De bezongen zaag

Toen Julia een maand of negen was, speelde zij graag met de draadloze telefoon. Piep-piep-piep, vlogen haar vingertjes trefzeker over de knopjes, totdat er uit het apparaat klonk: Telecom Italia, messaggio gratuita. Il numero selezionato è inesistente. Grote pret bij de peuter, en een verblufte reactie van haar pappa: ``hoezo, het gekozen nummer bestaat niet''? Ik had zelf gezien dat mijn lieve kindje niets anders intoetste dan een combinatie van de tien gewone cijfers. Toen zij het later, terug in Nederland, weer probeerde, bleek de formulering van KPN Telecom te zijn: Het door u gekozen nummer is niet in gebruik.

Hieruit volgt dat KPN meer kaas van wiskunde heeft gegeten dan haar Italiaanse concurrent. Want zelfs Julia kan met de cijfers 0 tot en met 9 geen enkel getal maken dat niet bestaat. Dat is het verbijsterende van de wiskunde: zodra je het hebt bedacht, bestaat het. En zodra het bestaat, ga je er allerlei vragen over stellen; uit de antwoorden blijkt of het bedachte interessant is of niet.

Dat bedenken is niet iedereen gegeven. Ik bak er vrijwel niets van, en ben dus geen wiskundige, in de zin dat ik er iets nieuws in kan uitvinden dat niet oppervlakkig is. Voor mij is wiskunde een abstract, maar uiterst doeltreffend gereedschap, zoals een goed geslepen beitel of een handig vertande zaag. De vraag is, waar die doeltreffendheid vandaan komt. De fysicus Eugene Wigner schreef in 1960 een stuk in Communications in Pure and Applied Mathematics, getiteld The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences.Volgens hem is wiskunde ``vaardig omgaan met concepten en regels die juist voor dit doel zijn bedacht''. Volgens die definitie is iedere beleidsnota wiskunde, en de graad van wereldvreemdheid die uit zulke documenten spreekt wijst ook in die richting. Maar dat bedoelde Wigner natuurlijk niet. Hij benadrukt in zijn stuk dat het bedenken van die concepten en regels de kern van de zaak is: als je alleen maar de termen van je axioma's gebruikt, blijft het een suffe boel.

Wiskunde is verbluffend bruikbaar, ondanks het feit dat de meeste wiskundige bedenksels niets met de wereld van alledag te maken hebben. Je bewijst de stelling van Pythagoras niet door van een paar rechthoekige driehoeken de zijden na te meten. Getallen zijn voor de meeste mensen al een abstractie, en operaties met die getallen (optellen, vermenigvuldigen) nog meer; wat zou dan het alledaagse voorbeeld moeten zijn van bijvoorbeeld een complex getal, waarvan het kwadraat negatief kan zijn? Op de vraag naar de ``onredelijke doeltreffendheid'' van de wiskunde is dus geen gemakkelijk antwoord mogelijk, omdat wiskundige bedenksels bijna nooit direct verbonden zijn met onze ervaringswereld. Eerder is het in de natuurkunde omgekeerd: een wiskundig apparaat komt als een deus ex machina tevoorschijn. Zo gebruikten Heisenberg en Born de matrixrekening om het gedrag van atomen te verklaren, pakten Wigner en zijn navolgers de groepentheorie aan om elementaire deeltjes te temmen, en leerde Einstein differentiaalmeetkunde van zijn vriend Michele Besso om er de structuur van tijd en ruimte mee te beschrijven.

Volgens mij is die `onredelijkheid' precies het tegenovergestelde: juist omdat de wiskunde door ons (nu ja, door de wiskundigen onder ons) is bedacht, is die precies bij het menselijk brein aangepast. Voor mij is wiskunde een soort taal,die zo scherp is vastgelegd dat misverstanden er onmogelijk zijn. Maar het blijft een taal, net goed voor de taal-apen die wij zijn. Zodra je het hebt bedacht, bestaat het. Wiskunde is dus meer literatuur, of een andere symbolenkunst, dan natuurkunde. Een van de redenen waarom ik hoop dat er ooit contact zal worden gemaakt met buitenaardse beschavingen, is om te zien wat voor wiskunde zij hebben. Hans Freudenthal dacht dat het dezelfde zou moeten zijn als de onze; naar zijn idee is wiskunde dus niet uitgevonden of bedacht, maar ontdekt. Ontdekken, best, maar waar? In je hoofd of in de vrije natuur? Als wiskunde te ontdekken was, konden wij het Heelal a priori construeren, maar die hoop is ijdel gebleken.

