Wiskunde voor de poen

Honderd jaar geleden presenteerde David Hilbert zijn befaamde lijst met 23 onopgeloste wiskundige problemen. Inmiddels ligt er een nieuwe reeks van zeven. Een Amerikaanse geldschieter looft per probleem een miljoen dollar uit voor de eerste die met een oplossing komt.

AFGELOPEN MEI kwam het Clay Mathematics Institute met een opmerkelijk initiatief. Het in Cambridge (Massachusetts) gevestigde instituut is nog geen twee jaar oud en opgericht door de Amerikaanse tycoon Landon T. Clay om de wiskunde vooruit te helpen. Tijdens zijn `millenniumbijeenkomst' op het Collège de France in Parijs presenteerde de stichting zeven problemen, stuk voor stuk klassiekers waarop wiskundigen nog altijd hun tanden stukbijten. Zo prijkt op de lijst de Riemann-hypothese, die zich uitlaat over de onderlinge ligging van de priemgetallen (getallen die slechts deelbaar zijn door 1 en door zichzelf, zoals 19 of 3931). Ook de Navier-Stokesvergelijkingen, die de stromingen en turbulenties in vloeistoffen en gassen beschrijven en door hun complexiteit ingenieurs tot wanhoop drijven, zijn van de partij. Beide problemen zijn in de negentiende eeuw opgesteld en nog altijd zijn ze voortvluchtig. Maar dankzij het Clay-instituut staat er nu een prijs op hun hoofd: zeven keer een miljoen dollar. Opeens ruikt wiskunde naar geld.

De Clay-lijst komt niet uit de lucht vallen en ook de keuze voor Parijs was weldoordacht. Komende dinsdag is het precies honderd jaar geleden dat de wiskundige David Hilbert zijn vermaarde lijst van 23 onopgeloste problemen lanceerde. In zijn lezing op het tweede Internationale Congres voor Wiskundigen, op 8 augustus 1900 in Parijs, ontvouwde de coryfee uit Göttingen – toen 38 jaar oud – zijn toekomstvisie op het vak. Wiskunde, zo benadrukte Hilbert, vormde een organisch geheel en van een verkruimeling tot losstaande deelgebieden wilde hij niet weten. Ook moest ze terug naar haar wortels: geen ad hoc aannames maar met zo min mogelijk axioma's en via streng redeneren een hecht bouwwerk aan kennis oprichten. Een ambitieus programma dat doorklinkt in de selectie van problemen waarop Hilbert en zijn collega's nog geen antwoord hadden – drie ervan, waaronder de Riemann-hypothese, wachten nog altijd op een oplossing.

De selectie van de Clay-lijst is gemaakt door de wetenschappelijke adviesraad van de stichting. Andrew Wiles, een van de vier leden, was bij de presentatie in Parijs aanwezig om toelichting te verschaffen. ``Onze lijst van zeven omvat grote onopgeloste problemen van de twintigste eeuw'', aldus de man die in 1995 na jarenlang solitair zwoegen de laatste stelling van Fermat bedwong. ``Door er geldprijzen aan te verbinden hopen we nieuwe generaties wiskundigen aan te sporen en te inspireren.'' Honderd jaar geleden wees Hermann Minkowski in een brief Hilbert ook al op het stimulerende effect dat een lijst met problemen op jonge wiskundigen zou uitoefenen. Kennelijk ging dat in die tijd ook zonder geld.

Arthur Jaffé, mathematisch-fysicus op Harvard en de man die twee jaar geleden Landon Clay ertoe overhaalde om geld in wiskunde te steken, benadrukte in Parijs dat het Clay-instituut – waarvan hij een der directeuren is – niet de pretentie heeft de wiskunde een bepaalde richting op te willen sturen. Het treurige lot van het programma van Hilbert nodigt daartoe ook weinig uit. Zijn minimalistische visie leek indertijd met de opkomst van de verzamelingenleer zo gek nog niet. In de jaren twintig zetten de Britse wiskundigen Bertrand Russell en Alfred North Whitehead zich aan de taak om de totale wiskunde in de geest van Hilbert uitgaande van een handvol axioma's van de grond af op te bouwen. Zo'n duizend bladzijden waren aldus nodig om 1+1=2 te bewijzen, maar het programma leed pas echt schipbreuk toen Kurt Gödel in 1931 met zijn onvolledigheidsstelling kwam. Binnen iedere verzameling axioma's, zo bewees de schuwe en frêle Oostenrijker, zijn stellingen denkbaar waarvoor het, uitgaande van die axioma's, mogelijk is te bewijzen of ze waar zijn of niet. Dus is niet uit te sluiten dat de axioma's van de rekenkunde uitmonden in tegenspraken. In één klap lag Hilberts droom in duigen.

