Het gat van Escher

Eschers litho `Prentententoonstelling' bevat in het midden een open plek waar de kunstenaar geen raad mee wist. Leidse wiskundigen wel.

Middenin de litho `Prentententoonstelling' van Maurits Cornelis Escher zit een grote witte vlek, waarop de initialen MCE en de datum zijn gedrukt. Daaronder schreef hij met potlood zijn handtekening en het serienummer. Waarom liet Escher het centrum van deze prent leeg? Wist hij niet hoe het verder moest, of was het misschien te moeilijk? De Leidse wiskundigen Hendrik Lenstra en Bart de Smit werkten twee jaar lang aan het invullen van die witte vlek. Dankzij hogere wiskunde, geavanceerde computerprogramma's en met de hulp van kunstenaars en studenten, blijkt dat de Prentententoonstelling zich onder de witte vlek oneindig vaak herhaalt.

In mei 1935 maakt Escher tijdens een bezoek aan Malta een schets van het gezicht op de havenstad Senglea. Tien jaar later gebruikt hij een deel hiervan voor `Balkon' – een litho waarin het centrum sferisch is opgeblazen, alsof er een bolle lens op ligt. Elf jaar daarna grijpt Escher opnieuw terug op de Malta schets. Ditmaal wil hij een ringvormige uitdijing verwezenlijken. Het resultaat is de `Prentententoonstelling', volgens kenners een van zijn beste werken.

Escher begon met een regelmatig netwerk van vierkantjes. Dat vervormde hij zodanig dat de hokjes vanuit de rechter benedenhoek naar links toe geleidelijk groter worden. Linksonder is zo'n hokje precies viermaal zo groot geworden. Dit proces herhaalt zich achtereenvolgens naar boven toe, naar rechts, en weer naar beneden. Terug in de rechter benedenhoek is het oorspronkelijke hokje dan 4444 = 256 maal vergroot. Aanvankelijk probeerde Escher dit met rechte lijnen voor elkaar te krijgen. Toen dat niet lukte maakte hij de lijnen gekromd. Zonder gebruik te maken van hogere wiskunde construeerde Escher volstrekt intuïtief een zogeheten `conforme afbeelding'. Hokje voor hokje beeldde hij vervolgens zijn originele tekening af op het vervormde rooster. Volgens de Leidse getaltheoreticus Hendrik Lenstra was Escher niet altijd consequent: ``Bij een conforme afbeelding blijven de oorspronkelijke vierkantjes in eerste benadering vierkant. In de litho zijn echter een aantal afwijkingen aan te wijzen. Zo hebben sommige rechthoekjes in Eschers rooster een duidelijke ruitvorm, waardoor een paar schilderijen in de galerij ruitvormig zijn geworden.''

Lenstra ontdekte dat het netwerk van Escher periodiek is. Dat betekent dat de tekening zich oneindig vaak herhaalt. Die periodiciteit openbaart zich door een wandeling langs de roosterpunten te maken. Begin bij de vette punt linksonder en ga acht (grote) hokjes naar rechts. Sla dan `haaks' linksaf en loop acht hokjes naar boven, weer linksaf en acht hokjes verder, en ten slotte nogmaals linksaf en acht hokjes verder. Je bent dan feitelijk terug op het beginpunt, want je hebt een vierkant doorlopen. In het onvervormde rooster valt dat eindpunt uiteraard samen met het beginpunt, maar in het vervormde netwerk eindigt de wandeling in een hoekpunt van het witte vierkantje in het midden. Dat heeft Escher niet ingevuld, maar van daaruit spiraalt de wandeling steeds verder naar binnen toe. De afbeelding komt telkens 22,6 maal kleiner terug, gedraaid over een hoek van 157,6 graden.

gesjoemeld

De litho en het oorspronkelijke netwerk van Escher werden gescand, en in de computer op elkaar gepast. Een programma van Joost Batenburg transformeerde de prent terug naar de onvervormde prent die Escher als uitgangspunt nam. Het levert een ogenschijnlijk eenvoudig plaatje op (figuur onder, uiterst links), waarbij echter driekwart van de oorspronkelijke details gevangen zit in de prent aan de muur. Eschers werktekeningen waren uitvergrotingen daarvan. Lenstra: ``Escher heeft hier en daar een beetje gesjoemeld, zowel in zijn rooster als in de litho. Toen wij met de computer zijn oorspronkelijke werktekening reconstrueerden, bevatte die tal van onnauwkeurigheden. Maar de belangrijkste tekortkoming is natuurlijk de witte vlek, die in de gereconstrueerde werktekening een flink spiraalvormig gat veroorzaakt.''

