Quantiteit: Dualiteit

Waar ligt de grens van verwissellingen in het klinker/medeklinker patroon? Het vierde taalsprookje van Battus

Jan van Assen en Piet van Delft hielden van elkaar. Het duo had oud kunnen worden, maar op een dag trok Jan voor de grap de kleren van Piet aan en diezelfde ochtend trok Piet voor de mop de kleren van Jan aan. Toen ze dit zagen gingen ze elkaar haten. Een duel was de enige oplossing. Misschien dacht Jan: ``Piet zal wel raakschieten, dus dat doe ik ook', en slaagde hij in dat raken. Misschien dacht Piet: ``Jan zal wel missen, dus mis ik ook maar', en miste hij in dat missen. In elk geval: ze schoten elkaar dood en werden begraven in hun vadersteden. Jan in Delft en Piet in Assen, omdat ze nog de verkeerde kleren met daarin de verkeerde papieren aan hadden. Na de aardbeving van 2022 die, zoals bekend, het paard van Ome Loeks op het Binnenhof deponeerde, bleken de kerkhoven van de twee steden aaneengesmeed. Wonder boven wonder – maar als het niet zo gegaan was, dan zou ik dit verhaal niet vertellen – kwam aldus in Assendelft een steen met het opschrift JanPiet.

Waarom vertel ik dit? Omdat het een verhaal is waarin je overal de woorden Jan en Piet kan verwisselen. Is er meer van zulk proza?

In de predikatenlogica probeert men de logische structuur van een zinnetje als Jan zwemt weer te geven door het invoeren van een predikaat ZWEM ( ) waar tussen de haakjes de naam van een persoon moet komen, dus ZWEM (Jan). Wie is Jan? Dat is de man die past in het rijtje van predikaten: hij zwemt, hij houdt van Piet, hij ligt begraven enzovoort. Wat is zwemmen? Dat is de activiteit waaraan Jan en Mao Tse Tung en Alwin Houtsma zich overgeven. Er zijn logici die de zin Jam zwemt liever noteren als JAN (zwem).

achter-mekaar

Mag je Jan (zwem) en zwem (Jan) duaal noemen? Alles mag. Maar eigenlijk zijn het slechts twee manieren om aan te kijken tegen een tweedimensioneel schema van de wereld waarin horizontaal alle activiteiten (zwemmen, regeren, winnen) en verticaal alle personen staan (Jan, Mao, Alwin). Het feit dat Jan zwemt, wordt aangegeven door in het vakje dat op de kruising van Jan en zwemmen staat, een kruisje te zetten. Noemen we dit Jan (Zwem) of Zwem(Jan)? Het doet er niet toe, en de logica heeft ook een elegant mechanisme bedacht om wat tussen haakjes staat te verwisselen met wat vóór de haakjes staat. In taal moet je nu eenmaal alles achter-mekaar zeggen.

Eigenlijk kende ik alleen in de wiskunde voorbeelden dat je in proza twee woorden mag verwisselen zonder dat aan de waarheid afbreuk wordt gedaan. Leibniz zei dat twee aanduidingen die je overal mocht verwisselen, zonder daarmee de waarheid te veranderen, hetzelfde zijn. Maar dat is toch betrekkelijk. Een punt is wat anders dan een lijn. Maar in een speciale meetkunde, waar men de evenwijdige lijnen heeft uitgebannen, geldt dat elke ware uitspraak over punten en lijnen, waar blijft als je de woorden punt en lijn verwisselt. Je krijgt dus twee waarheden voor de prijs van eentje. Een mooi voorbeeld daarvan is de stelling van Desargues (1593-1662).

De stelling van Desargues luidt:

Als van twee driehoeken (ABC en A'B'C') de drie lijnen die overeenkomstige hoekpunten verbinden (AA', BB', en CC') elkaar in één punt snijden, (het gegeven)

dan (het te bewijzen)

zullen de drie snijpunten van overeenkomstige zijden (AB en A'B', BC en B'C', en CA en C'A') op één lijn liggen.