Valt de fut die er in de wiskunde zit af te leiden uit de problemen waarmee de koningin der wetenschappen worstelt? Zegt de voorraad problemen iets over haar vitaliteit? ``De voortgang van de wiskunde is altijd afgemeten aan de voortgang die geboekt wordt bij het oplossen van oude problemen'', zegt Hendrik Lenstra, hoogleraar getaltheorie aan de universiteiten van Leiden en Berkeley (Californië). Vorig jaar kreeg Lenstra van NWO een (aan wiskunde te besteden) Spinoza-premie van 3,5 miljoen gulden. ``Dat ligt ook aan de natuur van de wiskunde: vragen veranderen niet, de laatste stelling van Fermat zag er 350 jaar geleden hetzelfde uit als nu. Maar wat nog wel eens wil veranderen is wat als oplossing voldoet. Vroeger waren de bewijzen niet zelden slordiger dan nu en ook geldt het tegenwoordig wèl als een oplossing als je bewijst dat een probleem onoplosbaar is. Waarom zou deze evolutie aan zijn eind zijn?''

sloddervossen

Ook grote wiskundigen leveren soms bewijzen die achteraf lek blijken te zijn. In Erreurs de Mathematiciens des Origines à Nos Jours, een boek uit 1935, zijn 355 sloddervossen verzameld, onder wie genieën als Descartes, Leibniz, Euler, Gauss en Poincaré. Zeker in wat langere bewijzen is de kans niet denkbeeldig dat in een redenering een buitenissige mogelijkheid over het hoofd wordt gezien, net zoals dat in een schaakanalyse het geval kan zijn. Ook wiskundige bewijzen die niet alleen door de bedenker maar ook door referees van tijdschriften zijn gecontroleerd, bevatten fouten, soms vrij onschuldig, een andere keer dodelijk. Van de laatste stelling van Fermat bestaan talloze bewijzen die niet deugen – zelfs Andrew Wiles moest een reparatie aanbrengen. Vooral na 1920, toen Paul Wolfskehl de Universiteit van Göttingen 100.000 mark naliet bestemd voor de bedenker van een sluitend bewijs voor `Fermat', was het raak: duizend wrakke redeneringen binnen drie jaar. Gelukkig deed de Duitse hyperinflatie de beloning verdampen.

Om niet bedolven te raken onder karrevrachten inzendingen van cranks heeft het Clay-instituut strikte voorwaarden gesteld waaraan de bewijzen moeten voldoen. Allereerst moeten oplossingen in een tijdschrift van wereldfaam – en dus met referees – zijn gepubliceerd. Verder moet de twee jaar daarna het bewijs door de wiskundige gemeenschap breed zijn geaccepteerd. Een tijdslimiet ontbreekt. Geld speelt geen rol. ``Als alle zeven problemen binnen een jaar zouden zijn bedwongen'', aldus Jaffé op 24 mei in Parijs, ``is dat voor het Clay-instituut geen probleem. Wel reden tot verbazing.''

Het schatten van de moeilijkheidsgraad van een wiskundeprobleem is altijd een hachelijke zaak, meent Lenstra. ``Er bestaat een beroemde anekdote – de precieze bron heb ik nooit gezien dus misschien gaat het om een legende – waarin Hilbert in een voordracht in de jaren twintig 3 problemen aanroert: de Riemann-hypothese, de laatste stelling van Fermat en het probleem te bewijzen dat 2 tot de macht wortel 2 transcendent is. (Transcendent betekent dat een getal geen nulpunt is van een polynoom, bijvoorbeeld 3x4-8x+1.) Hilbert zei: `Op het gebied van de Riemann-hypothese zijn de laatste tijd goede vorderingen geboekt, ik hoop dat ik een oplossing meemaak. Fermats laatste stelling ligt veel moeilijker, misschien dat het jongste lid onder mijn gehoor een oplossing zal beleven. Maar niemand onder u zal weten of 2 tot de macht wortel 2 transcendent is.' In werkelijkheid lag het precies andersom. Midden jaren dertig, nog vóór Hilberts dood, werd de transcendentie bewezen, Fermat volgde in 1995 en Riemann ligt nog altijd open.''

