Abstracte nonsens

Een halve eeuw geleden ontstond aan de periferie van de wiskunde een abstracte theorie die men inmiddels in staat acht de gehele wiskunde te funderen en te organiseren. Resultaat: wiskunde gaat over structuur, structuur is een categorie, en natuurlijke en reële getallen hebben geen lor met elkaar te maken.

DE MEESTE wetenschappers kunnen hun onderwerp aanwijzen: de bioloog wijst naar planten en dieren, de archeoloog wijst naar opgravingen, de astronoom wijst naar de sterren. Maar waar moet de wiskundige naar wijzen? Naar zijn hoofd? De wiskundige kan zijn onderwerp niet aanwijzen. Gelukkig kan hij wel zeggen waar wiskunde over gaat. Vijfentwintig eeuwen gelden rapporteerde de Griekse wijsgeer Aristoteles in zijn boek Metafysika het antwoord op deze vraag van zijn leermeester Plato: wiskunde gaat over getallen (rekenkunde) en over de ruimte (meetkunde). Tot diep in de vorige eeuw zou dit antwoord standhouden. Toegegeven, er waren intussen wel getallen en ruimten bijgekomen. Naast de natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ...), rationele getallen (breuken) en irrationele getallen (de wortel uit 2, , etc.), verschenen op het toneel: nul, negatieve getallen, imaginaire getallen (de wortel uit -1), complexe getallen, quaternionen en zelfs oneindige getallen. En naast de Euklidische ruimte dienden verscheidene gekromde ruimten zich aan. Edoch, het antwoord bleef in wezen hetzelfde: wiskunde gaat over getallen en ruimten. En toen kwam de verzamelingenleer.

De Duitse wiskundige Georg Cantor (1845-1918) kwam tot de ondervinding dat verzamelingen handig bleken bij de oplossing van allerlei problemen aangaande het continuüm (de verzameling van alle reële getallen). Ook bij de ontwikkeling van de leer der oneindige getallen (die beginnen waar de rij natuurlijke getallen `eindigt') bleken verzamelingen zeer nuttige arbeid te verrichten. Later leerde men andere wiskundige grondbegrippen, zoals functie, relatie, identiteit en bewerking, te begrijpen als bijzondere soorten van verzamelingen. Voorts slaagde Cantor (en andere wiskundigen) erin de meeste getallen verzamelingstheoretisch te construeren uitgaande van de natuurlijke getallen. Toen in de jaren twintig van deze eeuw tevens de natuurlijke getallen en de oneindige getallen, die tot dan toe dapper weerstand hadden geboden aan een verzamelingstheoretische reductie, zich in de handen van John von Neumann (1903-1957) ook gewonnen gaven, was men, na vijfentwintighonderd jaar, voor het eerst in staat een ander antwoord te geven dan Plato op de vraag waar de wiskunde over gaat: over verzamelingen en niets behalve verzamelingen. Verzamelingen van wat? Van verzamelingen. Wat bevatten deze laatstgenoemde verzamelingen? Weer verzamelingen. En zo voort, tot men op de lege verzameling stuit, de verzameling zonder elementen. Dan luidt het antwoord immers: niets. Het klinkt bizar, maar het is een even onberispelijke als onafwendbare conclusie: wiskunde gaat over ingewikkelde constructies van letterlijk niets.

Een gevolg van deze conclusie is dat men de gangbare axioma's van de verzamelingenleer kan opvatten als de fundamenten van alle wiskundige kennis. De verzamelingenleer is dan een zogeheten funderingstheorie. Alle wiskundige stellingen, uit de rekenkunde, de analyse (die onder andere differentiaal- en integraalrekening omvat), de meetkunde, de topologie (`rubber-meetkunde' waarbij stellingen over ballen, zwembanden en krakelingen ongevoelig blijken voor uitrekken, samenpersen, draaien en buigen), de algebra, enzovoort, zijn vermomde stellingen uit de verzamelingenleer.

