaan dat de bovenkant de onderkant is geworden en vice versa. Mijn kroontje is een Möbiusband geworden en heeft maar één kant die tegelijk de bovenkant én de onderkant is.

Wiskundigen zeggen dat de topologie van de band niet-triviaal is. Topologie wordt ook wel rubbermeetkunde genoemd. De topologie doet of alles van superrekbare rubber is gemaakt. Je mag er alles mee doen: uitrekken, induwen, samentrekken, alles behalve scheuren. Maar hoe wild je ook trekt aan een Möbiusband gemaakt van silly putty, het kan nooit een normale band worden.

twee randen

Als ik de band nu niet één maar twee keer omsla, dan zit het hoedje weliswaar niet prettig, maar dan heeft het nog wel steeds een aparte bovenkant en een onderkant. (Als ik wat extra dimensies tot mijn beschikking zou hebben dan zou ik het hoedje zelfs gewoon recht kunnen draaien.) Enig experimenteren leert dat er twee gevallen zijn: bij een even aantal slagen heb je twee randen; bij een oneven aantal slagen maar één. Alleen in het eerste geval is het mogelijk van de bovenrand een kartelrandje te knippen en de onderkant recht te laten. In het andere geval is dat niet mogelijk. Het aantal oplossingen van mijn knutselprobleem – hier één of nul – is afhankelijk van de topologie.

De prenten van Escher geven vele voorbeelden van andere `onmogelijke' figuren. Die figuren zijn trouwens niet echt onmogelijk; ze hebben ongewone topologieën en bestaan wel in de wiskundige wereld.

Nu kan iedereen thuis een Möbiusstrip knutselen, maar om de ruimte zelf zo in de knoop te leggen is veel moeilijker voor te stellen. Maar dit is wat Atiyah en Singer onderzochten. In de jaren zestig lieten ze zien dat het aantal oplossingen – de index van de vergelijking – te vangen is in de topologie van de ruimte. Zij wisten de index uit te drukken in elegante meetkundige objecten die exotische namen dragen als Chern-klassen en het A-hoedje geslacht.

Daarmee deden Atiyah en Singer iets wat eigenlijk helemaal niet kon. Wiskundige formules zijn allemaal van de vorm X = Y. Maar in het geval van de indexstelling leken X en Y uit volledige andere werelden te komen, uit continenten gescheiden door een onoverbrugbare oceaan. Hoe kwamen die samen in één formule terecht? De impact van de indexstelling was dan ook alsof Noord-Amerika en Zuid-Amerika tegen elkaar aanbotsen. Plotseling ontstond er een landbrug en konden de twee gescheiden werelden (in dit geval de analyse en de meetkunde) met elkaar in contact komen. Er ontstonden allerlei nieuwe wiskundige levensvormen.

De Indexstelling en het latere werk van Atiyah en Singer in de jaren 1970 waren ook het startschot voor een hernieuwde belangstelling tussen de wiskunde en natuurkunde. Dat was hard nodig. Er is een lange traditie van samenwerking tussen fysici en wiskundigen. Newton moest voor zijn wetten van de mechanica de differentiaalrekening uitvinden en Einsteins relativiteitstheorie is helemaal gebaseerd op meetkundige ideeën. Maar die mooie traditie leek in de jaren 1950 en 1960 te verdwijnen. Fysici vlogen de nieuwe kerndeeltjes om de oren en verloren de hoop op een elegante wiskundige formulering. De wiskunde ging zich in die tijd juist naar binnen keren. Zo zei de fysicus Freeman Dyson in 1972: ``I am acutely aware of the fact that the marriage between mathematics and physics, which was so enormously fruitful in past centuries, has recently ended in divorce.'

Maar juist begin jaren zeventig sloeg de wind om. Het standaardmodel van de elementaire deeltjes werd geboren – een compacte mathematische formule die alle ons bekende materie beschrijft. En al die quarks, elektronen, neutrino's en de bijbehorende velden zoals het elektromagnetische veld en de velden die de kernkrachten beschrijven, hebben een volkomen natuurlijke wiskundige betekenis. Ze komen allemaal voor in de Indexstelling. Die kernkrachten hebben trouwens een bijzonder rijke symmetrie en staan bekend als niet-Abelse ijkvelden (naast alles wat Abel in zijn korte leven al presteerde was hij ook nog de grondlegger van de theorie van symmetriegroepen).

vuurvliegjes

De eerste echte fysische toepassing van de Indexstelling werd gegeven door Gerard 't Hooft in zijn oplossing van het zogeheten U(1) probleem. Hij liet in 1976 zien dat er speciale veldconfiguraties bestaan, door hem instantonen gedoopt, die heel even ergens in de ruimte oplichten – een soort wiskundige vuurvliegjes. Het zijn een soort Möbiusbanden in de ruimte en de tijd en uit deze vreemde topologieën kunnen spontaan elektronen en quarks ontstaan. Het precieze aantal deeltjes wordt geteld door de Indexstelling.

