Do the shuffle

Het schudden van kaarten in casino's luistert nauw. De onderliggende wiskunde zit vol verrassingen.

Het valt niet mee om een spel kaarten zo te schudden dat de kaarten echt willekeurig verdeeld komen te zitten, maar nog moeilijker is het te bepalen wanneer dat het geval is. Het aantal mogelijke verdelingen van 52 kaarten is astronomisch.

Expert op het gebied van `The Mathematics of Making a Mess' is de Amerikaanse wiskundige (en amateur-goochelaar) Persi Diaconis. Samen met collega Susan Holmes, ook van Stanford) kreeg hij onlangs het verzoek om het prototype van een automatische kaartschudmachine te keuren voor gebruik in de casino's van Las Vegas. Daar kan een slecht geschud spel een hoop geld kosten. Een goede blackjack-speler zal namelijk altijd proberen te onthouden welke kaarten er al gespeeld zijn. Daarmee krijgt hij een voordeel boven de gever (en het casino). Dat voordeel wordt nog groter wanneer de kaarten niet goed geschud zijn en hun verdeling niet helemaal willekeurig is.

Om die reden wordt er in casino's met minstens zes spellen tegelijk gespeeld en wordt het schudden overgelaten aan machines. Dat is overigens nog geen garantie voor een eerlijke uitkomst van het spel. Twee jaar geleden was een groep fraudeurs op slinkse wijze een schudmachine te snel af. Eerst maakten ze heimelijk opnamen van het schudden en stuurden die vervolgens naar handlangers buiten het casino. Die analyseerden de beelden op veel lagere snelheid om te bepalen hoe de kaarten waren gevallen en stuurden die informatie terug naar binnen. Op deze manier wisten ze miljoenen dollars te verdienen voordat ze tegen de lamp liepen.

Diaconis houdt zich al twintig jaar bezig met de wiskunde achter het kaartspel. Op veertienjarige leeftijd liep hij van huis weg om vervolgens tien jaar als goochelaar de kost te verdienen. Omdat hij meer wilde weten over de technieken die gokkers gebruiken, kocht hij een leerboek over statistiek – en was voorgoed verkocht. Hij meldde zich bij een universiteit in New York, waar hij gedwongen werd avondcolleges te volgen omdat ze hem maar een vreemde vogel vonden. Niettemin zou zijn studie hem, via posities aan de universiteiten van Harvard en Cornell, een leerstoel aan de universiteit van Stanford opleveren. Daar houdt Diaconis zich nog altijd bezig met de statistiek die ten grondslag ligt aan het schudden van kaarten. Tien jaar geleden bewees hij dat zeven keer schudden met een riffle shuffle (waarbij je een pak kaarten in tweeën deelt en die vervolgens ritsend weer ineen schuift) voldoende is om een volkomen willekeurige verdeling van de kaarten te krijgen.

Om willekeur uit te sluiten prefereren casino's toch schudmachines. Toen die in het begin van de jaren zeventig voor het eerst werden geïntroduceerd bij bridge, leidde dat tot opschudding. Ervaren spelers vonden dat de verdelingen van de kaarten te veel fluctueerden. Onderzoek wees echter uit dat een gelijkmatige verdeling (vier kaarten van één kleur en drie kaarten van de drie overige kleuren) veel vaker voorkwam wanneer er met de hand geschud werd. Dat komt omdat tijdens het spel de kaarten samenklonteren in groepjes van vier met gelijke kleur – de slagen in het voorafgaande spel. Als die niet door goed schudden worden opgebroken, stijgt de kans dat spelers gelijkmatig verdeelde handen krijgen. In sommige bridgeboeken worden zelfs technieken gepropageerd die daar rekening mee houden.

Een typische schudmachine neemt telkens een kaart van de onder- of bovenkant van een stapel en schuift die willekeurig in één van tien sleuven – een toevalsgetalgenerator bepaalt welke. Een tweede toevalsgetalgenerator beslist of de kaart boven- of onderop de stapel kaarten komt die al in die sleuf zitten. Wanneer alle kaarten verdeeld zijn, beslist een derde toevalsgetalgenerator in welke volgorde de tien stapeltjes weer op elkaar worden geplaatst.

Toen Diaconis en Holmes deze procedure bekeken, was het hen direct duidelijk dat er problemen zouden kunnen ontstaan. Als je bijvoorbeeld zou uitgaan van een pak kaarten waarin alle rode bovenin en alle zwarte kaarten onderin zitten, dan zullen eerst de rode in de sleuven worden gedaan en dan de zwarte. Daardoor ontstaan `sandwiches' met de zwarte kaarten aan de buitenkant. Als er tien sleuven zijn zal de kaartkleur dus twintig keer veranderen, terwijl dat voor een willekeurige verdeling zesentwintig keer zou moeten gebeuren. Nog duidelijker wordt het wanneer je de kaarten nummert van 1 tot 52. Als ze een keer door de schudmachine zijn gegaan, volgen de getallen op de kaarten een zigzag patroon. In elk stapeltje zit immers de kaart met het laagste nummer in het midden en loopt het nummer naar de buitenkant op.

Kan een speler van deze informatie gebruik maken? Daartoe verzon Holmes een demonstratie op basis van een simpel spelletje. Je neemt de kaarten een voor een van de stapel, en probeert te voorspellen welke kaart er boven ligt. Als je bijhoudt welke kaarten er al zijn gepakt, dan heb je de laatste altijd goed, zul je de een-na-laatste in 50 procent van de gevallen goed raden, enzovoort. Gemiddeld zul je op deze wijze vier tot vijf van de 52 kaarten goed raden.

Holmes verzon echter een methode waarmee zij – beter gezegd: haar computer – gebruik makend van het zigzag patroon tenminste 9 van de 52 kaarten juist kon voorspellen. De fabrikant van de schudmachine was verbijsterd. De beste manier om dit te voorkomen is de schudmachine uit te rusten met meer sleuven, maar, zoals Diaconis opmerkte, is het ook afdoende om hetzelfde pak kaarten vaker door de machine te halen.

Diaconis onderzoek naar het schudden van kaarten komt op heel andere terreinen van pas. Moleculair-biologen kunnen er de beste manier om een eiwit op te vouwen mee bepalen, fysici benutten het in de stromingsleer en biologen in onderzoek naar evolutie. Aan de hand van door Diaconis ontwikkelde methoden hebben biologen onlangs een schatting weten te maken van de tijdsduur nodig om de ene fruitvliegsoort in de andere te doen overgaan. Het ging om de verdeling van bepaalde mutaties (inversies), waarbij een stukje van een chromosoom los raakt en omgedraaid, met de genen in omgekeerde volgorde, weer wordt vastgezet. Een soort genenshuffle.

    • Rob van den Berg