Op het wiskunde-onderwijs heeft deze ontwikkeling grote invloed gehad. Toen tijdens de Koude Oorlog in de Verenigde Staten de angst ontstond technologisch achterop te geraken bij de voormalige Sovjet-Unie, nadat zij als eerste natie een mens in een baan rond de aarde had gebracht (Joeri Gagarin in de Spoetnik),werd ook het wiskunde-onderwijs gemoderniseerd. Deze zogeheten New Math-beweging heeft ertoe geleid dat het verzamelingsbegrip centraal kwam te staan. Ook het Nederlandse wiskunde-onderwijs heeft een soortgelijke vernieuwing ondergaan, tijdens de invoering van de Mammoetwet. De Euklidische meetkunde is toen afgeschaft – sociaal-democraten aan de macht: alles verbieden wat slechts een minderheid kan waarderen. Mijn eerste kennismaking met wiskunde, in de `brugklas' (1974), bestond uit plaatjes van verzamelingen, van doorsneden en verenigingen van verzamelingen. Deze verzamelingen bevatten aanvankelijk apen, apostelen, appels en andere tastbare objecten. Maar al snel was er alleen sprake van verzamelingen van punten, lijnen, natuurlijke getallen, reële getallen, enzovoort. Dat is voorbij, voorgoed voorbij, nu in het middelbaar onderwijs de zuivere wiskunde in haar geheel is afgeschaft.

Het funderingsverhaal van de wiskunde is echter niet afgelopen met de troonsbestijging van de verzamelingenleer. Voor het vervolg moeten we naar het Interbellum in Frankrijk, dat naast Duitsland de andere wiskundige grootmacht is uit de Europese geschiedenis. Jonge Franse wiskundigen, wier voorgaande generatie was weggevaagd in de loopgraven van de Eerste Wereldoorlog, constateerden een enorme kloof tussen de interessen en methoden van de oude meesters, onder wie Poincaré, Lebesgue, Hadamard en Borel, en de toenmalige ontwikkelingen. Zij staken de koppen bij elkaar en besloten Euklides, die de Griekse wiskunde in de derde eeuw voor Christus grandioos had samengevat in Elementen, naar de kroon te steken door eveneens een reeks boeken te schrijven,getiteld Eléments de Mathématique, onder het collectieve pseudoniem Nicolas Bourbaki. Bourbaki behoort nog steeds tot de levenden, maar is vermoedelijk met pensioen. Tot dit collectief heeft het neusje van de zalm van de wiskunde behoord, onder wie Dieudonné, Cartan, Weil, Schwarz, Thom, Serre, Lang en Grothendieck. De leden hadden een Frans paspoort; wanneer bij hoge uitzondering een buitenlander werd uitgenodigd deel te nemen aan de roemruchte bijeenkomsten van Bourbaki, zoals de Pool Samuel Eilenberg, werd hem verzocht een Frans paspoort aan te vragen.

Nicolas Bourbaki's Eléments moest orde op zaken stellen in de wildgroeiende wiskunde, die door haar versplintering in specialismen dreigde te veranderen in een nieuwe Toren van Babel. Eléments mocht alleen wiskundig gebied in kaart brengen dat goed was verkend, ontgind en gecultiveerd. Alleen de belangrijkste stellingen, de prachtigste bewijzen en de nuttigste methoden mochten in Eléments terechtkomen; het moest een levend organisme worden, niet een encyclopedisch museum, dat de eenheid en samenhang van alle wiskundige kennis belichaamt en haar groei dient. Het kloppend hart van Bourbaki is zijn begrip structuur, waarvan hij een formele definitie heeft gegeven die vele bladzijden beslaat maar waarmee de informele wiskundige uitstekend uit de voeten kon en kan.

