Muizen tegen kikkers

`DE SLAG tussen de muizen en de kikkers.' Zo karakteriseerde Einstein de grondslagenstrijd in de wiskunde die woedde in de jaren twintig, vanwege het onbeschaafde gedrag waaraan de twee strijdende kopstukken zich uiteindelijk schuldig maakten. Deze twee kopstukken waren de Duitse polymath David Hilbert en de Nederlandse topoloog L.E.J. Brouwer. De grondslagenstrijd ving aan in 1921, bij de publicatie van een polemisch artikel van Hermann Weyl getiteld Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Weyl, een van de talentrijkste wiskundigen van zijn generatie en de kroonprins van Hilbert, belijdt publiekelijk zijn afvalligheid van Hilbert: ``(...)und Brouwer, dass ist die Revolution!'' De strijd voltrok zich voornamelijk in de jaren na 1925 en eindigde in 1928, op de volgende, onverkwikkelijke wijze, die Einstein tot zijn karakterisering bracht.

Hilbert en Brouwer zaten in de redactie van Mathematische Annalen, het meest gezaghebbende wiskunde-tijdschrift van die tijd. In 1928 verwijderde de zieke Hilbert eigenhandig Brouwer uit de redactie, o.a. uit angst dat Brouwer de scepter zou gaan zwaaien nadat de 21 jaar oudere Hilbert zich had teruggetrokken. In plaats van eerst de andere redactieleden te raadplegen, waaronder Einstein, stelde Hilbert ze per brief op de hoogte van zijn besluit. Einstein pleitte voor verdraagzaamheid: ``Sire, geben Sie ihm Narrenfreiheit!'' Redactielid Carathéodory werd op een diplomatieke missie naar Laren gezonden, de woonplaats van Brouwer.

Tevergeefs. Brouwer verklaarde zich bereid de redactie vrijwillig te verlaten, mits de arts van Hilbert een verklaring ondertekende waarin stond dat zijn patiënt een klap van de malle molen had gekregen. Redactielid Blumenthal vond dat Brouwer zich nu onmogelijk had gemaakt en schaarde zich aan de zijde van Hilbert. Uiteindelijk werd de ontstane patstelling opgeheven door alle stukken van het bord te vegen: de voltallige redactie van Annalen werd ontbonden. In de nieuwe redactie, gevormd door Hilbert, weigerden de ex-leden Einstein en Carathéodory zitting te nemen. En Brouwer, die had geijverd voor de toelating van Duitse wiskundigen tot internationale congressen (waar ze sinds de Eerste Wereldoorlog van uitgesloten waren), moet Hilbert's actie als een dolkstoot hebben ervaren. Gekrenkt trok hij zich als actief wiskundige terug. Nooit zou Brouwer meer iets voortbrengen dat het niveau van zijn eerdere werk ook maar benaderde. Zo ontaarde een rationeel debat in ordinaire machtspolitiek, met vernietigende gevolgen.

De grondslagenstrijd is de kern van het historische proefschrift Gnomes in the fog van D.E. Hesselink, dat de ontvangst van het intuïtionisme door wiskundigen, logici en filosofen tot onderwerp heeft. Het intuïtionisme is een visie op de wiskunde, bedacht, ontwikkeld en benoemd door Brouwer in de jaren 1907-1928.

Volgens Brouwer is wiskunde een woordloze activiteit van constructie in de menselijke geest, die haar oorsprong vindt in onze oer-intuïtie van tijdsbeleving. Wiskundige bewijzen zijn beschrijvingen van deze constructie-activiteit. De taak van de logica is regelmatigheden te formuleren die optreden in geldige bewijzen. Vanuit deze opvatting leverde Brouwer ongehoorde kritiek op de bestaande wiskundige orde. Twee punten van kritiek zouden de hoofdthema's worden van de grondslagenstrijd: wiskundige existentie en de status van het principe van de uitgesloten derde (P of niet-P).

Volgens Brouwer kon men een existentie-stelling alleen bewijzen door het bedoelde object te construeren, niet met een bewijs-uit-het-ongerijde. En alleen wanneer er een eindig aantal objecten voor handen is, geldt `P of niet-P'. De consequentie was dat een reusachtig gedeelte van bewezen geachte wiskundige beweringen hun status als stelling verliezen en gissingen worden. Een decimering van de wiskundige canon was het offer dat het intuïtionisme verlangde. Niet verwonderlijk dat verdedigers van de canon ten strijde trokken tegen Brouwer c.s.

Hesselink heeft alle reacties op het intuïtionisme, uit artikelen, lezingen en boeken, en uit brieven en ongepubliceerde manuscripten uit een indrukwekkende hoeveelheid archieven uit Europa, de Verenigde Staten en Israel, bijeengebracht, samengevat, thematisch vergeleken en soms becommentarieerd. Door de grondslagenstrijd volledig te overzien, heeft hij ontdekt dat het standaardbeeld van deze strijd amendering behoeft. In dit standaardbeeld gaat de strijd tussen het intuïtionisme van Brouwer en het formalisme van Hilbert (ook een term van Brouwer). Volgens het formalisme is wiskunde een regelgeleid spel met symbolen, waarbij men `stellingen' afleidt uit `axioma's'. Iedereen is vrij om bij de symbolen van het spel te denken wat zij wil, want zulke gedachten zijn irrelevant voor het spel. De enige eis is dat het spel geen tegenspraken bevat; dit kan men garanderen door een consistentiebewijs, dat volgens Hilbert een nota bene intuïtionistisch geldig bewijs moet zijn. Aan het begin van de grondslagenstrijd bestond het formalisme nog niet. Hilbert ontwikkelde het formalisme tijdens de strijd, om een visie te hebben die de canon rechtvaardigde.

Soms schiet de thematische ordeningsdrang van Hesselink zijn doel voorbij. Zo doorloopt hij in Hoofdstuk 4 de grondslagenstrijd van begin tot einde door uitsluitend naar het thema `bestaan en constructie' te kijken; in Hoofdstuk 5 nog een keer, maar nu door uitsluitend naar het principe van de uitgesloten derde te kijken. Letterlijk dezelfde voetnoten keren terug. Ik had het gevoel in een bus door een stad rondgereden te worden waarvan de gids alle ramen aan de linkerzijde had geblindeerd. Daarna maakte ik dezelfde rondrit nog een keer, maar nu zijn de ramen aan de rechterzijde geblindeerd. Deze toerwijze zou gerechtvaardigd zijn indien wiskundige existentie en het principe van de uitgesloten derde geen lor met elkaar te maken zouden hebben. Maar dat is niet het geval, zoals Hesseling weet. In dit licht bezien is de dubbele rondrit te veel. Bovendien herhalen de deelnemers elkaar tot vervelens toe.

Ongetwijfeld zal Gnomes in the fog een standaardverwijzing worden voor geschiedschrijvers van de wiskunde. Het wachten is op een kundige pen met gevoel voor dramatiek, die met behulp van deze chronologische rapportage een meeslepend verhaal schrijft.

Gnomes in the fog. The reception of Brouwer's intuitionism in the 1920s. Proefschrift van D.E. Hesseling, Universiteit Utrecht, 1999, 410 blz., ISBN 90-393-1720-8. Handelseditie verschijnt binnenkort.