Naschrift F.A. Muller

In de W&O-brievenrubriek van 14 april beweert dr. J van Oosten dat door mij in het artikel `Diep nadenken over waarheid' van een week eerder `een hoop onzin wordt verkocht'. Volgens Van Oosten volgt de Onvolledigheidsstelling noch de Volledigheidsstelling van Gödel uit de Ondefinieerbaarheidstelling van Tarski. Dit is een halve waarheid.

De Ondefinieerbaarheidsstelling van Tarski luidt (in de verzamelingsleer) dat er geen predicaat A is in de taal van de verzamelingsleer zodanig dat voor iedere zin p uit dezelfde taal geldt: A(p) desda p, tenzij de verzamelingsleer inconsistent is. Nemen we A = bewijsbaarheid, en laten we via Gödel-nummering zien dat bewijsbaarheid rekenkundig definieerbaar is, dan volgt onmiddellijk dat waarheid moet verschillen van bewijsbaarheid, doordat we ook A = waarheid kunnen kiezen, hetgeen de ondefinieerbaarheid voor waarheid oplevert. Dit betekent dat er een verschil is tussen bewijsbaarheid en waarheid. Een theorie is per definitie onvolledig desda zij een onbewijsbare waarheid herbergt. We hebben dus in een handomdraai de Onvolledigheidsstelling van Gödel afgeleid. Q.e.d.

De Volledigheidsstelling (een theorie is consistent desda de theorie een model heeft) volgt inderdaad niet, zoals ik iets te enthousiast had opgeschreven. Door A = inconsistent te kiezen, kan men weer wel de Consistentiestelling van Gödel afleiden. Anderzijds volgt de Consistentiestelling uit de Onvolledigheidsstelling en dus ook uit de Ondefinieerbaarheidsstelling. Q.e.d.

In dezelfde brievenrubriek van W&O doet dr.ir. C. van Opdorp uit Eindhoven de bewering dat de redenering die tot de leugenaarsparadox van Epimenides leidt, fout is. De Kretenzer Epimenides zei dat alle Kretenzers liegen. Van Opdorp merkt op dat indien Epimenides liegt, dit slechts betekent dat sommige Kretenzers de waarheid spreken, hetgeen niet in strijd is met de onderstelling dat sommige Kretenzers leugenaars zijn. Hoewel dit niet de onderstelling is van de bedoelde redenering, is zij logisch onberispelijk. De conclusie luidt echter niet dat de leugenaarsparadox fout is, maar dat de briefschrijver helaas de verkeerde redenering gekozen heeft.

Dat een aanvaarding van een ruimere logische semantiek een weerlegging van het positivisme tot gevolg heeft, zoals de derde briefschrijver, de heer Swart meent, is mij te kort door de bocht – Reichenbach is immers het (niet meer levende) bewijs van het tegendeel. En een moderne positivist, zoals B.C. van Fraassen, heeft geen moeite met een verificatie-transcendent waarheidsbegrip.

Voorts beweegt de heer Swart zich op het gebied van de mogelijke betrekkingen tussen voorwaarden voor bewijsbaarheid, voor waarheid en voor verifieerbaarheid. Dat is een boeiend denkgebied waar heel veel over is overschreven, met name door de Engelse taalfilosoof Michael Dummett. Ik ga nu even heel diep zwijgen.

    • F.A. Muller