Kan een computer helpen een deugdelijk bewijs te vinden? Berucht is het geval van de vierkleurenstelling. Die dateert uit de negentiende eeuw en zegt dat bij het inkleuren van een landkaart vier kleuren volstaan. In 1976 werd hij door Kenneth Appel en Wolfgang Haken bewezen. Onderdeel van het bewijs was het doorrekenen van 1.936 bijzondere gevallen, een karwei waar de computer van het tweetal destijds 1.200 uur op moest zwoegen alvorens het groene licht te geven. Geen wiskundige die het met de hand kan controleren en de scepsis is groot. Liever wacht men op een nieuwe algebra of meetkunde in de hoop dat die een bewijs van acceptabele omvang zal opleveren. In Parijs werd afgelopen mei nog eens benadrukt dat het een waanidee is dat computers wiskundigen het werk uit handen zullen nemen. ``Met de zeven Clay-problemen kunnen ze niets'', aldus Alain Connes van het Collège de France.

In de aanloop naar `100 jaar Hilbertlijst' zijn er velen die in de voetsporen van de veelzijdige Duitser willen treden. ``Twee jaar geleden publiceerde Steve Smale, ooit winnaar van de Field Medal (bij gebrek aan een Nobelprijs de hoogste onderscheiding in de wiskunde), in de Mathematical Intelligencer een eigen lijst van 18 problemen voor de 21ste eeuw'', zegt Lenstra. ``Die stelde teleur: overbekende zaken aangevuld met wat persoonlijke hobby's. Dit weekend start op de campus van de University of California, Los Angeles het congres `Mathematical Challenges of the 21ste Century'. Diverse topwiskundigen zullen daar een duit in het zakje doen. Maar het zou mij niet verbazen als de miljonair het in dit geval wint van de wiskundigen en dat de Clay-lijst enige tijd toonaangevend zal zijn. Het is een compacte lijst en er staan gerijpte problemen op. Hilbert had er een bij over tetraëders dat al was opgelost eer zijn rede in druk was verschenen. Nu geldt dat zo'n beetje als recreatieve wiskunde.''

graadmeters

De Clay-lijst, zo meent Lenstra, bevat louter fundamentele problemen van groot structureel en conceptueel belang. ``Dat ze op zichzelf geen waarde zouden hebben en slechts graadmeters zijn voor de kracht van door ons ontwikkelde wiskundige methoden en technieken, is beslist onjuist. Niet alleen zijn de Clay-problemen hoogstwaarschijnlijk niet op te lossen zonder essentiële stappen vooruit, ze vertegenwoordigen essentiële stappen vooruit. De keerzijde hiervan is helaas dat praktisch geen enkel Clay-probleem fatsoenlijk aan een niet-wiskundige is duidelijk te maken.''

Stonden op de Hilbertlijst vooral problemen die van binnenuit de wiskunde waren gerezen, het Clay-instituut wil in de wereld staan en geeft onder het motto `wiskunde is overal' ook toegepaste zaken de ruimte. Ook op het congres in Los Angeles wordt wiskunde volop in verband gebracht met aardse zaken als het humane genoom (data mining, patroonherkenning, optimalisatie), moderne fysica (quantumveldentheorie, geometrische snaartheorie) en met IT (het zoeken naar krachtige algoritmes, quantumcomputers). Zei de Britse zuiver wiskundige G.H. Hardy eind jaren dertig in A Mathematician's Apology nog dat hij zich in zijn graf zou omdraaien als zijn geliefde getaltheorie alsnog praktisch nut zou hebben, inmiddels is zijn spookbeeld realiteit en bestaan er cryptografische systemen op basis van priemgetallen.

Intussen valt het te hopen dat het Clay Mathematics Institute een lang leven beschoren zal zijn. ``Het voornaamste probleem met hun lijst is dat op korte termijn aan oplossingen niet denderend veel te verwachten is'', zegt Lenstra. ``Sommige Hilbertproblemen hielden het lang uit. Of een zak geld de oplossing van een Clay-probleem versnelt, betwijfel ik zeer. Als ik de Riemann-hypothese bewijs ben ik meer in mijn sas met de Eeuwige Roem die me dat oplevert dan met die miljoen dollar. Trouwens, wat stelt een miljoen nog voor? Mìjn leven zou er nauwelijks door veranderen.''

Zie www.claymath.org/

    • Dirk van Delft