Wiskunde als soap

Veel mensen denken dat je voor wiskunde bijzondere hersenen nodig hebt. Niet waar, zegt Keith Devlin. `Wiskunde is abstract, maar voor de rest is het net een soap.'

AAN WISKUNDE doen is niet zonder risico. Neem Archimedes, een van de grootste wiskundigen van de oudheid. Hij woonde in Syracuse, op Sicilië, en de verovering van die stad in 212 voor Christus door de Romeinen, tijdens de Tweede Punische oorlog, werd hem fataal. Terwijl de Griek die voor koning Hieron II allerlei oorlogstuig had ontworpen in opperste concentratie nadacht over een patroon dat hij thuis in het zand op een vloer had getekend, werd hij aangesproken door een vijandelijke soldaat. Aandacht voor de indringer had hij niet `Verstoor mijn cirkels niet!', zou hij hem hebben toegeroepen. Waarna de verbouwereerde centurio zijn zwaard trok en Archimedes doodde.

Waar komt wiskunde vandaan? Hoe werkt het? Hoe oud is het? Wiskundig denken lijkt weinig evolutionair voordeel te bieden. De jager-verzamelaar die zich aan wiskundig dagdromen waagde, vroeg nadrukkelijk om een einde als dat van Archimedes. Niettemin ontwikkelden onze voorvaderen het vermogen tot wiskundig denken. Waarom? Een extra probleem vormt de tijd. Zo'n 8000 jaar geleden begon de mens met abstracte getallen te werken. Pas 2500 jaar terug introduceerden de Grieken de symbolische wiskunde, met zijn vergelijkingen, stellingen en bewijzen. De wiskunde achter de bewegingen van de hemellichamen stamt uit de 17de eeuw en topologie en groepentheorie zijn nog jonger. Een paar duizend jaar is evolutionair gezien een oogwenk, veel te kort om het brein zo'n sprong te laten maken.

Over de oorsprong en het wezen van het wiskundig denken organiseerde de AAAS (American Association for the Advancement of Science) vorig jaar in San Francisco een symposium. Initiatiefnemer was de Brits-Amerikaanse wiskundige Keith Devlin, auteur van populair-wetenschappelijke bestsellers als Goodbye Descartes en The Language of Mathematics. In 2000 publiceerde Devlin The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved and Why Numbers Are Like Gossip en het was dat prikkelende en opzienbarende boek dat in San Francisco centraal stond, samen met het niet minder fascinerende maar taaiere Where Mathematics Comes From van de taalkundige George Lakoff en de psycholoog Rafael Núñez (zie kader).

Einsteins hersenen, zo stelt Devlin, verschilden niet wezenlijk van die van de jager-verzamelaar uit de IJzertijd. De specifieke hersenfuncties die de mens tot wiskundig denken in staat stellen waren al lang en breed ontwikkeld eer de wiskunde zich 2500 jaar geleden manifesteerde. Waartoe dienden die functies oorspronkelijk? Volgens Devlin verschaften ze de mens ergens tussen de 200.000 en 75.000 jaar geleden zijn taalvermogen. Maar taal, aldus Devlin, was slechts bijproduct van het ontstaan van het vermogen tot off-line thinking: `wat-als' denken zonder dat er een directe stimulus of noodzaak tot handelen bestaat en dat boven het heden uitstijgt.

Off-line denken behelst het opstellen en uitvoeren van ingewikkelde plannen, rekening houdend met diverse alternatieven en inspringend op de situatie van moment tot moment. Dit hypothetische redeneneren over de zeer vele, complexe sociale relaties tussen mensen grof gezegd: roddelen is de basis van taal én wiskunde. Dit omdat wiskundig denken in feite ook neerkomt op roddelen, zij het dat niet betrekkingen tussen mensen maar die tussen abstracties centraal staan. Omdat iedereen taal beheerst, leidt Devlins analyse tot de conclusie dat wiskunde niet voor een apart slag is weggelegd, maar dat iedereen ermee uit de voeten zou moeten kunnen. Wat de vraag oproept waarom zoveel mensen er in de praktijk bar weinig van bakken.

