De kabels, niet de brug

HIJ HEEFT zo ongeveer elk handboek civiele techniek gehaald als hét voorbeeld van hoe het niet moet: de hangbrug over de Tacoma Narrows in de staat Washington. Iedereen heeft de beelden van het einde van Galloping Gertie wel eens gezien. Vanaf het eerste moment dat de bijna twee kilometer lange brug (centrale spanwijdte: 850 meter) werd opengesteld stond hij al zo bekend: bij het geringste zuchtje wind golfde het wegdek behoorlijk op en neer. Slechts vier maanden na de opening, op 7 november 1940, werden bij windsnelheden van zo'n zestig kilometer per uur de golfbewegingen allengs sterker. Maar het ging pas echt mis toen het wegdek om zijn lengteas begon te draaien. Daar was de constructie niet tegen bestand, hele stukken lieten los en na drie kwartier brak de brug in tweeën.

Meer dan een halve eeuw wordt er al gediscussieerd over de precieze oorzaak van de ramp. In het januarinummer van de American Mathematical Monthly werd het `definitieve scenario' gepresenteerd. Al direct na de ramp werd door de Federal Works Agency een onderzoekscommissie ingesteld. In het eindrapport heette het dat ``gedwongen trillingen opgewekt door de chaotische bewegingen van de turbulente wind'' de schuldige waren. Later wordt deze verklaring aangescherpt, vooral door toedoen van het meest gezaghebbende commissielid Theodor von Kármán, een van de eerste en bekendste vliegtuigbouwkundig ingenieurs. Hij identificeert een mechanisme dat de trillingen kan hebben veroorzaakt. Wanneer wind om een stilstaand object stroomt, dat niet speciaal gestroomlijnd is, kan het in het algemeen de vorm van dat object niet precies volgen. Zeker bij hogere snelheden `laat de stroming aan de achterkant los'. Hierdoor ontstaat een onderdruk, die bijvoorbeeld verantwoordelijk is voor een remmende werking op bewegende voorwerpen. Maar het loslaten leidt ook tot een zogenoemde Von Kármán-straat: een serie wervelingen achter het object. Het zijn deze, zich op regelmatige afstand van elkaar voortbewegende draaikolken, die de brug in een resonante trilling gebracht zouden hebben, omdat ze precies `pasten' bij een natuurlijke frequentie van de hele constructie.

Dit is de verklaring die in de handboeken wordt opgenomen. Talloze studenten en hun leraren hebben sindsdien de redenering klakkeloos geaccepteerd. Ten onrechte, zo lieten Robert Scanlan en Yusuf Billah, twee Amerikaanse ingenieurs zien (American Journal of Physics, februari 1991). Een relatief eenvoudige berekening wijst namelijk uit dat onder de omstandigheden zoals die heersten op die dag in Washington de frequentie van de wervelingen in de Von Kármán-straat zo'n vijf keer hoger zou moeten zijn geweest dan die van de trillingen die het einde betekenden voor de brug. Dat wil niet zeggen dat Von Kármán-wervels helemaal geen invloed kunnen uitoefenen. Zij werden namelijk ook verantwoordelijk gehouden voor de problemen die in november 1996 de Erasmusbrug in Rotterdam in het nieuws brachten. In dat geval waren het echter de tuien die in trilling werden gebracht, en die hebben een heel andere natuurlijke frequentie.

Voor de Tacoma-brug lag het allemaal veel subtieler. Volgens Scanlan en Billah was daar sprake van een wisselwerking tussen de bewegingen van de brug en de wind. Zolang die bewegingen in een verticaal vlak plaatsvinden, worden ze gedempt. Het ging echter mis toen aan één kant van de brug een kleine structuurfout aan het licht trad. Daardoor ontstond een asymmetrie, die een torsiebeweging tot gevolg had. Deze versterkte zichzelf in samenspel met de wind.

Maar ook die verklaring vond P. Joseph McKenna, een wiskundige van de universiteit van Connecticut, niet bevredigend. Bijna twintig jaar studie van het probleem bracht hem tot de conclusie dat de periodieke aerodynamische torsiekrachten veel te klein zijn om de enorme draaiing die de brug fataal werd te kunnen verklaren. Er moet nog een factor in het spel zijn geweest. Samen met zijn studente Kristen Moore analyseerde hij het gedrag van een eenvoudig modelsysteem voor de doorsnede van de brug: een balk opgehangen aan twee veren. Uit hun analyse bleek dat de tuien waaraan het wegdek is opgehangen wel eens een belangrijke rol kunnen hebben gespeeld.

In alle modellen was tot nu toe aangenomen dat deze zich als stijve veren zouden gedragen. Dat is prettig, omdat ze dan kunnen worden beschreven met eenvoudige lineaire (differentiaal)vergelijkingen. Die zijn gemakkelijk op te lossen en geven intuïtief juiste resultaten. McKenna betoogt echter dat deze kabels wel eens `niet-lineair' zouden kunnen zijn: wanneer de brug begint te golven rekken ze immers afwisselend wat verder uit om even later weer bijna ontspannen te zijn. Wie dat soort gedrag op de juiste manier in rekening wil brengen, ontkomt niet aan veel ingewikkelder vergelijkingen, die pas de laatste paar jaar met behulp van snelle computers kunnen worden opgelost. Dat deed McKenna voor zijn versimpelde model. En hij ontdekte dat een volkomen verticale trilling, onder invloed van het niet-lineaire gedrag van de kabels van het ene moment op het andere instabiel kan worden. Onder die omstandigheden kan een minuscule draaiing onder invloed van de wind wél enorm worden versterkt.