Veel wiskundige spinsels zijn achteraf in de natuurkunde zeer nuttig bevonden, maar vooraf was niet te zeggen welke, en de meeste wiskunde heeft geen enkele fysische toepassing.

Een theoretisch fysicus maakt verbindingen tussen wiskundige abstracties en gegevens uit de Natuur, zoals een marktkoopman `twee appels' zegt, of `drie vruchten'. Dat is een kwestie van kiezen: To do physics, zei Richard Feynman, you've gotta have taste. Wiskunde geeft door die keuzes de Natuur weer volgens vaste conventies. De definities en axioma's pikken wij van de wiskunde, maar zelf definiëren wij niets. Hele bibliotheken zijn er volgeschreven over electronen, zonder een enkele definitie van het electron. Wij definiëren niet, wij identificeren: elk symbool in een formule speelt een vaste rol in het weergeven (en berekenen) van een verschijnsel.

Omdat wiskunde bedacht is, en zich niet stoort aan het Heelal, zijn er echte onveranderlijke waarheden, stellingen waarvan de juistheid, eenmaal vastgesteld, niet meer in twijfel is. Daarom mogen deskundologen er niet met hun tengels aanzitten, zelfs als het schijnbaar gaat om kleinigheden, zoals het vervangen van het woord `plus' in een optelling door `erbij'. Het heeft duizenden jaren geduurd voordat wij zo'n machtige taal bijeen hadden en de eigenschappen ervan zijn gaan doorgronden, en daar hebben commissies van af te blijven. Wiskunde is geen kwestie van democratie: 2 plus (lekker puh) 2 is 4. Ik snap er niets van dat het egalitaire karakter daarvan niet op waarde wordt geschat, maar dat we een schoolsysteem hebben waarin men doet alsof ook de mensen die 2+2=3 schrijven, dat mogen omdat zij gelijke rechten hebben.

Omdat wiskunde zo buitengewoon handig is, moet iedereen er kennis mee maken, maar met een vlijmscherp stuk staal moet je leren omgaan, anders maak je brokken. Al eerder schreef ik over mijn nieuwe handzaag, zo'n ding zonder snoer of batterijen: wat is goed gereedschap toch lekker. In de abstracties 1-2-3-4-5-... kan `4' staan voor het aantal windstreken of het aantal Heemskinderen. Met die gehele getallen kun je andere getaltypen bouwen. Nog handiger is om die getallen, zolang je er geen waarde voor weet, door een letter voor te stellen, en daarmee algebra te doen. Dan kan `X' nog van alles zijn: X=1, 2, 3,14159265... Zo kom je de betrekkingen tussen dingen op het spoor, en dat is een hoofddoel van de natuurkunde. Tenslotte kun je ook nog elke algebraïsche vorm abstraheren, zodat bijvoorbeeld F kan staan voor de formule v=gt, voor E=mc², of nog wat anders. Met die truc kun je nagaan of iets überhaupt bewijsbaar of berekenbaar is, zoals Veltman dat deed met zijn Schoonschip-programma, en Gödel met zijn beroemde stelling over de onbepaalbaarheid van sommige wiskundige uitspraken.

Descartes gebruikte de algebra om de vorm van kromme lijnen te beschrijven; Newton bedacht de calculus voor de kromme planeetbanen; Feynman verzon een soort stripverhaal voor de baanloze banen van elementaire deeltjes. Zonder dat soort schepping schieten we weinig op: Wovon man nicht sprechen kann, davon muss man schweigen. In het Nederlands zijn `muss' en `soll' dezelfde werkwoordsvorm: `moet'. Maar hier staat `muss', zoiets als `het is onvermijdelijk', en niet `soll', `het mag niet'. Zolang we het nog niet hebben bedacht, kunnen we er niets over zeggen. Op de golf bedenkkracht van de wiskundigen surf ik dankbaar mee.