Wat is wiskunde? Meer dan rekenen, benadrukt Devlin. Wie denkt dat wiskunde getaltheorie is slaat de plank al 2500 jaar volledig mis. Tot circa 500 voor Christus ging wiskunde inderdaad over getallen: de Babyloniërs, Chinezen en Egyptenaren deden aan toegepaste rekenkunde. Die had een hoog kookboekgehalte (`doe dit met getal zus, vermenigvuldig de uitkomst met getal zo, en je hebt het antwoord'). Met de komst van de Grieken kwam de meetkunde in beeld en ging wiskunde ook over vormen: lijnen, cirkels, dodecaëders. Formele en precieze bewijzen deden hun intrede, rond 350 voor Christus culminerend in de Elementen van Euclides, naar verluidt na de bijbel het meest verspreide boek aller tijden. In de zeventiende eeuw vonden Newton en Leibniz de wiskunde uit achter beweging en verandering. Moderne wiskunde is super-abstract en valt uiteen in zo'n zeventig deelgebieden, van algebra via numerieke analyse en besliskunde tot complexiteitstheorie.

Wiskunde, zegt Devlin, is de wetenschap van patronen en structuren. Echt dan wel ingebeeld, statisch of dynamisch, kwalitatief of kwantitatief, toepasbaar of alleen leuk. ``Kijk naar de wereld om je heen, laat zaken als kleur, smaak, textuur en temperatuur weg en wat resteert zijn abstracties als rechte hoeken, vlakken, cirkels en kubussen: klassieke geometrie. Wie met die abstracties een redenering wil opzetten kan niet buiten een notatie met symbolen en in moderne wiskundeboeken struikel je dan ook over exotische tekens. Maar denken dat die tekens wiskunde zijn is een groot misverstand. Zoals bladmuziek pas tot leven komt in een uitvoering `klinkt' een bladzijde wiskunde pas in de hersenpan van de mathematicus die hem bestudeert.''

De in hoge mate abstracte taal van de wiskunde schrikt de leek af, maar is onontbeerlijk. Devlin: ``Zonder die algebraïsche symbolen zou veel wiskunde eenvoudig niet bestaan. Het kunnen omgaan met abstracte wiskundige concepten en ze weten uit te drukken in een geschikte taal zijn twee zijden van dezelfde medaille. Niettemin gaat wiskunde over de wereld waarin we leven, over ideeën. Ze is allerminst saai en steriel, zoals velen beweren. Wiskunde bruist van de creativiteit.''

Wiskundig denken en taalvermogen zijn, zoals gezegd, beide het resultaat van off-line denken. Om deze claim kracht bij te zetten onderzocht Devlin welke basisvaardigheden, die onze voorouders zich al honderdduizenden jaren geleden eigen maakten, nodig zijn voor wiskunde. Hij vond er negen, van `gevoel voor getallen' via `ruimtelijk inzicht' en `logisch nadenken' tot het `werken met algoritmes' (stapsgewijze oplossingsschema's) en `verbanden leggen'. Devlin: ``Hoe rampzalig de laatste wiskundetoets ook mag zijn verlopen, deze negen basisvaardigheden bezit iedereen. De stap naar echte wiskunde bestaat in het kunnen omgaan met abstracties. Redeneren aan de hand van echte voorwerpen of personen vindt niemand een probleem. Wiskundig denken ontstaat zodra dezelfde redeneerwijzen worden toegepast op de abstracte objecten die de wereld van de wiskunde bevolken. Wiskundige relaties zijn geen huwelijken, banen, jaloezieën en besmettelijke ziektes, maar hebben te maken met gelijkvormigheden, klassen en deelverzamelingen.''

Imaginair huis

De wiskundige die zich geconfronteerd ziet met een probleem moet, zo meent Devlin, om te beginnen de betrokken wiskundige concepten tot leven zien te wekken. ``Het is alsof je gewapend met een blauwdruk een nieuw huis inricht. Door de instructies te bestuderen weet ik welke materialen, benodigdheden en meubels ik nodig heb en waar ze verkrijgbaar zijn. Stap voor stap sla ik aan het inrichten. Zodra het huis klaar is, neem ik er mijn intrek. Omdat ik het zelf heb gemaakt, weet ik hoe het in elkaar steekt. In begin voel je je wat onwennig, maar binnen een paar dagen ben je zo vertrouwd dat je zelfs in het donker er de weg weet. Een wiskundig vraagstuk te lijf gaan komt neer op het steeds verplaatsen in je imaginaire huis van meubels, tot je de optimale configuratie de oplossing te pakken hebt. Het is vallen en opstaan, je slaagt door een combinatie van ervaring, intuïtie en gelukkige probeersels. Pas als je zeker van je zaak bent schrijf je een logisch bewijs, netjes, stap voor stap.''

