Toeval op bestelling

Door het werpen met een dobbelsteen zijn de cijfers 1 t/m 6 in een willekeurige volgorde te zetten. Ingenieuze generatoren van toevalsgetallen doen dit beter en sneller.

In het laboratorium van Mads Haahr, een fysicus aan het Trinity College in Dublin, staat een radio. Op zichzelf niets bijzonders, zij het dat de luidspreker niets anders dan ruis ten gehore brengt: het toestel is afgestemd op een frequentie die door geen enkel radiostation wordt gebruikt. Toch wordt het signaal via een microfoon vierentwintig uur per dag opgenomen en opgeslagen in een computer. De reden: Haahr gebruikt de ruis om lange rijen toevalsgetallen te genereren.

Toevalsgetallen zijn cijferreeksen waarvan elk volgend lid volkomen toevallig tot stand komt (bijvoorbeeld via het werpen van een dobbelsteen) en dus niet te voorspellen is. Haahr biedt zijn reeksen toevalsgetallen te koop aan: ``25,728,712,704 random bits served'', meldt zijn website (www.random.org). Grootste afnemer is op dit moment het Deense televisiestation TV2, dat een Backgammon-server exploiteert. De deelnemers aan dit spel gooien per dag 300.000 keer met een dobbelsteen.

De behoefte aan toevalsgetallen is groot, en niet alleen voor toepassing in computerspelletjes of gokautomaten. Marktonderzoekers gebruiken ze om een doorsnee te maken van een bepaalde bevolkingsgroep. Computernetwerken zouden vastlopen als er geen toevalsgetallen waren. Ze vormen een belangrijk ingrediënt van het Ethernet-protocol, een serie afspraken en regels die de communicatie tussen computers in een netwerk in goede banen leidt: om er voor te zorgen dat niet alle computers tegelijk beginnen met praten, krijgen ze een willekeurig getal toegewezen dat aangeeft hoe lang ze moeten wachten. En een van de meest toegepaste technieken voor het doen van computersimulaties is gebaseerd op statistische formules en is daarmee misschien wel de grootste afnemers van willekeur. Op verschillende manieren proberen websites als die van Mads Haahr aan die toenemende vraag te voldoen, want zoals een wiskundige het ooit uitdrukte: ``Het genereren van toevalsgetallen is te belangrijk om aan het toeval over te laten.''

engelse parochies

Reeksen toevalsgetallen maken lijkt op het eerste gezicht een simpele opgave. Maar dat valt knap tegen. De Engelse fysicus Lord Kelvin deed ooit een poging door genummerde briefjes uit een hoed te trekken, maar hij kwam er al snel achter dat het vaker dan hem lief was voorkwam dat hij twee keer achter elkaar hetzelfde briefje trok. Anderen hadden meer succes door uit te gaan van de willekeurige nummers van vrachtbrieven, of de oppervlaktes van alle Engelse parochies.

In 1955 publiceerde de Amerikaanse denktank RAND-corporation zelfs een boek met een miljoen toevalsgetallen. Ook die bleken op den duur ontoereikend, zeker toen de Monte Carlo-methode steeds populairder werd. Deze wiskundige techniek voor het doen van simulaties is op in de oorlogsjaren ontwikkeld om te kunnen bepalen wat er gebeurt tijdens het ontploffen van een atoombom. In elke fase van dat proces zijn er talloze mogelijkheden die het lot van een willekeurig subatomair deeltje bepalen, maar de wiskundige vergelijkingen die dat beschrijven zijn zo ingewikkeld dat ze niet oplosbaar zijn. De Poolse wiskundige Stan Ulam bedacht echter dat je kunt `naspelen' wat er met een deeltje gebeurt. Je hoeft daarvoor alleen maar op te schrijven wat er in principe allemaal mogelijk is en vervolgens aan elk van die gebeurtenissen op basis van fysische wetten en regels een kans toe te kennen. Daarna laat je de dobbelsteen, of een serie toevalsgetallen, het lot van een deeltje bepalen. Door dit vele malen te herhalen, krijg je een goed beeld van wat er in werkelijkheid gebeurt. Wat verklaart waarom de vraag naar toevalsgetallen sterk toenam.

De Monte Carlo-methode kan heel eenvoudig op een computer worden uitgevoerd. Wat lag er dus meer voor de hand dan deze aanpak zijn eigen toevalsgetallen te laten bepalen? Al snel beschikte elke computer(taal) over een toevalsgetalgenerator. Maar daarmee was het probleem niet helemaal opgelost. De computer berekent weliswaar lange rijen willekeurige getallen, maar doet dit aan de hand van een deterministische, wiskundige formule. Dezelfde startwaarde levert exact dezelfde serie toevalsgetallen. Nu kan je die startwaarde wel gaan variëren, maar als je dat netjes en dus willekeurig wilt doen, heb je eigenlijk een andere bron van toevalsgetallen nodig, waarmee je het probleem hebt verlegd.

Omdat ze in principe voorspelbaar zijn, worden door een computer gegenereerde toevalsgetallen meestal aangeduid als pseudo-toevallig. Desondanks worden ze veel gebruikt, al leidt dit soms tot fouten: Monte Carlo-simulaties geven immers onjuiste uitkomsten als er een `onzuivere dobbelsteen' wordt gebruikt. Het gebruik van onbetrouwbare pseudo-toevalsgetallen zou helemaal funest zijn voor de veiligheid van sommige cryptografische technieken, die voor het versleutelen van bijvoorbeeld e-mailberichten of het beveiligen van geldtransacties via het internet afhankelijk zijn van toevalsgetallen. In 1995 toonden studenten van de universiteit van Berkeley bijvoorbeeld aan dat de internetbrowser Netscape niet veilig was vanwege de methode die gebruikt werd om toevalsgetallen te genereren.