Een voorbeeld is een Peano-structuur, genoemd naar de 19de-eeuwse Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Die bestaat uit een `basisverzameling', zeg de natuurlijke getallen, verrijkt met de volgende `structuurelementen': een ordeningsrelatie tussen de elementen van de basisverzameling genaamd `is opvolger van' en een bijzonder element dat we `nul' noemen. De definitie van een Peano-structuur is zo dat ieder element een unieke opvolger en voorganger heeft, behalve nul (die heeft alleen een opvolger). Alle vertrouwde rekenkundige eigenschappen (`is een priemgetal', `is een wild getal', etc.), relaties (`is groter dan', etc.) en bewerkingen (optellen, vermenigvuldigen, machtsverheffen, etc.) zijn te definiëren in termen van de basisverzameling en de structuur-elementen.

In plaats van één verzameling (die van de natuurlijke getallen), kan men meerdere verzamelingen beschouwen, en meerdere relaties, functies, bewerkingen en deelverzamelingen. Zo komt een extreem algemeen structuurbegrip bovendrijven. Alle bekende soorten van getallen en van ruimten uit de wiskunde zijn voorbeelden van zulke structuren. Volgens Bourbaki gaat de wiskunde uitsluitend over structuur. De structuur-organisatie van de wiskunde zet de traditionele onderverdeling op haar kop. Bij wijze van analogie: aanvankelijk hadden natuurfilosofen dolfijnen en tonijnen tot dezelfde klasse gerekend (vissen), omdat ze op elkaar lijken en in de zee leven. ``Algebra, rekenkunde, meetkunde en dergelijke nonsens zijn hiermee te vergelijken'', blikte Dieudonné in 1970 terug. ``Men moet naar de structuur van elke theorie kijken en de theorie aldus classificeren.'' Traditioneel classificeerde men de natuurlijke getallen en de reële getallen als getallen (de naam zegt het al), met het natuurlijke getal als een bijzonder soort van reëel getal. Bourbaki bracht de natuurlijke getallen onder bij de ordeningsstructuren en de reële getallen bij de topologische structuren. Qua structuur hebben natuurlijke en reële getallen geen lor met elkaar te maken. Net als bij de dolfijn en de tonijn bedriegt de schijn.

De fundamenten van Bourbaki's architectuur zijn nog steeds de axioma's van de verzamelingenleer, daar elke structuur een bijzonder soort van geordende verzameling is. Volgens Cantor was wiskunde zuivere verzamelingenleer en wetenschap toegepaste verzamelingenleer. Ofschoon een gigantischer triomf van Cantor's visie dan Bourbaki's Eléments niet denkbaar is, heeft Bourbaki met zijn structuurbegrip deze visie verdiept en versterkt op een manier waar Cantor nooit van heeft kunnen dromen. Veel delen van Eléments werden, in de naoorlogse decennia, bejubeld en met ontzag bezien, niet in de laatste plaats omdat ze soms de eerste overzichtwerken waren van pas ontgonnen wiskundig terrein. Een recensent vergeleek het bespreken van een product van Bourbaki met het beklimmen van de Noordwand van de Eiger. Bourbaki's abstracte structuurbegrip begon al snel een eigen leven te leiden in de informele praktijk van de wiskunde. In sommige takken van de wiskunde begon men de verzamelingstheoretische reductie als onhandig te beschouwen, ongeveer zoals een reductie van de natuurlijke getallen tot combinaties van de lege verzameling geen rekenkundige een stap vooruit helpt. Structuren Ja, verzamelingstheoretische reductie Nee. De geest van Bourbaki Ja, de letter van Bourbaki Nee.

