Quantum-ijs

Waar stopt de buitenissige quantumwereld en begint het ons vertrouwde klassieke domein? Altijd is gedacht dat de overgang geleidelijk verliep, maar Dorit Aharonov houdt het op een soort vriespunt.

WIE UIT de alledaagse werkelijkheid afreist naar de quantumwereld stuit op vreemde, onrustbarende verschijnselen. Deeltjes die zich op meerdere plaatsen tegelijk ophouden, stroompjes die in een elektrische schakeling tegelijk linksom en rechtsom lopen, ja zelfs katten die zowel dood als levend zouden zijn: iedereen die gewend is dat de auto óf in de garage staat óf op straat, die erop rekent dat de poes gewoon drie blikjes per week eet, zal zich in opperste verwarring in zijn arm knijpen. Misschien schiet Alice hem te binnen, die in Through the Looking Glass door een spiegel stapt en ook al zo'n rare wereld betreedt.

Die laatste gedachte is, naar nu blijkt, helemaal zo gek nog niet. Niet alleen omdat ook het duo Tweedledum en Tweedledee, pratende bloemen, Humpty Dumpty en een Eenhoorn ongewoon zijn, maar meer nog wegens het abrupte karakter van Alice's overgang naar de toverwereld van het spiegelhuis. Ook de klassieke en de quantumwereld lijken, zo wijst recent onderzoek uit, abrupt in elkaar over te gaan.

Vorig jaar november publiceerde de informaticus Dorit Aharonov, toen postdoc aan de Universiteit van Californië te Berkeley, een opmerkelijk artikel in het tijdschrift Physical Review A. `A Quantum to Classical Phase Transition in Noisy Quantum Computers', heette het en de opzienbarende conclusie was dat de overgang van de klassieke naar de quantumwereld op te vatten is als een fase-overgang. Zoals water bij nul graden Celsius bevriest tot ijs, bestaat er in een fysisch systeem een grenswaarde beneden welke het klassieke jasje du moment transformeert tot een quantum-outfit. Alleen betreft het dan niet de temperatuur, maar de hoeveelheid in het systeem aanwezige ruis: verstoringen van buitenaf. Tot nu toe was de heersende opvatting van fysici dat de overgang tussen Newtons klassieke fysica en de quantumfysica juist geleidelijk verliep.

Op 19 februari presenteerde Aharonov, inmiddels behorend tot de staf van de Hebrew University in Jeruzalem, haar bevindingen op de jaarbijeenkomst van de American Association for the Advancement of Science (AAAS). Ze was in San Francisco een van de sprekers op het symposium `Quantum Computing and Communication: From Bit to Qubit'. Want hoewel de door Aharonov ontdekte fase-overgang interessant is wegens zijn repercussies op de grondslagen van de quantumtheorie, vloeit hij voort uit onderzoek naar het subtiele gedrag van quantumcomputers.

Fatsoenlijk

Quantumcomputers bestaan alleen nog op papier en tot een fatsoenlijk prototype zal het, alle experimentele inspanningen ten spijt, de eerstkomende jaren niet komen. Toch trekken ze geweldig de aandacht, wegens de gouden bergen die ze beloven. Bovendien komt het einde in zicht van de miniaturisatie van de chips die de huidige klassieke computers sturen. Quantumcomputers profiteren van twee sterke staaltjes uit quantumland: `samengestelde toestand' en `verstrengeling'. Het zijn begrippen die in de alledaagse klassieke wereld ontbreken en die we, ook al zijn fysici met de quantumtheorie geweldig geholpen en bestaat er geen enkel experiment dat haar weerspreekt, in diepste wezen nog altijd niet goed begrijpen.

`Samengestelde toestanden' gaan terug op de beroemde vergelijking die Erwin Schrödinger in 1926 opstelde. Hij beschreef aldus hoe de toestand (weergegeven in de taal der wiskunde) van een fysisch systeem zich in de tijd ontwikkelde. De conclusie van de Oostenrijker was dat het systeem alras naar een toestand evolueerde die verschillende alternatieven in zich sloot. Alternatieven die in de klassieke wereld elkaar zouden uitsluiten. Een elektron zat volgens de Schrödinger-vergelijking niet in A of in B, maar in A en B tegelijk: een samengestelde toestand. Pas als je keek – een meting verrichtte – besliste het systeem op basis van een bepaalde kansverdeling of je het elektron in A aantrof dan wel in B. Zie de figuur met de kubus (van Necker): die is op te vatten als een `samengestelde toestand' en pas als je kijkt, dringt zich een van de twee mogelijke voorvlakken op.

