Voorbeeld van een categorie

Een categorie bestaat uit objecten en pijlen. Een zeer concreet voorbeeld van een categorie is Beweging, die vier objecten heeft: de tijd, een rechte lijn, het platte vlak en de Euclidische ruimte. We denken ons een vogel in die door de ruimte vliegt. We beginnen in Beweging met drie pijlen: (a) Vlucht, die de tijd naar de ruimte zendt (aan ieder tijdstip kent Vlucht een punt in de ruimte toe, waar de vogel zich op dat moment bevindt); (b) Schaduw, die de ruimte naar het vlak stuurt (de schaduw van de vogel volgt een kromme op de grond); (c) Hoogte, die de ruimte naar de lijn stuurt. (Hoogte stuurt de punten in de ruimte die de vogel passeert, naar hun hoogte boven de grond).

Galileo Galilei (1564-1642) kwam op het idee een beweging door de ruimte te ontbinden in een horizontale en een verticale beweging, en legde zo de grondslag voor de bewegingsleer. In termen van de categorieleer stelde Galilei uit de drie pijlen Vlucht, Schaduw en Hoogte twee andere pijlen samen: (d) Hoogte van de Vlucht, die de tijd naar de lijn stuurt, en (e) Schaduw van de Vlucht, die tijd naar het vlak stuurt. De ruimte is nu verdwenen uit deze pijlen; niettemin kunnen we, wanneer we op ieder tijdstip de schaduw en de hoogte van de vogel kennen, zijn vlucht door de ruimte construeren. Door verder het gedrag van de pijlen onder zulke samenstellingen te bestuderen, dringt zich een `vermenigvuldiging' op tussen de objecten: de ruimte is dan letterlijk het product van de lijn en het vlak.

Zo slaagt de categorieleer erin nieuw licht te werpen op eeuwenoude zaken. Een algehele herformulering van de wiskunde en de natuurkunde in termen van de categorieleer behoort op dit moment tot één van de opwindendste vergezichten van het exacte denken.