Priemgetallen bestaan in oneindig veel regelmatige rijen

Van priemgetallen bestaan veel rijtjes met dezelfde `tussenruimte', zoals 3, 5 en 7, of 13, 43 en 73. Van die rijtjes bestaan er zelfs oneindig veel en ze zijn willekeurig lang. Dat zeggen de Amerikaanse wiskundigen Ben Green en Terence Tao te hebben bewezen.

Zij doen daarmee een spectaculaire claim op een oud vermoeden waarvan het bewijs lang te moeilijk geacht werd. De wiskundigen van het Pacific Institute of Mathematical Sciences in Vancouver en van de University of California in Los Angeles, plaatsten een artikel van vijftig pagina's op internet (http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0404/0404188.pdf), dat nu voorligt bij het vakblad Annals of Mathematics. De definitieve acceptatie kan wel enkele maanden gaan duren, omdat het bewijs nog nagekeken moet worden.

De priemgetallen (getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf: 2,3,5,7,11...), fascineren wiskundigen al millennia. Er bestaan er oneindig veel, je komt ze overal in de wiskunde tegen, en ze vertonen een aantrekkelijke combinatie van grilligheid en verborgen regelmaat.

Eén van die regelmatigheden is al in 1939 gevonden door de Nederlandse wiskundige Johannes van der Corput. Hij bewees dat er oneindig veel rijtjes van drie priemgetallen bestaan met dezelfde tussenafstanden, zoals de hierboven genoemde rijtjes. In vaktaal zijn zulke rijtjes bekend als `aritmetische progressies'.

Maar een ouder en meer omvattend vermoeden weerstond tot nu toe iedere poging tot bewijs: dat er oneindig veel aritmetische priemgetalprogressies van willekeurige lengte bestaan. De langst bekende aritmetische progressie van priemgetallen was in 1993 met hulp van zware computerberekeningen gevonden: een rijtje van 21 priemgetallen, met als eerste lid het getal 11410337850553 en met een tussenafstand van 4609098694200.

Hierbij vergeleken is het nieuwe bewijs, als het overeind blijft, een doorbraak. De Amerikanen gingen uit van een wiskundige stelling van de Hongaar Szemeredí uit 1975, dat er oneindig veel willekeurig lange aritmetische progressies zitten in iedere verzameling van gehele getallen met een `positieve dichtheid.'

Die laatste eis betekent kort door de bocht gezegd dat de verzameling een substantieel percentage vormt van alle gehele getallen. Alleen: de verzameling van priemgetallen voldoet helemaal niet aan die eis. Hoe hoger de getallen waartussen je zoekt, hoe schaarser de priemgetallen worden. Daardoor maken priemgetallen 0 procent van alle gehele getallen uit.

De Amerikanen losten dit op door het bewijs van Szemeredí te vertalen naar een klasse van `pseudowillekeurige getallen', die ófwel priem zijn, ófwel `bijna priem': ze hadden weinig delers voor hun grootte. In deze groep vertegenwoordigden de echte priemgetallen wél een percentage groter dan nul, bewezen ze na lang speuren. Quod erat demonstrandum: er bestaan oneindig veel willekeurig lange aritmetische progressies van priemgetallen.

    • Bruno van Wayenburg