Clusterende korrels

Uit het schudden van bakjes met stalen kogeltjes leidden Twentse fysici een theorie af die het merkwaardige gedrag van een granulair gas verklaart. Over anti-diffusie en terugdraaiende films.

Niemand begrijpt zand. Al meer dan 100 jaar beschikken natuurkundigen over uitstekende theorieën die het gedrag van gassen, vloeistoffen en vaste stoffen beschrijven. Maar de eigenschappen van granulaire materialen, zoals zand, graan of suiker, zijn nog grotendeels onbekend. Een hoop zand op een tafel gedraagt zich als een vaste stof, wanneer tenminste de tafel niet te veel gekanteld wordt. In een zandloper lijkt het op een vloeistof, maar er is een wezenlijk verschil: de snelheid waarmee het zand stroomt is onafhankelijk van de hoeveelheid zand erboven. Dat komt doordat de korrels hun gewicht ook via zijwaarts gerichte krachten verdelen, waardoor er dragende structuren ontstaan.

Aan de Universiteit Twente onderzoeken Ko van der Weele, Devaraj van der Meer en Detlef Lohse van de faculteit Technische Natuurkunde (Leerstoel Warmte- en Stromingsleer) de fysische eigenschappen van granulaire materialen. Anderhalf jaar na aanvang van de eerste experimenten hebben zij nu een theorie ontwikkeld die een aantal verrassende eigenschappen van granulaire gassen volledig verklaart. Granulair materiaal dat heftig wordt geschud vertoont de eigenschappen van een gas, en wordt daarom een `granulair gas' genoemd. Dat schudden is nodig om de deeltjes in beweging te houden, want de botsingen zijn niet-elastisch, en daarom verliezen de deeltjes bij iedere interactie een deel van hun energie. Als het schudden stopt, valt het granulaire gas onmiddellijk stil.

Het macroscopische gedrag van gassen wordt nauwkeurig beschreven met de kinetische gastheorie, die aan het eind van de negentiende eeuw werd ontwikkeld. Die theorie beschouwt een gas als een groot aantal elastisch (zonder energieverlies) botsende deeltjes. Uit de statistische snelheidsverdeling van die deeltjes kunnen de eigenschappen van het gas als geheel worden berekend. Zo bepaalt de gemiddelde snelheid van de deeltjes de temperatuur van het gas: hoe hoger de snelheid, des te hoger de temperatuur. Wanneer twee ruimtes gevuld met gas van verschillende temperatuur met elkaar in verbinding worden gebracht, ontstaat een gas dat één (gemiddelde) temperatuur heeft. De tweede hoofdwet van de thermodynamica zegt dat zo'n diffusie-evenwicht altijd zal optreden, en dat het omgekeerde proces niet mogelijk is.

Klein deurtje

Maar in 1871 stelde de Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell een gedachten-experiment voor, dat bekend is geworden als `Maxwells Demon'. Stel, zei Maxwell, dat je een scheidingswand plaatst in een afgesloten vat waarin zich gas van een bepaalde temperatuur bevindt. In die wand zit een klein deurtje dat wordt bediend door een duiveltje. Telkens als er een gasdeeltje op dat deurtje afkomt, beslist het duiveltje of de deur open gaat of niet. Voor snelle deeltjes uit het rechter compartiment houdt hij de deur open, en ook voor langzame deeltjes uit het linker compartiment. In andere gevallen blijft de wand gesloten. Na verloop van tijd verzamelen zich op die manier alle snelle deeltjes in het linker compartiment, en alle langzame deeltjes in het rechter. Op die manier zou een gas in evenwicht gescheiden kunnen worden in een heet en een koud gas. Maar omdat dit in strijd is met de tweede wet van de thermodynamica, kan er geen fysisch proces bestaan waarbij zo'n duiveltje van Maxwell aan het werk is.

In het laboratorium demonstreert van der Weele dit principe met een granulair gas, dat bestaat uit roestvrijstalen kogeltjes. In een transparante cilinder scheidt een wand de ruimte tot een bepaalde hoogte in tweeën. De bodem van beide compartimenten is bedekt met kogeltjes. De cilinder wordt in verticale trilling gebracht, met voldoende energie om de kogeltjes in het rond te laten vliegen. Van der Weele: ``Analoog aan de kinetische gastemperatuur definiëren wij de `granulaire temperatuur', die wordt bepaald door de gemiddelde snelheid van de deeltjes. Bij deze hoge granulaire temperatuur gedragen de kogeltjes zich precies zoals een gewoon gas. We hebben bijvoorbeeld gemeten dat de verticale dichtheidsverdeling hetzelfde verloop heeft als het gas in de atmosfeer.''