In 1935 dreef Schrödinger dit idee, dat hem persoonlijk steeds meer tegen begon te staan, op de spits. In een beroemd gedachte-experiment stopte hij een kat in een afgesloten doos, samen met een radioactieve atoomkern die, zodra hij vervalt, een hamertje doet vallen dat een flesje cyanide kapotslaat. Wie consequent is, redeneerde Schrödinger, moet uitgaan van een samengestelde atoomtoestand van een wel en een niet vervallen atoomkern, en dus van een samengestelde toestand van een levende en een dode kat. Zo lang je niet in de doos kijkt, is de kat dood én levend. Een conclusie die Schrödinger (en ook Einstein) absurd voorkwam.

Maar het klopt wel. Afgelopen zomer liet de groep van de Delftse fysicus Hans Mooij in een aluminium ringetje een stroompje tegelijk linksom en rechtsom lopen: een `kat' van miljarden elektronen. Dat zo'n samengestelde toestand op macroschaal zich in het dagelijkse bestaan nooit aandient, komt doordat de minste of geringste interactie met de buitenwereld, zoals lichtinval of botsende atomen, hem direct vernietigt. In het klassieke domein wijkt de samenstelling dan onverbiddellijk voor één van de toestanden waaruit hij is opgebouwd. Alleen afscherming kan dat verhelpen. Fysici die dat voor elkaar proberen te krijgen zien zich, gezien de kwetsbaarheid van een samengestelde toestand, gesteld voor een monsterklus.

Ook `verstrengeling' (entanglement) is verbonden aan een gedachte-experiment, niet minder beroemd en ditmaal afkomstig van Einstein. Verstrengeling is het onderwerp van de zogeheten EPR-paradox, opgesteld in 1935 en genoemd naar de opstellers Einstein, Podolsky en Rosen. Stel een pion, een elementair deeltje, vervalt tot een elektron en een positron, waarna beide deeltjes in tegenovergestelde richting uit elkaar vliegen. Omdat ze een gemeenschappelijke `moeder' hebben, zo stelt de quantumtheorie, blijven ze, hoe ver van elkaar ook verwijderd, op mysterieuze wijze met elkaar verstrengeld. In de quantumwereld zijn de delen van een samengesteld systeem niet van elkaar te ontkoppelen, er blijft een band.

MOEDERPION

Nu tollen zowel elektronen als positronen om hun as, met als mogelijkheden linksom en rechtsom. Zolang we niet kijken, zitten ze, zo dicteert Schrödinger, beide in een samengestelde toestand van zowel linksom als rechtsom. Stel we meten de draaiing van het elektron en vinden `rechtsom'. Omdat het moederpion geen draaiing vertoonde, is daarmee in één klap ook het lot van het positron bezegeld: een draaiing rechtsom. Dit alles staat volledig los van de afstand tussen beide deeltjes, ook al bevinden ze zich aan weerskanten van het heelal. Verstrengeling geeft dus aanleiding tot een `spookachtige werking op afstand', zoals Einstein het uitdrukte, en wel onmiddellijk. Absurd, vond Einstein (en Schrödinger met hem), en hij hoopte met de EPR-paradox het falen van de quantumtheorie, met haar vermaledijde dobbelpartijen, voor eens en altijd te hebben aangetoond.

Maar net als in het geval van Schrödingers kat liep het anders. In 1981 liet Alain Aspect in een baanbrekend experiment in Orsay zien dat bij twee uiteenvliegende lichtdeeltjes verstrengeling precies zo werkt als de quantumtheorie voorspelt, alle ongeloof van Einstein ten spijt. Sindsdien hebben experimenten met glasvezels aangetoond dat verstrengeling opgaat op afstanden van vele kilometers. En het effect blijft niet beperkt tot individuele deeltjes, ook groepen van deeltjes hebben zich ernaar te voegen. Idioot maar waar. Het verschijnsel vindt toepassing in quantum-cryptografie en quantum-teleportatie – het laatste is in 1997 voor het eerst verwezenlijkt door Anton Zeilinger in Innsbruck.