Deze instantonen hebben mogelijkerwijs grote fysische betekenis. Een van de grote mysteries is waarom er niet evenveel deeltjes als antideeltjes in het heelal zijn. Alles om ons heen bestaat uit gewone materie, en niet uit antimaterie. Een theelepeltje antimaterie zou hier in een enorme kernexplosie verdwijnen. Welk proces veroorzaakt deze asymmetrie? Mogelijk de instantonen die bestonden toen het heelal vlak na de Oerknal een zeer hoge temperatuur had. Dus misschien is de Indexstelling wel verantwoordelijk voor de schepping van alle materie in het heelal.

Het zou een prachtige bekroning zijn. De levensloop van een grote wiskundige stelling heeft iets weg van een zandloper. Daar loopt een groot reservoir van zandkorreltjes eventjes door een nauwe trechter om zich daarna weer in de breedte uit te spreiden. Soortgelijk is er van de Indexstelling een lange en wijdvertakte voorgeschiedenis die met wat fantasie terug gaat tot Abel. Er zijn vele voorlopers, bijvoorbeeld de prachtige stelling die de Duitse wiskundige Hirzebruch in de jaren 1950 vond. En zeker moet de grote Russische wiskundige Israël Gelfand worden genoemd die als eerste de vraag stelde die Atiyah en Singer uiteindelijk wisten te beantwoorden. Soortgelijk kwam er na de indexstelling een cascade van generalisaties die over alle takken van de wiskunde uitgewaaierde. Maar er is dan toch dat ene moment, ontstaan omdat Singer een onverwacht sabbatical nam bij Atiyah in Oxford, waarin het idee in zijn puurste en krachtigste vorm uitkristalliseerde.

Het is niet meer dan terecht dat dit bijzondere resultaat nu bekroond is. Atiyah en Singer hadden voorafgaand aan de Indexstelling al belangrijk werk gedaan en hebben daarna beiden een grote school van briljante leerlingen opgeleid. Atiyah moet een van de meest gelauwerde personen van Engeland, zo niet van de wereld zijn. Hij vloog met een extra koffer voor zijn medailles naar Oslo. Niet alleen is hij Sir Michael, verdiende hij eerder een Fieldsmedaille en was hij president van the Royal Society en master van het befaamde Trinity College in Cambridge. Hij is ook een van de vierentwintig Britten die de Order of Merit dragen, een eer die eerder onder andere naar Churchill uitging. En ik begreep dat hij in zijn familie als het stille jongetje geldt.

Atiyah en Singer laten ook zien dat je in de wiskunde heel goed elegant oud kan worden. Atiyah wordt dit jaar vijfenzeventig, Singer tachtig – hij doet het nu even wat rustiger aan met tennis omdat hij volgend jaar in de categorie 80+ gaat spelen. Beiden zijn nog steeds zeer actief in het wiskundige onderzoek, publiceren regelmatig, zijn op veel conferenties te vinden en denken niet aan pensioen.

Daarin zijn zij geen uitzondering. De Nederlander Dirk Struik, die net als Singer doceerde aan het MIT, werd actief doorwerkend honderdentwee. De eerder genoemde Gelfand vierde afgelopen augustus zijn negentigste verjaardag. Bij zijn verjaardagssymposium zaten Atiyah en Singer als twee enthousiaste jonge studenten naast hem op de eerste rij. Bij die conferentie waren er sprekers geboren in de jaren 1910, 1920, 1930, 1940, 1950, 1960 (ondergetekende), 1970, en 1980 – een volle eeuw wiskunde zat in de zaal.

Misschien werd de intellectuele vitaliteit van deze generatie wiskundigen wel gereflecteerd in de muziekkeuze bij de plechtige uitreiking van de Abelprijs. In aanwezigheid van Zijne Majesteit Koning Harald V klonk in de stijlvolle aula van de Universiteit van Oslo, begeleid door harp en fluit, een zeer luide en zeer experimentele vocale versie van Michael Jacksons Thriller.

Robbert Dijkgraaf is hoogleraar mathematische fysica aan de Universiteit van Amsterdam.

    • Robbert Dijkgraaf