Dat stuk ontbrak ook in Eschers werktekeningen, omdat hij wist dat zijn vervormde rooster daar ophield. Animator Hans Richter vulde het ontbrekende deel in, en corrigeerde het perspectief en de vervormingen. Het resultaat is een prent met het bekende `Droste-effect': de cacaobus waarop een vrouw staat afgebeeld die precies dezelfde cacaobus vasthoudt. Iedere volgende cacaobus is steeds 12 maal kleiner. In de gereconstrueerde werktekening kijkt de man in de galerij naar de prent waarop rechtsboven diezelfde galerij weer voorkomt. Met het blote oog is het nauwelijks te zien, want de verkleiningsfactor is 256.

De gereconstrueerde werktekening werd vervolgens getransformeerd tot het beeld van de litho, maar ditmaal met behulp de wiskundige formule die het zuiver conforme rooster beschrijft. Bijna 50 jaar na het ontstaan van de Prentententoonstelling is nu eindelijk ook het centrum zichtbaar. De witte vlek is verdwenen. In plaats daarvan is er een oneindige spiraalvormige herhaling van de afbeelding. Met behulp van de computer kan willekeurig sterk op het centrum worden ingezoomd.

spiraalvormen

Het lijkt wonderlijk dat Escher alleen op intuïtie en met de hand een rooster ontwierp dat overeen komt met een mathematisch zuiver conforme afbeelding. Toch is dat geen toeval. Het is te vergelijken met zonnebloemen en schelpen die zuivere spiraalvormen hebben. Wiskunde kan een dergelijke regelmaat in een enkele formule vatten.

Waarom vulde Escher het middendeel van de Prentententoonstelling niet in? Volgens Escherkenner Bruno Ernst (pseudoniem van Hans de Rijk) klaagde Escher over de vele hoofdbrekens die het vervormingsrooster hem gaf. Het is best mogelijk dat hij zich niet realiseerde dat in het centrum een oneindige herhaling ontstaat. Escher was dol op periodieke verschijnselen, dus lijkt het vreemd dat hij het hier opzettelijk zou hebben vermeden. In zijn boek De toverspiegel van M.C. Escher citeert Bruno Ernst de volgende uitspraak van Escher: ``Twee geleerde heren, professor Van Dantzig en professor Van Wijngaarden, hebben mij indertijd tevergeefs trachten duidelijk te maken dat ik een `Riemann's vlak' heb afgebeeld. Ik betwijfel of zij gelijk hebben, hoewel een der kenmerken van zo'n vlak schijnt te zijn dat het centrum leeg is. Hoe dan ook, van Riemann heb ik geen kaas gegeten en van theoretische wiskunde, laat staan van non-Euclidische meetkunde, evenmin. Mij ging het slechts om een gesloten, ringvormige uitdijing, die nergens begint en nergens eindigt.''

Hendrik Lenstra denkt dat Escher het centrum zeker had ingevuld als hij had geweten hoe het daar verder gaat: ``Een prent die naar binnen toe ophoudt is eigenlijk net zo onbevredigend als een prent die naar buiten toe ophoudt. Maar iedere prent houdt natuurlijk naar buiten toe ergens op. Escher omzeilde dat probleem soms met repeterende patronen die naar buiten toe steeds kleiner worden, en in hun oneindige voortzetting toch een eindige begrenzing vormen. Ik denk daarom dat Escher gewoon niet wist hoe hij het centrum van de Prentententoonstelling moest invullen. Dat is ook de mening van Hans de Rijk.''

Bart de Smit heeft een complete website aan dit project gewijd, met een uitgebreide en rijk geïllustreerde uitleg over de stapsgewijze reconstructie van het centrale deel van de Prentententoonstelling. Het hoogtepunt vormen de computeranimaties van de oneindige voortzetting van zowel de werktekening als de ingevulde litho.

http://escherdroste.math.leidenuniv.nl