Diep nadenken over waarheid

Synthese. An international journal for epistemology, methodology and philosophy of science Volume 126 [2001] dubbelnr 1-2 Kluwer [Dordrecht-Boston-London]. Verschijnt maandelijks. Jaarabonnement ƒ1122,–.

Wanneer is de zin `Snow is white' waar? Eenvoudig, deze zin `P' is alleen waar dan en slechts dan als sneeuw wit is (afgekort: desda P). Deze oplossing van het waarheidsprobleem (`P' is waar desda P) wordt een T-zin genoemd, naar het Engelse truth èn naar de bedenker Alfred Tarski (1902-1983).

Is deze T-zin een trivialiteit of een diepzinnigheid? Kan de T-zin het fundamentele uitgangspunt van ons waarheidsbegrip zijn, dat geen verdere uitleg duldt? Of moet men dieper graven, bijvoorbeeld door waarheid te construeren als `correspondentie met de werkelijkheid', opdat we kunnen begrijpen waarom de T-zin geldt? En: zijn alle T-zinnen zelf waar?

Wat logici en filosofen aller landen verenigt is dat ze er nog niet uit zijn. Een onomstotelijk feit is dat de algemene vorm van de T-zin (te weten het schema: de beweerzin `P' is waar desda P) de meest invloedrijke zin is van de 20ste eeuw op het gebied van diep nadenken over waarheid. Dit algemene schema is bekend onder de naam `Conventie T'. En de invloed van Conventie T is voorlopig nog niet uitgewoed, getuige de eerste, kloeke aflevering uit 2001 van het filosofische `toptijdschrift' Synthese, dat geheel gewijd is aan het waarheidsbegrip. In het eerste artikel, getiteld `Post-Tarskian Truth', verkondigt de hoofdredacteur Jaako Hintikka (geboren in Finland, 75 jaar en nog voltijds actief aan de universiteit van Boston) dat het mogelijk is onder de cruciale zogenoemde `ondefinieerbaarheidsstelling' van Tarski voor waarheid uit te komen. Dit is ronduit sensationeel.

Om deze sensatie te begrijpen blikken we eerst terug in de geschiedenis. Conventie T duikt voor het eerst op in Tarski's baanbrekende artikel uit 1936, `Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprache'. Het artikel begint met een indringende beschouwing over waarheid in `de omgangstaal', waarvan alle mensen in de wijde wereld zich bedienen. Want men kan zich afvragen of de logica wel het monopolie heeft op het waarheidsbegrip. Waarheid is immers niet weg te denken uit ons dagelijks spraakgebruik. Tarski was zich hier terdege van bewust. Zijn conclusie was skeptisch: een definitie van waarheid ``in overeenstemming met de wetten der logica'' die duidelijkheid verschaft over de intuïtie ``correspondentie met de werkelijkheid'', leek hem onmogelijk. Zijn voornaamste reden was de meer dan twintig eeuwen oude antinomie van de Leugenaar. Epimenides, afkomstig uit Kreta, beweerde dat alle Kretenzers liegen. Men leidt nu onmiddellijk af dat Epimenides liegt indien hij de waarheid spreekt, en andersom. In de omgangstaal zijn volgens Tarski zulke logische bommen nooit te vermijden.

Binnen het reservaat van de formele talen is het wèl mogelijk waarheid veilig te definiëren. Tarski voerde daarom eerst het onderscheid in tussen een `object-taal', waarin men over zekere objecten praat, en een `meta-taal', waarin men over deze object-taal kan praten. Zo is in de T-zin over sneeuw Engels de object-taal en Nederlands de meta-taal. Antinomieën als die van de Leugenaar treden nu niet meer op, doordat uitspraken over Kretenzers en over wat Kretenzers zoals Epimenides zeggen over Kretenzers op verschillende niveaus leven en derhalve niet langer met elkaar in botsing komen. Dit is pas het begin. Want vervolgens beschouwde Tarski een `object-theorie', geformuleerd in de object-taal, en een `meta-theorie', geformuleerd in de meta-taal.

Tarski legde als minimale eis op aan een definitie van waarheid de eerbiediging van Conventie T. Hij slaagde erin een definitie op te stellen in de meta-taal voor de waarheid van beweerzinnen in de object-taal. De kern van deze definitie is dat Tarski in de meta-theorie een `model' construeert dat de object-theorie waar maakt door de termen in de object-taal te laten corresponderen met elementen uit het model, analoog aan de correspondentie van de term `de aanstaande echtgenote van de Nederlandse kroonprins' met een Argentijnse blondine in de wijde wereld. De wijde wereld was Tarski te machtig, maar in de surrogaat-wereldjes die hij zelf met een meta-theorie schiep, regeerde hij Almachtig.