Wiskundig denken, aldus Devlin, betreft denkprocessen die ontstaan zijn ten behoeve van huis-tuin-en-keukenactiviteiten, toegepast op abstracte objecten die door het brein in het leven geroepen zijn. ``De truc is je hersenen om de tuin te leiden zodat ze denken dat die abstracte objecten eigenlijk concrete zaken zijn. Zodra dat lukt, is de rest eenvoudig. Per slot van rekening doet het brein bij wiskundig denken juist die dingen waarvoor het in de loop van miljoenen jaren juist ontwikkeld is. Wiskundig denken is voor het brein iets natuurlijks en instinctiefs.''

Nieuwe verbanden

De wiskundige doet net zo'n beroep op zijn inlevingsvermogen, stelt Devlin, als iemand die een roman leest of een video bekijkt. Zelfs gaat Devlin nog een stap verder. ``Wie aan een nieuwe roman begint of een nieuwe film ziet, moet zich eerst vertrouwd maken met de hoofdrolspelers en de setting. Bij wiskunde is het niet anders, alleen veranderen spelers en hun omgeving nooit. Eenmaal gewend, kun je je helemaal concentreren op het ontdekken van nieuwe verbanden. In feite is het net Mary Hartman of Friends. De wiskundige ziet zijn vak als een soap. In de hoofdrollen van die soap spelen geen fictieve personages maar wiskundige objecten: getallen, geometrische figuren, topologische ruimtes, enzovoort. In die soap draait het niet om echtscheiding, geboorte en dood, ruzie, verliefdheid en zakenrelaties, maar om wiskundige betrekkingen. Is er een object X met de eigenschap P? Zijn A en B gelijk? Raakt deze lijn die cirkel?''

Vinden mensen wiskunde moeilijk, soap gaat erin als koek. Devlin: ``Ik ben nog nooit iemand tegengekomen die zei problemen te hebben met het volgen van een tv-soap. We hoeven voor het slapen gaan de relaties uit Friends echt niet te repeteren, dat web pikken we moeiteloos op. Dat komt omdat onze hersenen daar uitstekend mee uit de voeten kunnen. Zo'n tweederde van gesproken taal gaat over het wel en wee van anderen zeg: roddel. In een complexe samenleving met veel sociale interactie biedt roddel duidelijk evolutionair voordeel: je raakt via al die praatjes betrokken bij de groep, roddel zorgt ervoor dat je om anderen geeft in plaats van ze aan hun lot over te laten. Het is allesbehalve toevallig dat we constant over prinses Diana roddelden en tegelijk heel veel om haar gaven.''

Mensen, zo is de conclusie, kunnen uitstekend overweg met roddel, hun hersenen zijn erop gebouwd. De wiskundige is hierop geen uitzondering, alleen draagt zijn roddel een abstract karakter. Devlin: ``Sla een willekeurige pagina uit een wiskundeboek open. Wat valt op? Minder abstracte objecten dan spelers in een soap. Eenvoudiger relaties en een simpeler logische structuur dan bij een soep. Waarom vinden mensen wiskunde dan zo moeilijk? Het probleem zit hem in de vereiste achtergrondkennis. Die is bij soap geen probleem. Sekseverschil, ontslag, dood: het is allemaal gesneden koek. Bij wiskundig denken is al die achtergrondkennis niet met de paplepel ingegoten. Rationaal getal, cosinus, gebroken dimensie: het zijn voor de leek geen vertrouwde begrippen. Maar een wiskundige heeft geen ander brein, net zomin als een marathonloper een ander lichaam heeft. Wiskundig denken vergt enorme concentratie om die abstracties de baas te blijven en niet iedereen kan dat opbrengen. Maar voor de rest is het net soap.''

Keith Devlin: The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved and Why Numbers Are Like Gossip. Weidenfeld & Nicolson, geïll., 328 blz. Prijs: $25.-

ISBN 0 465 01618 9.