Luchtballonkwestie

NOG ÉÉN KEER terug naar de wetenschapsquiz van kerstavond, want de recensie die daarvan op 3 januari werd gegeven is enkelen diep in het verkeerde keelgat geschoten. Er is vooral kritiek op de kritiek die hier was op de gewenste beantwoording van de luchtballonkwestie.

Aan de orde was de vraag hoe het komt dat de luchtballonvaarder vaak uitstekend horen kan wat er honderden meters beneden hem gebeurt, terwijl men daar in de diepte zelf zelfs luid kabaal in de luchtballon niet opmerkt. Het gewenste antwoord was dat de ballonvaarder, die even snel vaart als de lucht waait, verblijft in volstrekt windstille omgeving en dus niet de minste last heeft van storend geluid, als het gezelschap in zijn mand ook even zwijgen wil.

De AW-redactie weigerde dat voetstoots aan te nemen want zóveel lawaai maakt een beetje wind nu ook weer niet. En zou het wel helemaal windstil zijn in die ballonnen? Alleen al uit de waarneming dat ballonnen onder invloed van de wind geregeld een beetje scheef hangen zou je durven afleiden dat het niet zo was. De AW-redactie is van lieverlee doordrongen geraakt van de grote invloed van temperatuur op allerlei geluidseffecten. Over een groot kampvuur kan men elkaar niet verstaan, warm water klettert anders dan koud water en als het 's avonds, bij heldere hemel, flink afkoelt dringt opeens ver geluid door dat overdag onhoorbaar was. Zo rees het vermoeden dat het vooral de typische temperatuurgradiënt tussen grond en ballon zou zijn die het effect oproept.

Per slot is de extreme hoorbaarheid die in ballonnen wordt ervaren niet gering. Zoals te lezen valt in Flammarions Atmosphère (vertaling Goudsmit, 1888): `De luchtreizigers deelen mede, dat zij op 1 kilometer hoogte des nachts nog duidelijk het gekwaak van kikvorschen hebben kunnen hooren. Op 3 kilometers hoogte hoorden zij hoegenaamd niets meer.' Minnaert voegt eraan toe dat op 800 meter hoogte nog krekels werden gehoord en op 1000 meter kreten van mensen. Dat dit alleen te danken zou zijn aan het ontbreken van wind leek wel erg kras.

Nu is daar prof.dr.ir. Jan Verheij in Delft die het reciprociteitsbeginsel in de strijd werpt. In het kort spreekt dat principe uit dat het geluid van een luidspreker in A door een microfoon in B altijd even hard gehoord wordt als dat van dezelfde luidspreker (even luid afgesteld) in B met de microfoon in A. Ongeacht het feit of zich tussen A en B een inhomogeen medium bevindt. En dat is natuurlijk wat het effect is van een temperatuurgradiënt: dat de lucht tussen grond en ballon inhomogeen wordt.

Het schijnt dat Lord Raleigh (John William Strutt) het principe al in 1877 heeft geformuleerd en theoretisch gefundeerd. Daar kan men zich wel een zekere voorstelling van maken. De wetmatigheid (die in leer- en handboeken overigens weinig aandacht krijgt) heeft een tegenhanger in de optica en is in de geluidsleer zelfs een leidend principe geworden dat veel praktische oplossingen biedt bij meetproblemen.

Wat nu? Ongelijk bekennen? Bakzeil halen? Dat kan altijd nog. Iedereen kent het geval waarin het reciprociteitsprincipe zéker niet opgaat: het effect van sterke wind op de hoorbaarheid van, bijvoorbeeld, klokgelui. Benedenwinds van de kerk klinkt het gebeier veel harder dan bovenwinds. Ook binnenshuis schijnt het reciprociteitsbeginsel niet altijd op te gaan. Internet (acoustics, reciprocity principle, violation) wijst onder meer de weg naar een artikel waarin het falen van het principe in de Londense St. Paul's cathedral wordt besproken. Voorlopig lijkt het dat alleen het experiment de doorslag kan geven.

Nu de dominostenen. Welke rij dominostenen valt na een zetje sneller om: die waarbij de stenen dicht bij elkaar zijn geplaatst of die waarbij ze ver uit elkaar staan. Vraag dat volgend jaar nog een keer, was de AW-suggestie, en definieer het dan wat preciezer: hoe sterk is dat `zetje', hoe lang is die rij en vooral: hoeveel is dicht bij elkaar en hoever ver.

Als de rij stenen maar voldoende lang is, schrijft prof.dr. Carlo Beenakker (Leiden), dan wordt de snelheid uitsluitend bepaald door de onderlinge afstand van de stenen. En daarvoor geldt altijd: hoe dichter bij elkaar hoe sneller de stenen omvallen, dus hoe sneller de `golf' door de stenenrij trekt.

Beenakker verwijst naar het boek `Towing icebergs, falling dominoes, and other adventures in applied mathematics' van Robert B. Banks (Princeton University Press, 1998). Een aantrekkelijk boek waarin inderdaad, onder heel veel meer, een toegankelijke wiskundige uitwerking van het domino-probleem wordt geboden. Banks begint met het omvallen van palen of fabrieksschoorstenen en stapt dan over op de dominostenen. Het leidend principe is behoud van energie en – bij de botsende stenen – behoud van impuls. De illustratie, een grafiekje van het verband tussen golfsnelheid (`speed') en de onderlinge afstand (`spacing') van de stenen bevestigt Beenakkers stelling. Het verband tussen speed en spacing bestaat uit een sigmoïde-curve (een S op zijn kant) die ruwweg een plateau heeft bij een spacing van ongeveer 0,6. (Daarmee wordt bedoeld dat de onderlinge afstand gelijk is aan 60 procent van de dominosteen-lengte.)

Maar: Banks' uitwerking is wel erg vereenvoudigd. De reële dominosteen valt niet alleen onder invloed van zijn eigen gewicht, maar ook nog onder dat van de steen die op zijn rug drukt. En `behoud van energie' betekent dat men de wrijving tussen de stenen onderling verwaarloost. Waarschijnlijk is dat niet toegestaan.

Ook hier handhaaft de AW-redactie het uitgangspunt dat het experiment beslist en niet de theorie. Banks gaf de uitslag van een experiment dat zijn theorie bevestigde. Maar op internet (dominoes, speed, spacing) zijn ook uitslagen van proeven te vinden (University of Tennessee) die een andere grafiek opleveren. Het hierboven genoemde plateau is daar veranderd in een heuveltje, een optimum dus. Over een breed gebied blijkt er geen grotere golfsnelheid op te treden dan bij een spacing van 0,6. Pas als de onderlinge afstand héél klein wordt (spacing < 0,1) neemt de snelheid toe tot een hogere waarde dan die bij 0,6.