HET GENOEGEN VAN DE MEETKUNDE

Toen hij in 1956 als wiskundeleraar op het Amsterdamse Barleusgymnasium ging werken, zag hij met lede ogen aan hoe zijn leerlingen worstelden met de beginselen van de meetkunde. Toen al dacht hij: waarom wordt er in het lager onderwijs niets gedaan aan de voorbereiding op dit prachtige vak? Afgelopen week, na een zwerftocht van bijna 45 jaar door het wiskundeonderwijs, promoveerde Ed de Moor (66) op een vuistdik proefschrift over twee eeuwen meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar.

Paradoxaal genoeg gaat een flink deel van zijn proefschrift over het ontbreken van meetkundeonderwijs voor deze leeftijdscategorie: van het eind van de negentiende eeuw tot de jaren zeventig van deze eeuw. De `vormleer' die lagerschoolkinderen in de periode daarvoor - tussen 1820 en 1890 - kregen onderwezen, betitelt de promovendus zonder omwegen als een mislukt experiment. ``Een veredelde vorm van denkgymnastiek'', zegt De Moor. Het vak vormleer had volgens hem weinig te maken met meetkunde. Dat wil zeggen: met het begrijpen van de ruimte. Het had zijn pijlen gericht op algemeen vormende waarden: goed leren denken, spreken en zien aan de hand van meetkundige vormen. ``Het was'', zo schrijft hij in zijn dissertatie, ``in feite op niets anders gestoeld dan op een aantal vage gedachten van een paar bevlogen pedagogen.'' In 1889 werd het vak vormleer ingeruild voor tekenen. Het zou tot 1970 duren voordat de lagereschooljeugd de kans kreeg kennis te maken met de genoegens van de realistische meetkunde.

Als het meetkundeonderwijs slechts een geschiedenis van mislukte experimenten en abstinentie was geweest, had De Moor met een aanzienlijk dunner proefschrift kunnen volstaan. Het is vooral de discussie die zich achter deze ontwikkelingen heeft afgespeeld die zijn historische beschrijving van dit schoolvak zo interessant maakt. Het zijn bekende en minder bekende namen als Pestalozzi, Fröbel, Versluys, Ehrenfest, Dijksterhuis, het echtpaar Van Hiele en Freudenthal die de revue passeren. Sommigen, zoals Versluys en Ehrenfest, zijn door De Moor van het stof ontdaan en mogen nu alsnog hun plaats in de eregalerij van het meetkundeonderwijs innemen. Tegelijkertijd laat hij zien dat het soms vele decennia kan duren voordat nieuwe inzichten in de schoolpraktijk tot uitdrukking komen. Het is een exemplarische geschiedenis van omwegen en wegversperringen van persoonlijk ingrijpen en slingerbewegingen in de tijdgeest. ``Er is vooruitgang geboekt in het meetkundeonderwijs'', constateert De Moor tenslotte, ``maar die vooruitgang zit 'm vooral in de didactiek. De schoolmeetkunde heeft zich volledig los van de wetenschap ontwikkeld.''

SPELENDERWIJS

In de twee eeuwen die De Moor beschrijft is er in wiskundige en pedagogische kringen uitvoerig gediscussieerd over de vraag of de abstracte stellingen waarmee Euclides drie eeuwen voor Christus de basis voor de wetenschap der meetkunde legde, toegankelijk te maken zijn voor kinderen in de basisschoolleeftijd. En dat is een zeer lezenswaardige zoektocht geworden naar het ontstaan van een informele, intuïtieve meetkundeleergang, waarin heel jonge kinderen spelenderwijs meetkundige ervaring opdoen, begrippen ontdekken en redeneringen ontwikkelen. Die leergang zal uiteindelijk de basis moeten leggen voor de meer formele Euclidische meetkunde. ``In feite heeft de zuivere abstractie van Euclides' meetkunde de ontwikkeling van de schoolmeetkunde eeuwenlang in de weg gestaan'', stelt De Moor. ``Kinderen tot twaalf jaar zijn nog niet in staat om op zo'n abstract niveau te redeneren.''

Welbeschouwd is het aan Zwitserse pedagoog Johann Pestalozzi (1746-1826) en zijn principe van de aanschouwelijkheid te danken dat de discussie over het meetkundeonderwijs een andere wending heeft gekregen. Los van de abstracte meetkundige redeneringen van Euclides gingen de pedagogen op een veel alledaagsere manier over meetkunde nadenken. In de eerste helft van de negentiende eeuw liep dit in Nederland toch vast in het totaal geformaliseerde vak vormleer, omdat men bleef vasthouden aan het idee van de algemeen vormende waarde van meetkunde: als vak waarvan je leert denken en redeneren.

