Velplooien

Wonderlijk oud nieuws in Nature (10 oktober), maar toch nieuws dat erg de moeite waard is. In een `brief communication' komen drie onderzoekers van de universiteit van Cambridge iets vertellen dat in vakkringen allang bekend moet zijn. Dat het mogelijk is te voorspellen wat voor soort plooien er ontstaan in een elastisch membraan dat behoedzaam maar krachtig wordt opgerekt. De onderzoekers Cerda, Ravi-Chandar en Mahadevan wisten er langs heel elegante weg een formule voor af te leiden die de werkelijkheid aardig blijkt te benaderen. Ze gaan er van de weeromstuit van uit dat de vorm van de plooien in membranen, ook in dierlijke en plantaardige, een goede maat is voor de rekspanning die er heerst. Daar kunnen biologen hun voordeel mee doen.

Het experiment zelf maakt het snelst duidelijk waar het om gaat. Cerda, Ravi-Chandar en Mahadevan namen een stevig vel plastic (gewoon zacht polyetheen, dikte 0,100 mm) van ongeveer 20 cm lang en 12 cm breed en klemden daarvan de uiteinden stevig vast tussen aluminium plaatjes. Daarna werd het vel zozeer opgerekt dat de oorspronkelijke lengte met 1 of meer procent toenam, tot een totale rek van wel 20 procent. Onder deze omstandigheden vormen zich in het midden van zo'n vel een aantal identieke, evenwijdige plooien. Van die plooien, die je natuurlijk ook golven zou kunnen noemen, maten Cerda, Ravi-Chandar en ook Mahadevan de amplitude en de golflengte. De amplitude is de plooihoogte.

Na gedane arbeid stelden de onderzoekers vast dat de relatie die ze vonden tussen de golflengte van de plooien en de in het vlies opgewekte rek (1 tot 20 procent) exact voldeed aan de wiskundige relatie tussen die parameters zoals zij die eerder langs theoretische weg haddden afgeleid.

Vandaag is vooral van belang dat het artikel aantoont wat eigenlijk alleen onder een kleine groep specialisten bekend is: dat een vel plastic of ripstop nylon of vliegerpapier praktisch gesproken nauwelijks onder spanning is te brengen zònder dat er plooien ontstaan. Wie zelf eens een rigide raamwerk met een folie probeerde te bespannen en die plooien ook prompt zag verschijnen nam altijd aan dat het een gevolg was van een onregelmatige belasting. Dus van slordig werken. Dat blijkt niet het geval, zoals misschien nog het overtuigendst wordt aangetoond door de plooitjes die zonder mankeren ontstaan in het cellofaan dat de pot zelfgemaakte jam afsluit. Ook de waarneming dat een over de tafelrand hangend tafelkleed altijd spontaan gaat plooien steunt de regel.

Het recente Nature-artikel onderstreept dat de plooien een fysische onvermijdelijkheid zijn, een direct uitvloeisel van de negentiende eeuwse wet van Hooke (die voor elastische materialen het verband tussen rek en rekspanning beschrijft) en het zogenoemde Poisson-effect. Dat is de aanduiding voor de alledaagse waarneming dat geen elastisch materiaal is op te rekken zonder dat het daarbij tegelijk ook dunner wordt. Dropveters en elastiekjes laten de zogenoemde `dwarscontractie' goed zien.

Ook een plastic vlies (van de beschreven vorm) dat wordt opgerekt heeft de neiging tegelijk zowel langer als smaller te worden. Maar aan de ingeklemde uiteinden wordt die versmalling door de inklemming verhinderd. Zo komt het materiaal in het vlies zowel onder een langs- als een dwarsspanning te staan. Er onstaat een typisch `spanningsveld' (tension field) dat zijn eigen wetmatigheden heeft. In dunne flexibele membranen die voldoende sterk worden opgerekt behoren plooien tot die wetmatigheden. Ze zijn voor het eerst tussen 1929 en 1938 geanalyseerd en beschreven door de Duitse vliegtuigbouwkundige ingenieurs Herbert Wagner en Eric Reissner, beiden als hoogleraar in de VS geëindigd. De een na de oorlog, de ander er ruim voor. Wagner heeft nog lang in opdracht van het Reichsluftfahrtministerium gewerkt aan geleide bommen.

Hoe Herbert Wagner er eind jaren twintig toe kwam spanningsvelden in elastische membranen te analyseren is niet eentweedrie achterhaald. Zijn oudste publicaties zijn te vinden in het `Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschifffahrt', dus misschien werkte hij aan de huid van zeppelins. In ieder geval is er sinds enige tijd bij ruimtevaart-technici weer veel belangstelling voor het voorspellen en voorkomen van plooien in membranen. De NASA wil gaan zeilen op zonnewind. Op internet is daarover veel te vinden (`wrinkling of membranes').

De wiskunde achter de plooivorming in elastische vliezen wordt al gauw gecompliceerd, zeker als in die membranen - zoals meestal - ook `afschuiving' optreedt, dat is: als ze een beetje scheef worden belast. Niet precies in de lengterichting, maar een paar graden uit de loodlijn op de inklemming. Het rekenen aan plooien in zulke scheefbelaste vliezen (om precies te zijn: in gealuminiseerd Kapton van 0,025 mm dik) is het studie-object van een andere groep wetenschappers in Cambridge, die van het Deployable Structures Laboratory (DSL) onder leiding van hoogleraar Sergio Pellegrino. Een zeer recente analyse van Pellegrino en promovendus Wesley Wong staat ook op internet.

Voor zover dat helemaal duidelijk wordt, is het bijzondere van het werk van Cerda, Ravi-Chandar en Mahadevan dat zij inzagen dat een opgerekt vlies (mèt plooien) een soort elastische potentiële energie ontwikkelt die uit twee componenten bestaat. Enerzijds de potentiële energie gevormd door de rek in de langsrichting en daarnaast de energie die komt van de buiging in de plooien. Aan zichzelf overgelaten probeert een opgerekt, geplooid membraan de som van beide componenten te minimaliseren. Uit deze voorwaarde is snel een verband af te leiden tussen de relatieve rek en de golflengte van de plooien.

Zo eenvoudig is het experiment van Cerda, Ravi-Chandar en ook Mahadevan dat het AW Laboratory niet aan een herhaling ontkwam. Op het plaatje ziet men een stuk van een polyetheen Komo-huisvuilzak ingeklemd tussen plaatjes Meccano. Breedte 9 cm, lengte 19 cm en dikte (op grond van berekening) 0,050 mm. De relatieve rek waarbij plooien met een golflengte van 1 à 2 cm ontstaan is naar schatting hooguit een paar procent, dus zeg 0,015. En dat is precies de orde van grootte die de benaderingsformule uit Nature voorspelt.