Het verhaal gaat eind jaren veertig verder in de Verenigde Staten, dat door de massale uittocht van academici uit Europa voor de Tweede Wereldoorlog tot een denkgrootmacht transformeerde. De in Göttingen opgeleide Amerikaanse wiskundige Saunders MacLane en de uit Polen gevluchte Bourbakist Samuel Eilenberg (1914-1998) voerden een aantal begrippen in (pijl, categorie, functor), om gemakkelijker te kunnen spreken over structuren uit de algebraïsche topologie. Langzaam maar zeker vonden deze begrippen overal in de wiskunde (en mondjesmaat in de natuurkunde) hun toepassing; zij leidden uiteindelijk tot een zelfstandige theorie: de categorie-theorie. Ook bedachten MacLane en Eilenberg een taal van commutatieve diagrammen die het icoon zijn geworden van de categorie-theorie, vergelijkbaar met hoe in de natuurkunde Feynman-diagrammen het icoon zijn van de quantumveldentheorie. In 1967 was de categorie-theorie zover ontwikkeld dat de Amerikaanse wiskundige F. William Lawvere het aandurfde deze theorie naar voren te schuiven als een abstracte funderingstheorie voor de gehele wiskunde, superieur aan de verzamelingenleer.

SPRINGLEVEND

Deze ontwikkeling leek onvermijdelijk doordat pogingen om de categorie-theorie op de verzamelingenleer te funderen op schier onoverkomelijke moeilijkheden waren gestuit. In zijn proefschrift Structures for everyone (Gerits & Son, 1998), dat onder andere een uiteenzetting en overzicht van het wiskundig funderingsonderzoek bevat, heeft auteur dezes evenwel aangetoond dat, indien men de verzamelingenleer anders axiomatiseert en uitbreidt met klassen, die nauw verwant zijn aan verzamelingen, de resulterende theorie het volle gewicht van de categorie-theorie kan torsen, alsmede de nog altijd springlevende verzamelingenleer. Niettemin is een zuiver categorie-theoretische fundering van de wiskunde het bestuderen waard. Verschillende funderingstheorieën vergroten ons inzicht in de aard van de wiskunde, zoals verschillende interpretaties van een roman ons inzicht in die roman vergroten.

Waar gaat de wiskunde over volgens de categorie-theorie? Over opzettelijk niet nader gespecificeerde objecten, en pijlen, die objecten naar elkaar zenden; zij vormen tezamen een categorie. De grondleggers van de categorie-theorie gebruikten expres filosofische woorden voor nieuwe wiskundige begrippen (object en categorie van Aristoteles en Kant, monade van Leibniz, functor van Carnap), om aan te geven dat de categorie-theorie diepzinnig is. De categorie neemt in de nieuwe organisatie van de wiskundige kennis een plaats in die vergelijkbaar is met de plaats van Bourbaki's structuurbegrip in zijn verzamelingstheoretische architectuur.

Een tijdlang stond de categorie-theorie te boek als general abstract nonsense. De categorie-theoretici droegen deze aanduiding als Geuzennaam. Hoewel dit spraakgebruik in onmin is geraakt, is de categorie-theorie berucht gebleven om haar niveau van extreme abstractie. Een hervorming van het middelbaar wiskunde-onderwijs geschoeid op deze fonkelnieuwe leest zal daardoor menig wiskundige doen schuddebuiken van het lachen. Het is alsof je een kleuter gaat leren lezen uit Finnegans Wake.

Onlangs is er echter een leerboek verschenen met de titel Conceptual Mathematics. A first introduction to categories (Cambridge University Press, 1998), geschreven door Lawvere en Schanuel en bedoeld voor de middelbare scholier en de beginnende student wiskunde. In het eerste hoofdstuk verschijnen de stenen die Galilei van de toren van Pisa liet vallen, menu's en maaltijden ten tonele. De abstracte categorie-theorie kan onverwacht concreet zijn, als het moet.

De auteurs van Conceptual Mathematics hebben een olympische prestatie geleverd.Eigenlijk zou je alles wat je van wiskunde weet moeten kunnen vergeten, en dan met dit boek helemaal opnieuw beginnen. Je begrip van wat wiskunde is, en waar het over gaat, zal na lezing anders zijn dan wat het nu is. Wiskunde gaat over structuur en structuur is een categorie. Een vriendelijker inwijding tot dit inzicht dan Conceptual Mathematics is niet voorhanden.