Door de frequentie van het schudden te verlagen krijgen de kogeltjes minder energie, een lagere gemiddelde snelheid en dus een lagere granulaire temperatuur. Generaties natuurkundeleraren wilden met deze proef demonstreren dat de (temperatuur)verdeling van een gas altijd homogeen is, en dat er dus geen warme en koude gebieden kunnen ontstaan. Maar tot hun ontsteltenis mislukte dit experiment telkens, en kwamen bijna alle kogeltjes in één compartiment terecht.

Van der Weele: ``Wij waren ook verrast toen we dit voor het eerst zagen, maar blij verrast. Het fundamentele verschil is dat de moleculen in een gewoon gas elastisch botsen, terwijl er bij iedere botsing tussen granulaire deeltjes energie verloren gaat. Hierdoor ontstaan nieuwe effecten, ver weg van thermodynamisch evenwicht.''

Wanneer de frequentie van het schudden wordt verlaagd, neemt de gemiddelde snelheid van de deeltjes af. In het compartiment waarin zich toevallig de meeste kogeltjes bevinden treden meer botsingen op, waardoor de granulaire temperatuur daalt. In het andere compartiment zitten minder kogeltjes met een hogere gemiddelde snelheid, en die kunnen over de wand naar het andere compartiment springen. Dat versterkt de onbalans, omdat nu in het koude compartiment nog meer botsingen optreden. In de andere ruimte gebeurt precies het omgekeerde: het granulaire gas wordt er steeds heter. De scheidingswand fungeert als het deurtje in Maxwells gedachtenexperiment, maar een duiveltje is niet nodig.

Film

Van der Weele en zijn collega's ontwikkelden een theoretisch fluxmodel dat alle waargenomen verschijnselen tot in detail verklaart. Bij het optreden van clustering wordt de diffusie-coëfficient in het model negatief, en daarom spreekt men van `anti-diffusie'. Het lijkt alsof je naar een film kijkt die achteruit gedraaid wordt. Het effect is nog verbluffender wanneer drie compartimenten worden gebruikt. Daarbij treedt een meta-stabiele toestand op, waarbij de kogeltjes zich eerst over twee compartimenten verdelen. Even later ontstaat dan de eindtoestand met vrijwel alle deeltjes in één compartiment. Hoe meer compartimenten, hoe meer van dit soort tussentoestanden optreden, en hoe langer het duurt voordat alle kogeltjes tenslotte in één hokje samenkomen. In een experiment met 195 kogeltjes, verdeeld over vijf compartimenten op een rij, duurt het ongeveer een minuut. Maar een computersimulatie met tachtig hokjes op een rij laat zien dat zelfs de leeftijd van het Heelal onvoldoende is om de eindtoestand te bereiken.

Door in de geclusterde toestand weer krachtiger te schudden keert het proces om, en verdelen de kogeltjes zich opnieuw uniform over de ruimte. Het fluxmodel voorspelt dat hierbij een hysterese optreedt: de overgang naar de geclusterde toestand vindt plaats bij een lagere schudsnelheid dan de overgang naar een uniforme verdeling. Die hysterese wordt groter naarmate er meer compartimenten zijn. Van der Weele: ``De metingen vallen precies samen met de grafieken van onze theoretische voorspellingen. Het is een opmerkelijk resultaat, want de natuurlijke richting van de entropie is `van orde naar chaos'. Maar bij granulaire gassen kost het juist meer energie om van orde naar chaos te gaan.''

Hoewel het lijkt alsof gerenommeerde wetenschappers zich verpozen met het spelen met doosjes en kogeltjes, kunnen de resultaten van dit onderzoek van groot belang zijn. Zo gaat naar schatting maar liefst veertig procent van de capaciteit van fabrieken verloren als gevolg van problemen met het transport van granulaire materialen. Pijpleidingen raken verstopt, en transportbanden lopen vast. De voedingsindustrie heeft veelvuldig met dit probleem te maken, want vrijwel al ons voedsel vindt zijn oorsprong in een granulaire vorm. Ook in de farmaceutische industrie, de mijnbouw, de landbouw en de (constructie)bouw zijn granulaire materialen een basisgrondstof. Geologische processen zoals tectoniek, aardbevingen, aardverschuivingen en erosie zijn slecht begrepen omdat de eigenschappen van het granulaire materiaal onvoldoende bekend zijn.

Maar ook voor een aantal, op het eerste gezicht ongerelateerde problemen kan de fluxtheorie voor granulaire gassen wellicht oplossingen bieden. De clustering van sterrenstelsels in het heelal bijvoorbeeld, of het fileprobleem. Van der Weele: ``Een file laat zich beschrijven als clustering in een systeem van cellen die ieder een stuk van de snelweg karakteriseren. In sommige cellen bevinden zich veel auto's met een lage gemiddelde snelheid. Andere cellen zijn minder vol, en de auto's hebben er een hogere snelheid. Omdat iedere cel communiceert met de voor- en achterliggende cel, is zo'n model sterk verwant aan onze schudexperimenten waarbij de compartimenten op een rij liggen.''