Second thoughts

Zou seks in een column meer brieven opleveren dan auto's? Een zuivere proef is niet eenvoudig; uit wat ik heb geleerd over experimentele methoden leid ik af, dat ik in een geschrift het woord `auto' zou moeten vervangen door `seks', en dan zien wat er gebeurt. In elk geval weet ik dat die grappige twee-secondenregel me op een stortvloed van brieven en emails is komen te staan. Zo werd mij opnieuw duidelijk hoe moeilijk uitleggen is. In de eerste plaats ging het mij om een hanteerbare aanbeveling aan chauffeurs, niet om het toepassen van de regel voor energiebehoud. Ten tweede ging het niet om berekeningen en formules op zichzelf, maar om een rechtvaardiging van de door mij voorgestelde regel.

Wie over auto's schrijft, moet maar weten wat ervan komt. Vandaar dit stukje esprit d'escalier, waarbij ik aanteken dat de meeste respons erg aardig was, van vriendelijk vermanend via gewoon natuurkundig tot humoristisch. Bijna alle schrijvers hadden de meest voor de hand liggende kant van de twee-secondenregel begrepen: houd minstens zoveel afstand dat je na twee seconden op de plaats bent waar je voorligger was op het moment dat die tijd inging. Sommigen dachten – misschien door mijn bescheiden gebruik van formules – dat ik dat niet had gesnapt. Zodoende kreeg ik veel goede raad over seconden tellen nadat de voorligger een paaltje was voorbijgereden. Dat werkt uiteraard wel, maar komt neer op een ijking van je afstandsschatting. Daarbij ruil je de onzekerheid van de afstand voor onzekerheid in de tijd. Bovendien moet je dat bij elke snelheid opnieuw doen. Mijn formule was niets meer of minder dan een algebraïsche vorm van die goede raad, waarbij geen rekening werd gehouden met de vertraging. Ik vertaalde die formule naar de makkelijk af te lezen snelheidsmeter.

Sinds Huygens weten we dat snelheid relatief is. Klassieke mechanica gaat dus maar over één ding: de verandering van de snelheid. Die noemen natuurkundigen versnelling, ook als de snelheid afneemt. Een verandering van de richting van de snelheid is een versnelling, zelfs al blijft het aantal meters per seconde langs de baan onveranderd. De eenvoudige sommetjes berekenen hoe de snelheid van een voorwerp verandert onder invloed van een gegeven kracht. De moeilijke sommetjes gaan over versnellingen ten gevolge van heel ingewikkelde krachten. Wrijving is daar een voorbeeld van.

Als je wilt weten hoe een auto tot stilstand komt door wrijving op de remschijven of tussen de banden en de weg, kun je ervan lusten: wrijving ontstaat door processen op microscopische schaal die verbluffend ingewikkeld zijn. We weten er nog te weinig van, en moeten ons vaak behelpen met benaderingen op grond van proeven.

Dus veronderstellen we ruwweg dat een remmende auto per seconde een vast bedrag aan snelheid verliest. Er is dan een constante remversnelling (vertraging) A. Als die ongeveer gelijk zou zijn aan de versnelling van de zwaartekracht, dan is A = 10: per seconde neemt de snelheid met 10 meter per seconde af. Dat is zoiets als horizontaal vallen. Je kunt bewijzen dat A = S g, waarin g de versnelling van de zwaartekracht en S de wrijving tussen het wegdek en de banden. Omdat S altijd kleiner dan 1 is, kan de vertraging nooit groter zijn dan de valversnelling. Een auto in een drag race kan nooit sterker versnellen dan g, tenzij die met een tandwiel op de baan is gekoppeld. Een prikslee kan dus in principe sterker versnellen dan de heftigste drag racer. In de praktijk is de wrijving ongeveer 1/2, dus A = 4 is een redelijke schatting voor de remvertraging. Omdat er per seconde een vast bedrag A van de snelheid afgaat, neemt de snelheid v evenredig met de tijd af.

