Scheefhang

Wie in het bezit is van een lijst van giftige planten en ook het prismaatje `Eetbare gewassen' in de kast heeft staan, legt vroeg of laat beide lijsten naast elkaar. Hij wil wel eens weten of er dubbele vermeldingen zijn en ontdekt prompt dat het lelietje-van-dalen in beide boeken is opgenomen. Voortaan slaat hij het kopje vochtafdrijvende vandalen-thee beleefd af.

Dezelfde dwangmatige vergelijkingsdrift bracht deze week drie gelijksoortige natuurkundeboekjes naast elkaar. Links lag het hier uitentreuren opgevoerde `The flying circus of physics', in het midden `Mad about physics' dat vorige maand zo harteloos besproken werd en rechts het boek `Turning the world inside out'. Dat laatste is van de fysicus Robert Ehrlich, het is in 1990 uitgegeven door Princeton University Press. Zoals de twee andere beschrijft het een hele reeks paradoxen en curiositeiten uit de alledaagse fysica, met dat verschil dat het bij Ehrlich uitsluitend gaat om waarnemingen die aan kleine proefopstellingen zijn te doen. Zijn boek is een zorgzaam bijeengebrachte verzameling natuurkunde-demonstraties.

De voornaamste bron van dit soort boeken blijkt de `American Journal of Physics' en het tijdschrift `Physics Teacher'. Er was een onbedwingbaar verlangen te kijken welke onderwerpen uit die bladen in alle drie de boeken waren terecht gekomen.

Nu, dat was heel wat en tezijnertijd kan daar nog een zuur stukje over geschreven worden. Maar nu moet het even verder met de stapel boeken die hier op de foto staat. Die stapel blijkt al in 1955 voor het eerst te zijn beschreven. Zij illustreert het antwoord op de vraag welke maximale overspanning (of beter gezegd: overhang) met een scheefhangende stapel boeken (c.q. losse bakstenen of schoolbord-linialen) uiteindelijk te bereiken is. Hoe ver kan het bovenste boek uiteindelijk voorbij het alleronderste steken?

Het is een vraag waarmee iedereen te maken heeft gekregen die van tijd een stapel boeken op zijn bureau had waarin spontaan afschuiving optrad. Leuke Vaders die in quality time met hun Leuke Kinderen spelen ontmoeten het probleem bij het al te nonchalant stapelen van blokken en balkjes. Of als er van twee blokkentorens een cantilever-brug gebouwd moet worden.

Meer aanbevelingen zijn hier niet nodig. Hoe groot kan de `overhang' worden? Het verbluffende antwoord is: onbeperkt groot. Het `Circus' geeft die conclusie zonder veel uitleg, de `World Inside Out' geeft er een afleiding uit de statica voor maar `Mad about physics' maakt het het meest inzichtelijk.

Wie even zelf een kleine stapel maakt van gelijke of gelijksoortige boeken de Winkler Prins is met zijn constante aantal van circa 615 bladzijden per boek zeker zo goed als de Britannica – heeft snel door wat de essentie is. Het geheim van de smid is: van boven naar beneden werken.

Het eerste boek van de scheefhangende-stapel-in-aanbouw kan overal worden neergelegd. Het tweede boek dat er, om alvast de regelmaat te vestigen, onder wordt geschoven, mag daar tot aan de helft onderuit blijven steken. Dan valt het zwaartepunt van het bovenste boek nog net binnen de randen van het onderste en zal het niet scheef zakken of wegglijden. Boek drie moet zó onder de twee andere worden geschoven dat het gemeenschappelijk zwaartepunt van die twee ook weer nèt binnen de randen van dat derde boek blijft. Daarna moet het gemeenschappelijk zwaartepunt van deze drie samen weer net binnen de rand van het ondergeschoven boek vier blijven. Enzovoort, enzovoort. Het aardige is dat het karwei, van boven naar beneden werkend, makkelijk proefondervindelijk wordt uitgevoerd. Wie dat eenmaal weet, herwint snel het overwicht op zijn leuke kinderen.

Het aan te houden schema kan ook worden berekend. De lengte van een Britannica-deel is 28,4 cm. Boek twee (weer van bovenaf tellend) mag daarom in theorie hooguit 14,2 cm onder het bovenste boek uitsteken. Rekening houdend met het gemeenschappelijk zwaartepunt van die twee (dat in een tekening snel is aangewezen) kan worden berekend dat boek drie nog maar hooguit 7,1 cm onder boek twee mag uitsteken, om geen spontaan geschuif te krijgen. Voor boek vier is dat 4,73 cm.

Uiteindelijk verschijnt in de stapjes 14,2 en 7,1 en 4,73 enzovoort een harmonische reeks, dat is een reeks getallen met het karakter 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 enzovoort. Het is bekend dat deze reeks divergeert, dat wil zeggen dat de som van alle termen, die natuurlijk snel erg klein worden, toch almaar blijft toenemen en niet nadert tot een vaste eindwaarde (geen `limiet' heeft). Bij elke nieuw boek dat onder de stapel wordt geschoven kan men de stapel een heel klein beetje naar voren schuiven.

In het begin gaat het tamelijk hard, het vijfde boek ligt in principe al net helemaal buiten de verticale projectie van het eerste (het allerbovenste) boek. Maar het tempo neemt snel af. Na het vijftiende boek worden de stapjes al kleiner dan 1 centimer en een stapel van zo'n 100 boeken komt al nauwelijks meer met stapjes van een millimeter vooruit. En dat is dan nog in theorie, in de praktijk blijkt het praktische eind van de exercitie al veel eerder in zicht, zoals de foto laat zien. Een kniesoor die hier mee zit.

Wat je zou willen weten is door welke mathematische kromme de stapel boeken beschreven wordt. Een kettinglijn misschien?