Verstrengeling betekent dat de onderdelen van een samengesteld quantumsysteem met elkaar verbonden zijn op een wijze waarvoor in de klassieke wereld geen equivalent bestaat. Kan een boek dat in klassieke bits is geschreven bladzijde voor bladzijde worden gelezen, bij een `quantumboek' zit zo goed als alle informatie verscholen in de correlaties tussen de bladzijden. Het uitscheuren van een bladzijde kan om die reden veel minder kwaad. Het is deze magie die de quantumcomputer exploiteert.

Zoals gezegd vormen `samengestelde toestanden' en `verstrengeling' het hart van de quantumcomputer. Werkt een klassieke computer met bits die de waarden 0 of 1 aannemen, een quantumcomputer is uitgerust met qubits die bovendien in een samengestelde toestand van 0 en 1 kunnen zitten: 0 en 1 tegelijk. Bij toenemende aantallen qubits, die met elkaar verstrengeld kunnen zijn, vergt het exponentieel meer getallen om de toestand van de quantumcomputer in kaart te brengen. Daarin schuilt zijn kracht: uitgaande van de samengestelde toestand kan hij talloze berekeningen parallel aan elkaar uitvoeren. Het is een wezenlijk andere aanpak, te vergelijken met de overstap van Romeinse cijfers op het decimale stelsel: ineens lukken berekeningen veel beter. In de praktijk is een paar duizend qubits meer dan voldoende om de potenties van de quantumcomputer te benutten, al weet nog geen experimentator hoe hij die moet maken en moet afschermen tegen de vijandige buitenwereld.

NOTOIR LASTIG

Dat weerhoudt informatici er niet van op zoek te gaan naar klassieke notoir lastige problemen die op een quantumcomputer alsnog hanteerbaar zijn – voor tekstverwerken en domweg vermenigvuldigen biedt hij geen voordeel. De twee bekendste zijn aangedragen door Shor en Grover. In 1994 vond Peter Shor van AT&T een algoritme (rekenrecept) om reuzengetallen in hun samenstellende priemfactoren (getallen alleen deelbaar door 1 en door zichzelf) te ontbinden. Een kind ziet dat 21 te schrijven is als 3 keer 7, maar bij grotere getallen is dat al snel een taaie klus en het benodigde aantal stappen om de priemfactoren te vinden groeit bij een klassiek algoritme exponentieel. In klassieke cryptografische toepassingen volstaan om die reden getallen van een paar honderd cijfers om veilige `sleutels' te maken. In het quantumalgoritme van Shor ligt het aantal benodigde stappen drastisch lager. Sleutels die `klassiek' in geen miljoen jaar rekentijd te kraken zijn, geven zich op een quantumcomputer in een vloek en een zucht gewonnen. Geen wonder dat banken en veiligheidsdiensten inmiddels quantuminformatici in dienst hebben.

Een tweede algoritme stamt uit 1996 en is van Lov Grover. Wie in een (goed geschud) kaartspel op zoek gaat naar de hartenboer moet bij de klassieke aanpak gemiddeld de helft van de kaarten oppakken eer hij hem heeft. Grover bedacht een zuiniger quantumalgoritme: binnen een hoeveelheid stappen gelijk aan de wortel uit het aantal kaarten is de klus geklaard. Bij het zoeken in bestanden van reuzenformaat een enorm voordeel.

Terug naar Dorit Aharonov. In samenwerking met Michael Ben-Or onderzocht ze de invloed op quantumcomputers van ruis: fouten in de qubits, interacties met de buitenwereld of welke verstoring dan ook. In de praktijk is een zekere ruis onvermijdelijk en de prangende vraag is wat dit betekent voor het functioneren van de quantumcomputer. Is het direct afgelopen met alle voordeel? Valt er een mouw aan te passen? En hoe hangt dat allemaal samen met de hoeveelheid ruis in het systeem?