Feitelijk is er maar één betrouwbare bron van toeval: de onvoorspelbaarheid van natuurlijke processen. De ruis uit de radio van Mads Haahr is daar een goed voorbeeld van. Een ander, wat meer voor de hand liggend verschijnsel is radioactiviteit. Niemand kan voorspellen wanneer een bepaald radioactief atoom zal vervallen. In het klikken van een geigerteller, die dat verval registreert, is dan ook geen enkel patroon te herkennen. Wie zich daarvan wil overtuigen kan terecht op de Hotbits-website (www.fourmilab.ch/hotbits), waar de geigerteller te horen is waarmee dagelijks tienduizenden toevalsgetallen worden gegenereerd. Een met de geigerteller verbonden computer meet steeds de tijd tussen twee opeenvolgende tikken. Is die tijd langer geworden vergeleken met het interval ervoor, dan wordt er een nul weggeschreven en anders een één. Iedereen kan door het invullen van een formulier een serie toevalsgetallen bestellen, iets wat elke dag zo'n driehonderd keer gebeurt.

BUNDELSPLITSER

Radioactiviteit is maar één voorbeeld van de inherente onzekerheid die veel natuurlijke processen bieden. Onlangs presenteerden natuurkundigen van de universiteit van Wenen een quantum toevalsgetalgenerator. De basis daarvoor wordt gevormd door een bundelsplitser, twee op elkaar gelijmde prisma's die een inkomende lichtstraal in twee stukken verdelen. De ene helft gaat verder alsof er niets gebeurd is, terwijl de andere wordt afgebogen. Anton Zeilinger en zijn collega's lieten daar een voor een fotonen op los. Een individueel foton kan zich niet in tweeën splitsen, dus het heeft een zekere kans om bij het passeren van de bundelsplitser te worden afgebogen. Welk pad het heeft `gekozen' is met twee gevoelige detectors vast te stellen. De quantummechanica leert dat het signaal daarvan volstrekt willekeurig is: slaat de ene detector uit, dan wordt een 1 genoteerd, en anders een 0. Op deze manier slaagde Zeilinger erin met een compact instrument een continue stroom toevalsgetallen te genereren met een snelheid van 1 megabit per seconde.

Zo wordt in iets meer dan anderhalf uur een hoeveelheid willekeur gegenereerd waar de Amerikaan George Marsaglia veertig jaar van zijn leven aan heeft besteed. Vlak voor zijn pensionering kwam in 1995 een door hem samengestelde cd-rom uit met vijf miljard random bits, het resultaat van een ingewikkelde combinatie van verschillende pseudo-toevalsgetalgeneratoren, waaraan uit drie verschillende bronnen ruis was toegevoegd. De cd-rom van Marsaglia is nog altijd een veel gebruikte referentie binnen het onderzoek op dit gebied. Hij bevat ook programma's om de `kwaliteit' van een serie toevalsgetallen te meten.

VERBORGEN PATRONEN

Sommige van die tests liggen voor de hand: zo moeten de cijfers 1 tot en met 9 even vaak voorkomen, terwijl hetzelfde moet gelden voor alle mogelijke twee- en drietallen. Maar dat is in het algemeen niet voldoende. Marsaglia ontwikkelde daarom een aantal tests met kleurrijke namen als de parkeerplaats-proef of de tel-de-enen proef, waarmee verborgen patronen zichtbaar gemaakt kunnen worden. Geen producent van toevalsgetallen ontkomt er tegenwoordig nog aan te vermelden hoe `zijn' getallen deze tests hebben doorstaan.

De meest curieuze bron van toevalsgetallen werd een paar jaar geleden ontwikkeld binnen de muren van de computerfirma Silicon Graphics, producent van onder andere de Cray-supercomputers. Op zoek naar een betrouwbare bron van onvoorspelbaarheid viel het oog van de wiskundige Landon Noll op een Lavalamp. Deze kegelvormige, glazen cilinders waarin kleurige vloeistofbellen omhoog en omlaag bewegen, waren erg populair in de jaren zeventig en worden nog altijd verkocht. De bewegingen van de `lava', die voortdurend warmte opneemt en weer afstaat aan het stromende water, zijn volstrekt chaotisch: het is onmogelijk om op grond van een bepaalde uitgangspositie te voorspellen hoe de lamp er een minuut later uit zal zien.

Daarom kunnen de bellen gebruikt worden om toevalsgetallen te maken (zie de website lavarand.sgi.com). Een digitale camera maakt op vaste momenten een foto van zes lavalampen (elk van een andere kleur) die als een paar miljoen enen en nullen wordt opgeslagen. Vervolgens wordt dat enorme bestand een paar keer door de computer bewerkt. Resultaat is een veel kleinere serie van bijna duizend enen en nullen die als startwaarde dient voor een pseudo toevalsgetal-generator. De uitkomst daarvan zijn de gevraagde toevalsgetallen, die alle tests doorstaan.

Onlangs ontdekte Noll echter dat de lavalampen er helemaal niet toe deden. Per ongeluk had hij op een ochtend de lenskap op de camera laten zitten. De elektronische ruis waar elke digitale camera onvermijdelijk mee te kampen heeft de willekeurige beweging van elektronen in de elektronische componenten bleek een even goede bron van chaos als de kleurrijke Lavalampen.