Slinger weer

Snel terug naar de mathematische slinger van vorige week: een gewichtje aan een onrekbaar, gewichtloos koord dat zonder luchtweerstand slingert. Het AW-labo vroeg zich af of de spanning in het koord als de slinger slingert hoger is dan wanneer-ie stil hangt. Daarop is met intense verbazing en hoon gereageerd. Natuurlijk, schreven velen, is de trekkracht hoger als de slinger in volle vaart door de verticaal gaat dan wanneer hij stilletjes naar beneden hangt. Had het labo nooit van centripetale kracht gehoord.

Heus wel! Het begrip is hier gebruikt voor schommels, klokken, kunstmanen, Palestijnse slingers en ballistische proeven. Alle noodzakelijke formules lagen nog voor in de hersenen en wat daar niet lag stond in twee handboeken `klassieke mechanica' die niets te raden overlieten.

Interessant om te zien hoeveel lezers aannemen dat er op een lichaam onderaan een slinger drie krachten werken: de zwaartekracht, de trekkracht in het koord èn de centripetale kracht. In werkelijkheid zijn er natuurlijk maar twee krachten werkzaam: de zwaartekracht en de trekkracht en is op elk moment de trekkracht in het koord gelijk aan de som van de centripetale kracht en de in de lengterichting van het koord werkende component van de zwaartekracht. De trekkracht in het koord wisselt dus voortdurend.

Het AW-stukje wilde het eens van een andere kant bekijken. Als het gewichtje in volle vaart door de evenwichtsstand (de verticaal) van de slinger zoeft is de snelheid korte tijd praktisch constant, dat valt eenvoudig aan te tonen. Hoog, maar constant. De verleiding is groot te concluderen dat er gedurende die tijd dan nauwelijks een nettokracht op het gewichtje werkt. Want de eerste wet van Newton zegt: als de snelheid van een lichaam nul is of constant dan blijft-ie dat tenzij er een kracht op werkt. Als dat waar was zou de trekkracht in het koord bij doorgang van de verticaal even groot zijn als bij een stilhangende slinger.

Om de bedrieglijke bedoeling duidelijk te maken werd het voorbeeld van de vallende steen gegeven: op het moment dat men een steen loslaat is de meetbare snelheid heel even nul. Dan zou er volgens Bartjens en Newton gedurende die korte tijd ook geen netto-kracht werkzaam kunnen zijn. Onzin natuurlijk, want het mag zo zijn dat de snelheidstoename misschien een fractie van een seconde onmeetbaar is, het is evident dat die er wel ìs.

Bij de slinger speelt de eindige meetnauwkeurigheid van tijd en snelheid een andere rol. Er is altijd wel een eindig tijdsinterval (hoe kort ook) te berekenen waarbinnen de snelheid volgens de ter beschikking staande meetnauwkeurigheid constant genoemd moet worden. Voor een slinger van twee meter die een uitslag van 15 graden kreeg is aan te tonen dat de snelheid tot een afstand van 2 graden links en rechts van de verticaal nog niet één procent van de maximale snelheid verschilt. Het doorlopen van de boog van 4 graden duurt 0,1 seconde en in die tijd kan er toch niet zo heel veel kracht méér in het koord ontstaan dan bij stilstand?

De klassieke berekening toont inderdaad aan dat de extra trekkracht bij de gang door de verticaal maar 7 procent hoger is dan bij stilstand. Toch komt de oplossing van het raadseltje uit andere hoek: tijdens de verticaal-passage verandert de richting van de snelheid razendsnel. De eerste wet van Newton geldt alleen voor lineaire verplaatsing.

Het was maar een aardigheidje. De slingertijd van de slinger wordt alleen door de slingerlengte bepaald, zegt de slingerformule. Maar dat is een benadering, in werkelijkheid neemt de tijd toe als de uitslag erg groot wordt. In een nieuwe serie proeven waarbij een loden gewichtje van 105 gram aan een koperen draad van 200 cm (plus of min 1 cm) in een deurkozijn moest slingeren was de slingertijd 2,835 seconden bij een begin-uitslag van 2,9 graden en 2,87 seconden bij een uitslag van 30 graden. Dat is een verschil van 1,3 procent, de literatuur komt op 1,7 procent. (De genoemde waarden zijn gemiddelden van herhaalde proeven. Merk op dat uit de metingen een zwaartekrachts versnelling van 9,82 m/s² volgt.)

Christaan Huygens was beducht voor dit effect op de nauwkeurigheid van zijn klok. Hij liet de slinger tussen `cycloïdale boogjes' slingeren, dan verkortte hij zich automatisch bij een grote uitslag. Dat kan natuurlijk alleen als de slinger voor een deel uit een koord bestaat en niet uit een stijve stang of strip, dat had er vorige week nog bij moeten staan.

De vraag rees of Huygens in theorie niet ook een veer of elastiekje in zijn slinger had kunnen opnemen. Ook dan was de slingerlengte immers variabel geworden. Het labo pakte de kwestie proefondervindelijk aan maar ondervond niet veel. Werd maar een klein stuk elastiek in het slingerkoord opgenomen dan veranderde er niets, bestond de hele slinger uit elastiek (onderbroekenelastiek) dan raakte het gewichtje in een vreemde dans.

Mede op aanraden van ir. L.A.A. Romeyn van de Stichting tot Behoud van het Torenuurwerk is een nieuwe proef met elastiek gedaan. Een gewoon dun elastiekje is opengeknipt en gemonteerd tussen het ophangpunt en de rest van de slinger. In de diepte hing het gewichtje van 105 gram dat het elastiekje op een lengte van 16 cm trok. De totale slingerlengte werd teruggebracht tot 197 cm om te voorkomen dat het gewichtje in volle vaart tegen de deurdrempel sloeg. Interessant genoeg was het verschil in slingertijd tussen slingeren vanuit grote uitslag (30 graden) en kleine uitslag (bijna 3 graden) nu juist groter: 1,7 procent. Daar stond tegenover dat de beweging heel regelmatig bleef en dat de verkorting en verlenging van het elastiek mooi te zien was. Het nut van de proef was dat hij een denkfout aantoonde. Het elastiek werkt averechts: hoe groter de beginuitslag hoe langer de slinger. In Scientific American van juli 1960 (Amateur Scientist) is aangegeven hoe een veer wel zin kan hebben.

Het bijgaande plaatje is voorzien van verbeterde aanduidingen. De slinger hangt aan een slingerveer en niet aan een scharnier of mes . Ook de gaffel of `slingeraandrijver' minimaliseert de verliezen in de aandrijving van de slinger door de ankeras.