Zie de figuur

Vervangt men in deze stelling overal punt door lijn en lijn door punt, snijpunt door verbindingslijn en verbindingslijn door snijpunt (een driehoek blijft een driehoek want het is een trio punten met verbindingslijnen of een trio lijnen met snijpunten, maar een zijde wordt een hoekpunt en een hoekpunt een zijde) dan lezen we:

De duale Desargues:

Als van twee driehoeken de drie snijpunten van overeenkomstige zijden op één lijn liggen,

dan zullen de drie verbindingslijnen van overeenkomstige hoekpunten door één punt gaan.

In dit geval is de duale stelling dus precies gelijk aan de omgekeerde stelling, waarin het gegeven en het te bewijzen verwisseld zijn. Wie de stelling van Desargues kan bewijzen, kan ook de omgekeerde of duale stelling bewijzen omdat uit de axioma's van deze meetkunde de stellingen zijn te bewijzen die ontstaan als men in die axioma's de woorden punt en lijn verwisselt.

Is er buiten deze wiskundige dualiteit nog zo'n inhoudsvolle dualiteit te vinden, die niet berust op het van twee kanten bekijken van eenzelfde zaak? Ik zal u tonen dat op het gebied van de Nederlandse woorden zo'n dualiteit bestaat.

We letten nu alleen op het klinker-medeklinkerpatroon van een Nederlands woord. We noemen het woord geweer (of banaan) de duale versie van een woord als ademde (of aparte) omdat overal waar een letter uit geweer een klinker is, op die plaats in ademde een medeklinker staat en andersom.

Er is een reeks vragen waarin de woorden `klinker' en `medeklinker' voorkomen die dezelfde antwoorden krijgen als men overal het woord `klinker' door `medeklinker' en het woord `medeklinker' door `klinker' vervangt. Ik zal in de formulering van die vragen steeds x en y zetten op de plaatsen waar u voor x `klinker' en voor y `medeklinker' kunt invullen, of juist andersom voor x `medeklinker' en voor y `klinker'. Zoals u zult zien, zijn de antwoorden (een getal) in de twee gevallen steeds hetzelfde, maar is de argumentatie voor dat antwoord (een Nederlands woord met een bepaalde eigenschap) verschillend. De twee antwoorden op eenzelfde vraag zijn duaal, dat wil zeggen: overal waar de één een klinker heeft, heeft de ander een medeklinker en andersom. (Zie tabel)

Het is mogelijk dat u de wenkbrauwen ophaalde bij het woord ommuurroodde in de tabel. Het is inderdaad in geen woorden boek te vinden. Dat zegt niet veel, want inktscha en oogstbroei staan daar ook niet in, hoewel het volkomen aanvaardbare woorden zijn. De dichter Nijhoff gebruikte de verleden tijd van het zelfgemaakte werkwoord ommuurroden in de regels

De vuurrode avondzon

ommuurroodde ons erf

Als u het woord niet aanvaardt, staan u drie wegen open: U verzint een acceptabel duaal woord van voorraaddoos (ommuurraadde?). U erkent dat voorraaddoos voorlopig geen duale pendant bezit. U laat de vraag weg uit bovenstaande reeks.

Kan een woord en zijn duale tegenhanger, die dus klinkers heeft waar het oorspronkelijke woord medeklinkers had en andersom, uit dezelfde letters bestaan? Dan zal het woord een even aantal letters moeten bevatten, waarvan de helft klinkers en de andere medeklinkers. Ik geef zes voorbeelden voor ieder van de lengtes, 2, 4, 6 en 8 letters:

al-la, ar-ra, et-te,

em-me, op-po, oh-ho

snee-eens, tree-eert, egde-deeg,

elve-veel, evel-leve, eter-rete

oester-stoere, enorme-moreen, aderen-narede (of nadere),

altaar-raatla, eskimo-koemis, ijszee, zeeijs

theoloog-oogholte, Esmoreit-toerisme, eresabel-beselare,

olieberg-bergolie, teernaad-entaarde, ergotine, neetorig