Eurowerpen

Een collega in Italië wil een euro zien. Die zijn er in zijn land nog nauwelijks, dankzij Berlusconi, die Europa wel eens wil laten voelen hoe het is geregeerd te worden door een echte zakenman. Ik pak een munt van twee euro, vijl dat maffe randschrift eraf, en graveer er het adres voor in de plaats. Dan keil ik het schijfje uit alle macht richting Toscane. Als nu de eerlijke vinder het verder werpt, zoals de manschappen van Robin Hood deden met hun berichtpijlen, dan komt de munt tenslotte op de juiste plek in Florence.

Hoeveel maal moet je werpen om vanuit Leiden de plaats van bestemming te bereiken? Makkelijk te berekenen. Maar voor Kopenhagen moet je weer helemaal opnieuw beginnen. Wij willen niet dat speciale, maar het algemene geval begrijpen. Precies het omgekeerde van de methode op de Nederlandse Kaninefatenscholen, waar je tabellen en rekenmachientjes moet gebruiken in plaats van formules. Wiskunde wil ik, net als vorige maand (het spijt me, maar ik durfde niet aan Duisenberg te vragen of-ie in het belang van het journalistieke evenwicht nog vier weken wilde wachten). Het verschil tussen de zakjapanner en de wiskunde doet mij denken aan de parabel van het hongerige kind: ``Geef mij een vis, en ik heb genoeg voor een dag. Leer mij vissen, en ik heb mijn hele leven te eten.''

Hier komt de eerste visles: als A de afstand is die moet worden overbrugd, en W is de lengte van een worp, moet je N=A/W maal werpen om je doel te bereiken. Maar het Studiehuis heeft meer vernield dan de wiskunde: alle kennis is verdacht, moet kapot, en vervangen door `vaardigheden'. Alleen mensen als ik weten uit hun hoofd waar Florence ligt; volgens het Landelijk AIO Overleg behoor ik dan ook tot de `grijze prop', dus van mij mag geen werpkracht verwacht worden, al weet ik precies welke kant het op moet. De anderen doen er maar een gooi naar. Hoeveel maal moet je werpen om een bepaalde afstand te overbruggen, als je de munt lukraak van je af smijt? Zal het geldstuk ooit ter bestemming aankomen?

Tweede visles: zoek een goed stekkie, bedenk de juiste vereenvoudiging. Wij nemen een ééndimensionale wereld waarin iedereen exact even ver werpt. De vinder kijkt of de munt met de kop- of met de muntzijde boven ligt. Is het kop, dan werpt hij naar links, en anders rechts. Zo ontstaat een reeks W1, W2, W3,...WN, waarin het toegevoegde nummer 1, 2, 3... het rangnummer van de worp is. De waarde van een getal kan +W of -W zijn, in willekeurige volgorde. De W-reeks heet dronkemanswandeling.

Als het een eerlijke munt is, en dat willen wij van de euro toch aannemen, zal kop gemiddeld even vaak voorkomen als munt. De gemiddelde afstand na zeer veel worpen is dus nul: er is immers geen voorkeur voor links of rechts. Zoals de ezel van Buridan niet kon kiezen tussen twee exact gelijke stapels hooi, zal de munt gemiddeld niet van zijn plaats komen. Het antwoord lijkt dus nee te zijn: de munt komt nooit op het bedoelde adres. Met wiskundige woorden: de verwachtingswaarde van de som W1+W2+W3+...+WN is nul. Het is gebruikelijk een verwachtingswaarde aan te geven met scherpe haakjes <>, en de verwachte afstand is dus =0.

Maar niet elke reeks worpen eindigt precies op het vertrekpunt. Er is immers een kans dat er in een specifieke rij van worpen meer naar links dan naar rechts gaan, of omgekeerd. Maar hoeveel? Bij N worpen kan de som over een gegeven rij W's nul zijn, of +W, of -16W, ja zelfs NxW in het uitzonderlijke geval dat de euro N maal met de muntkant naar boven viel. Pas als wij al die mogelijke uitkomsten optellen en middelen, krijgen we zoals gezegd nul.

Nu komt visles drie: bedenk een goede maat voor een bepaald verschijnsel. Als we de som over een rij worpen positief maken, komt er na middelen natuurlijk niet nul uit, maar krijgen we een schatting van de afwijking van . De eenvoudigste manier om iets positief te maken, is kwadrateren. Wij berekenen dus het gemiddelde van AxA=

(W1+W2+...+WN)x(W1+W2+...+WN)

Is dat ook nul? Je zou kunnen denken van wel, want het gemiddelde van elke factor tussen haakjes is nul. Maar let op de wiskundige precisie: het kwadraat van een gemiddelde is niet hetzelfde als het gemiddelde van een kwadraat (de oom van mijn tante is niet de tante van mijn oom). Je ziet meteen dat er, in het product AxA, twee soorten termen voorkomen: die van de vorm A3xA5, en die van de vorm A6xA6. Eerstgenoemde heeft een gemiddelde nul, omdat de W-getallen niet noodzakelijk dezelfde zijn en het product dus positief of negatief kan uitvallen. Maar de tweede soort is een echt kwadraat, en is dus altijd positief! Daarom is

<A

De schatting van de afwijking of strooiing S van is de wortel hieruit,

S=W N

Dat maakt nogal een verschil! Als je een afstand van duizend kilometer wilt overbruggen heb je in rechte lijn tienduizend worpen van honderd meter nodig, dus met estafettesmijten zou je er in een dag kunnen zijn. Maar een dronkemanswandeling heeft daar, zelfs in rechte lijn, gemiddeld honderd miljoen worpen voor nodig, dus bijna achthonderd jaar als je elke tien seconden met de munt gooit.

Overal zien wij de gevolgen van die wortel-wet. De straling die in het centrum van de Zon wordt gemaakt, zou in rechte lijn in een paar seconden ontsnapt zijn, maar doet er in werkelijkheid tien miljoen jaar over om buiten te komen. Een gerucht, de pest, suiker in de koffie (zonder roeren), een nieuwe mop of een computervirus: allemaal dezelfde regel.

De manier waarop een verzameling deeltjes zich verplaatst door dronkemanswandeling heet diffusie. Je verwacht dat euro's met verschillende beeldenaars zich diffusief door de wereld gaan verspreiden, zodat wij als mijn collega tenslotte toch eigen euro's bemachtigt hier munten met Italiaanse stempeling zullen krijgen. De hierboven gegeven verklaring is de reden achter de formule voor de diffusie van de euro's, zoals beschreven in het januarinummer van Natuur & Techniek. Nu weet u dus waar dat onverwachte wortelteken vandaan komt. In N&T wordt hardnekkig gesproken over de `bottum-up' methode (heel stoer, maar spel het dan tenminste goed). De schrijver bedoelt blijkbaar wat in Amerika grass roots wordt genoemd. Hoe dan ook, ik hoop dat heel veel mensen zullen meedoen met het experiment dat Natuur & Techniek heeft bedacht.

In twee ruimtelijke dimensies kun je de proef doen door de munt te werpen in de richting die Hare Majesteits neus aangeeft. Ook in meer dimensies werkt de diffusieformule, maar het bewijs vereist kennis van de Stelling van Pythagoras, dus dat laat ik als huiswerk.

Laatst kocht ik een nieuwe handzaag, zo'n ding zonder snoer of batterijen. Het heeft een uitgekiende vertanding waarmee je zowel in de lengte als dwars op de draad kunt zagen. En terwijl het staal zich tevreden knorrend een weg bijt door het hardste hout, denk ik hetzelfde als over wiskunde: wat is goed gereedschap toch lekker.