De lengte van de remweg is te berekenen door te bedenken dat de bewegingsenergie van de auto wordt omgezet in warmte, door de wrijving in de remmen en op de weg. De hoeveelheid energie die daarbij vrijkomt, vind je door de remkracht te vermenigvuldigen met de afgelegde remweg: wie een zak aardappelen over een afstand y voortsleept door met een kracht F te trekken, verricht een hoeveelheid arbeid gelijk aan E = F y. Een kracht is het product van massa en versnelling: F= m A, dus de rem-arbeid is E = m A y. De in de auto opgeslagen energie is E = m v²/2, dus de afgelegde weg, vermenigvuldigd met de versnelling, is gelijk aan de helft van het kwadraat van de snelheid. In formule: y A =v²/2. De massa van de auto deelt eruit, zodat het niet uitmaakt of je over vrachtwagens of motorfietsen spreekt: zonder algebra zou je dat niet hebben bewezen.

Zo is de remweg te berekenen uit

y= v²/2A. In mijn stukje gebruikte ik de benadering x = 2v t, waarbij de remtijd t de fameuze twee seconden voorstelt. Hoe fout is mijn schatting? Voor kleine snelheden valt mijn regel altijd hoger uit dan die voor y uit energiebehoud, dus dat is aan de veilige kant. Maar voor hoge snelheden is mijn x juist een onderschatting. Wanneer zijn zij aan elkaar gelijk?

Hier komt de algebra weer te hulp: wanneer is x = y? Dat gebeurt zodra

v = 4A t (invullen in de formules voor

x en y). Als we A = 4 en t = 2 nemen (nu gaan we van de algebra, die algemeen is, over naar een specifiek geval), dan is

v = 32 meter per seconde, dat is 115 km/u. Onder die snelheid is mijn formule een overschatting, daarboven onderschat ik de afstand die nodig is om in twee seconden tot stilstand te komen. Men kan bezwaar hebben tegen het feit dat mijn schatting bij hoge snelheid fout gaat; maar ik had mijn voorstel nu juist zo gemaakt dat de kruising gebeurt omstreeks de maximumsnelheid in het hele land, dus mijn benadering is aan de veilige kant.

De ergste fout van de `twee seconden' is, dat geen rekening wordt gehouden met de wrijvingsfactor. Op een natte weg kan de remvertraging soms een kwart zijn van de waarde op een droge, en wordt de remweg viermaal zo lang. Mijn infraroodradar zou echt helpen. Het ding meet de afstand tot de voorligger, leest de snelheidsmeter af, bepaalt de wrijvingsfactor uit de vochtigheid en de temperatuur, en piept als je moet oppassen. Beter en goedkoper dan al die luchtzakken.

Wie op dit punt nog met mij is, heeft gezien dat algebra algemeen is, waar getallen specifiek zijn. Als je meteen met getallen begint, verzand je in een woestijn van gissen en missen. Algebra daarentegen brengt je snel en veilig waar je wilt zijn. Als je wilt weten hoe alles gaat met `drie seconden afstand', vul je gewoon t = 3 in en alles valt op zijn plaats. Een laatste voorbeeld: mijn regel x = 2v t kun je ook schrijven als v =x/2t. Waarom zou je dat doen? Omdat dit aangeeft hoe hard je nog kunt rijden als het zicht x meter bedraagt (donker, bocht, mist). Bij t = 2 seconden levert een zicht van

x = 60 meter een snelheid v = 15 m/s, dus 54 km/u. Zegge: rijd evenveel km/u als het zicht in meters. In Italië zijn hiervoor speciale merktekens op de weg geschilderd: occhio ai segni in geval van mist. Leve de algebra!

Naast veel leuks kreeg ik ook de gebruikelijke stereotypen toegeworpen, zoals: `De wetenschappelijke benadering is allerlei ingewikkelde formules te gaan zitten uitrekenen alvorens aan een noodstop te beginnen.' Welja. Als dat zo was, zouden wetenschappers nog sneller door de auto's worden uitgeroeid dan door de schoolhervormingen.