Tot enkele jaren geleden gold ruis als desastreus omdat interacties met de buitenwereld de samengestelde toestand vernietigen en zo de quantumcomputer in zijn hart treffen. Simpelweg die samengestelde toestand kopiëren, zodat je er meer exemplaren van hebt waarvan er altijd wel een ongeschonden blijft, gaat niet op, doordat ook die operatie de samengestelde toestand aantast. Een van de eerste resultaten van het onderzoek naar het effect van ruis op de werking van quantumcomputers was dan ook dat wanneer de hoeveelheid aanwezige ruis een zekere drempelwaarde overschrijdt, de quantumcomputer niet beter presteert dan zijn klassieke tegenpool. Het goede nieuws was dat Aharonov en Ben-Or in 1997 wisten aan te tonen (een gedetailleerd artikel in Journal of Computation verschijnt binnenkort) dat als de ruis laag genoeg was, de quantumcomputer er geen hinder van hoeft te ondervinden. Het geheim: het toepassen van quantumcodes die fouten ongedaan maken. In 1995 bewezen Peter Shor en Andrew Steane (onafhankelijk van elkaar) dat het mogelijk was zulke codes te ontwerpen. Hierop voortbouwend toonden Aharonov en Ben-Or aan dat schema's voor foutcorrectie zelfs goed uitpakken als er tijdens het corrigeren nieuwe fouten ontstaan. Zolang het ruisniveau maar onder een bepaald niveau zit, zo bewezen ze, zijn willekeurig omvangrijke quantumberekeningen mogelijk terwijl de kans op fouten toch verwaarloosbaar blijft.

SLEUTELWOORD

De vraag is wat er fysisch gezien gebeurt bij de overgang van het ene domein (lage ruis, quantumcomputer werkt) naar het andere (hoge ruis, quantumcomputer werkt niet). Verstrengeling blijkt hier het sleutelwoord. Om greep op dat probleem te krijgen, voerde Aharonov het begrip `verstrengelingslengte' in. Die geeft aan hoe snel de verstrengeling tussen twee groepen quantumdeeltjes bij toenemende afstand afneemt. Aharonov bewees in haar artikel in Physical Review A dat de verstrengelingslengte eindig is (een beperkte waarde heeft) als de ruis boven een bepaalde waarde ligt, terwijl hij juist oneindig groot is beneden een andere, lagere waarde van de ruis. Ergens tussen die twee drempelwaarden in, zo is de onherroepelijke conclusie, moet dus een ruisniveau liggen waarbij de verstrengelingslengte van oneindig naar eindig springt. Zo'n fase-overgang, zo stelt Aharonov, is te vergelijken met het bevriezen van water. Bovendien is het verschijnsel niet beperkt tot quantumcomputers, maar treedt het ook op in andere quantumsystemen.

Dat werpt nieuw licht op een intrigerende en fundamentele vraag waar fysici al sinds de dagen van quantumvader Niels Bohr (1885-1962) mee worstelen: Wat gebeurt er precies wanneer een macrosysteem quantumgedrag verwisselt voor een klassiek voorkomen? De gangbare verklaring is dat deze transitie geleidelijk verloopt en het gevolg is van verstoringen van buiten. Aharonovs abrupte fase-overgang, het idee van `quantum-ijs', betekent een radicale breuk met deze opvatting. De vraag die zich dan onmiddellijk opdringt, is of het `smeltpunt' uit te rekenen valt, en of de waarde experimenteel is vast te stellen. Vooralsnog lijkt dat een brug te ver. De wiskundige formules voor de verstrengelingslengte zijn op dit moment nog zo complex dat er bij grotere quantumsystemen voor theoretici geen beginnen aan is. En experimentatoren moeten eerst nog zien uit te vinden hoe vat op de zaak te krijgen. Kortom, wat ontbreekt is een `thermometer' om de hoeveelheid verstrengeling te meten. Aharonov is de eerste om toe te geven dat er nog zeer veel vragen open liggen. De spiegel van Alice bestaat, maar waar hij zich schuilhoudt, is onverminderd een mysterie.