Dat Jan Versluys (1824-1920), de eerste Nederlandse rekendidacticus, met zijn praktische ideeën over vormleer als aanschouwelijke meetkunde populariteit verwierf en dat zijn denkbeelden langzaam in de leerboekjes doorsijpelden, mocht niet meer baten. In de zomer van 1889 werd het vak vormleer afgeschaft. De Moor vermoedt dat er in de Tweede Kamer destijds een politiek spel is gespeeld, ``want'', zo zegt hij, ``'s morgens stond het nog in het leerplan, 's middags was het eruit. Zonder enig overleg met onderwijzers, opleiders en inspecteurs.'' Nog merkwaardiger dan deze `curieuze affaire', is dat precies honderd jaar later, in de zomer van 1989 exact hetzelfde dreigt te gebeuren als een commissie het meetkundedomein uit de kerndoelen voor het basisonderwijs wil gooien. ``Door persoonlijk ingrijpen van professor Adri Treffers is dit voorkomen'', aldus De Moor, die hiermee vaststelt dat het wel en wee van het meetkundeonderwijs soms van willekeurigheden aan elkaar hangt.

In zijn proefschrift heeft De Moor een aantal mooie monografietjes opgenomen over figuren die naar zijn oordeel van essentieel belang zijn geweest voor de ontwikkeling van het meetkundeonderwijs aan jonge kinderen. Een van zijn lievelingen is Friedrich Fröbel (1782-1852), die grote invloed had op het Nederlandse kleuteronderwijs. Hoewel zijn naam heden ten dage verbasterd is tot een werkwoord, waarmee men zich geringschattend uitlaat over handvaardige bezigheden, heeft Fröbel volgens De Moor ``als eerste pedagoog het werken met concreet meetkundig materiaal voor de jongste kinderen gesystematiseerd.''

Merkwaardig is bovendien dat terwijl in 1889 de vormleer op de lagere school werd afgeschaft, de kleuters in het fröbelonderwijs een ``rijk meetkundig programma'' voorgeschoteld kregen. Veel van wat Fröbel indertijd ontwikkelde aan ideeën en concreet spelmateriaal, vertoont overeenkomsten met de huidige opvattingen over het meetkundeonderwijs. De Moor somt een aantal van deze kenmerken op: aanschouwelijkheid als grondslag, start in de driedimensionale ruimte, ordenen en classificeren als natuurlijk verschijnsel, uitbuiting van natuurlijke symmetrieën, zelf construeren van bouwsels en vlakke figuren, eenvoudige redeneringen en 'bewijzen'.

Fröbel is een belangrijke wegbereider voor het moderne meetkundeonderwijs geweest, aldus De Moor. Niet minder belangrijk was mevrouw Tatjana Ehrenfest-Afanassjewa (1876-1964), die in de jaren twintig een didactisch programma schreef voor het aanvankelijk meetkundeonderwijs, waarin zij voor een fundamenteel andere aanpak koos en met zeer originele, aan de realiteit ontleende vraagstukken aantoonde dat kinderen wel degelijk in staat zijn zelf meetkundige ontdekkingen te doen. De vernieuwers van de Wiskobas-groep uit de jaren zeventig borduurden hier – soms zelfs zonder de oorsprong te weten, zo blijkt uit De Moors onderzoek – stevig op door. Ook in het programmavoorstel dat De Moor in zijn proefschrift presenteert zijn de sporen van mevrouw Ehrenfest duidelijk terug te vinden.

VERNIEUWING

De vernieuwing van het reken-wiskundeonderwijs, met grote nadruk op 'het leren beschrijven, begrijpen en beheersen van de ruimtelijke wereld om ons heen', kreeg in Nederland een geheel eigen signatuur. Vanaf 1993 maakt meetkunde formeel deel uit van programma van de basisschool. Er staan meetkundeopgaven in de lesmethodes en leerkrachten zeggen dat ze ongeveer 70 procent van de methodes doorwerken.

Maar hoe staat het met het meetkundeniveau van de kinderen op dit moment, vroeg de onderzoeker zich af. ``Historisch onderzoek mag zich zeker op de toekomst richten'', zo motiveert hij de proeftoets meetkunde die in 1965 onder zo'n kleine duizend leerlingen is afgenomen door het CITO en die deel uitmaakt van zijn dissertatie. ``Ik beschouw het als een ijkpunt, want dit is de eerste keer dat een serie deugdelijke toetsopgaven voor meetkunde is samengesteld en afgenomen.'' Er kwamen veel zaken uit naar voren die nodig verbetering behoeven, maar echt spraakmakend vindt De Moor dat er slechts een zeer geringe correlatie gevonden is tussen de reken- en de meetkundeprestaties van de kinderen. ``Dat zou ondersteuning betekenen voor de stelling van de Amerikaanse ontwikkelingspycholoog Gardner dat ruimtelijke oriëntatie een aparte soort intelligentie is, los van het rekenen.''

E.W.A. de Moor, Van vormleer naar realistische meetkunde, 704 pag. ƒ70,- Te bestellen bij het Freudenthal Instituut Utrecht, tel:030-2611.611