Tarski bewees dat zijn definitie van waarheid Conventie T eerbiedigt en had daarmee zijn goddelijke status waargemaakt. Generaties logici zouden zich in de model-theorie vestigen en er een reeks resultaten mee boeken waarvan vorige generaties logici niet eens konden dromen. Tarski bewees zelf ook zijn beroemde `ondefinieerbaarheidsstelling'. De veel beroemdere onvolledigheidsstelling van Gödel over de rekenkunde is hier een eenvoudig gevolg van (er is een ware uitspraak over getallen die onbewijsbaar is in de rekenkunde), evenals de bruikbare stelling dat een theorie een model heeft desda de theorie consistent is. Een ander gevolg is dat vrijwel geen enkele theorie haar eigen consistentie kan bewijzen (de consistentie-stelling van Gödel).

Weer een ander belangwekkend gevolg betreft waarheid. Dit gevolg, te weten Tarski's ondefinieerbaarheidsstelling, luidt dat waarheid ondefinieerbaar is in de object-taal, wil men Conventie T eerbiedigen. Men kan waarheid wel definiëren voor een object-taal maar dat kan alleen in een krachtiger taal (de meta-taal), waarvan men de waarheid ongedefinieerd moet laten. Hetzelfde geldt voor het bewijzen van de consistentie van object-theorieën. Dat kan alleen op basis van een sterkere theorie (de meta-theorie) waarvan men de consistentie onbewezen moet laten. Johan van Benthem, hoogleraar logica aan de Universiteit van Amsterdam, heeft deze toestand ooit vergeleken met `eeuwige kiespijn'.

Jaako Hintikka schrijft nu dus de ondefinieerbaarheidsstelling van Tarski te kunnen omzeilen. Waarheid zou dus tòch te definiëren zijn zonder een beroep op meta-taal en meta-theorie. Daarvoor is wel een revisie van de logica nodig, waarvoor Hintikka echter onafhankelijke argumenten weet aan te voeren.In verschillende bijdragen aan Synthese wordt ingegaan op Hintikka's nieuwe logica en zijn `spel-theoretische semantiek', die ongeveer dertig jaar oud is. Hierin identificeert men waarheid met het bestaan van een winnende strategie om een gegeven beweerzin te verifiëren, en onwaarheid met het bestaan van een strategie om de beweerzin te weerleggen. Als deze strategieën niet bestaan, is de beweerzin waar men om speelt waar noch onwaar. Dit betekent dat beweerzinnen niet uitsluitend waar of onwaar zijn, maar ook `onbeslist'. De gangbare logische semantiek, die slechts ware en onware beweerzinnen kent, is een bijzonder geval, namelijk een spel waarin beide spelers over `maximale informatie' beschikken. Zowel in de omgangstaal als in de wetenschap en de rechtspraak is dat nooit het geval, aldus Hintikka, zodat zijn spel-theoretische aanpak niet beperkt is tot de wiskunde, zoals de gangbare logische semantiek van Tarski dat wel is, maar evenzeer van toepassing is op de omgangstaal, wetenschap en rechtspraak niet uitgezonderd. En dat is de reikwijdte die een filosoof waardig is.

Een ander verschijnsel waar de herziene logica van Hintikka soepel mee overweg kan, en waar de gangbare logica slecht mee uit de voeten kan, is dat van de `vertakte quantoren'. Quantoren zijn uitdrukkingen die algemeenheid uitdrukken, zoals `voor alle' (universele quantor) en `er is een' (existentiële quantor). Men kan de volgorde van quantoren niet straffeloos overhoop halen. Neem de volgende twee zinnen: `er is een man waar alle vrouwen mee getrouwd zijn' en `voor iedere vrouw is er een man waarmee zij is getrouwd'. Deze zinnen, waarvan slechts de volgorde van de quantoren verschilt, zijn logisch onafhankelijk: er is een wereld voorstelbaar waarin iedere vrouw getrouwd is met een man en waarin geen polygamie voorkomt. In deze wereld is de eerste beweerzin onwaar en de tweede waar. De gangbare logica kan met dit verschijnsel goed overweg. Maar nu zijn er ingewikkelder zinnen met een stuk of vier quantoren waarvan de variabelen (in het voorbeeld van zonet: de mannen en de vrouwen) zodanig van elkaar afhangen dat de quantoren zich `vertakken'. Zulke vertakte quantoren komen in de omgangstaal regelmatig voor en sommige logici beweren dat zij ook in de wiskunde voorkomen. Of zij daar niet met kunst en vliegwerk zijn te elimineren, dat weet niemand. De gangbare logica heeft er in ieder geval grote moeite mee, terwijl de `onafhankelijkheidsvriendelijke' logica van Hintikka op maat is gesneden om dit verschijnsel te beschrijven. Ook wat betreft redeneren wil Hintikka zich niet beperken tot wiskundige bewijzen maar zoekt hij de wijde wereld op.

De toekomst zal leren of we thans in revolutionaire jaren van de logica leven, zoals de ronkende taal van Hintikka uit zijn inleidende artikel suggereert (waarbij hij dankbaar gebruik maakt van zijn positie als hoofdredacteur). Desgevraagd zegt Van Benthem, die toevallig zelf aan een boek over spel-theoretische semantiek werkt, dat de oude Hintikka vruchtbare ideeën heeft, maar dat de vèrstrekkende wijsgerige claims van Hintikka omstreden zijn.