Het genie uit Overschie

Bertus Brouwer was na Simon Stevin en Christiaan Huygens de grootste wiskundige van ons land. Kort geleden verscheen een studie over deze eigenwijze, humorloze vader van de Intuïtionistische Wiskunde

Wie in de vroege jaren vijftig in Amsterdam wiskunde ging studeren, wist wel dat L.E.J. Brouwer daar de Intuïtionistische Wiskunde had uitgevonden, waarin het Principe van het Uitgesloten Derde niet meer gold, maar eigenlijk hoorde je er weinig over. Professor Heijting gaf een college geformaliseerde Intuïtionische Logica en dat was geestig want het intuïtionisme wilde niets weten van logica en van formalisering. Wat wij studenten graag wilden weten was: is Heijting een intuïtionist en zijn er nog andere intuïtionisten? Maar in die tijd praatte je alleen tegen een professor als je tentamen bij hem deed. En op een tentamen, ook al was het in de Lineaire Algebra, durfde je niet goed over het intuïtionisme te beginnen, want voor ons had dat de status van een geloof. Maar gelukkig was er Dick van Dalen, die assistent bij Heijting was en die ons in de koffiekamer graag vertelde over L.E.J. Brouwer en over het intuïtionisme dat nog wel wat anders bleek te zijn dan de verwerping van het Principe van het Uitgesloten Derde. Toen ik zelf assistent werd bij de topoloog De Groot mocht ik in een rieten stoel gaan zitten die nog van Brouwer was geweest. Verder dan dat heb ik het in de wiskunde niet gebracht.

Een halve eeuw later lees ik in het voorwoord van zijn biografie over Brouwer dat Van Dalen een zigeuner niet geloofd zou hebben, als die hem toen had voorspeld dat hij die biografie zou schrijven. Maar wij zeiden toen al: `Schrijf het op!' Want in de wiskundestudie hoorde je veel over wiskunde, maar bijna niets over wiskundigen. Hun namen waren slechts adjectieven bij een stelling, een getal, een figuur. Wanneer ze leefden en wat voor mannen het waren, daar hoorde je niets over. Zelf heb ik Brouwer maar één keer, bij een promotie, gezien. Het was een lange, magere man met een querulant toontje.

Wonderkind

Vóór 1700 waren er twee Nederlandse wiskundige genieën, die de wereld nu nog kent: Simon Stevin en Christiaan Huygens. In de drie eeuwen daarna is er maar één: L.E.J. Brouwer (1881-1966). Die drie voorletters zijn zijn voornaam, en ik schrok elke keer als hij in de biografie Bertus Brouwer heette.

Bertus Brouwer was natuurlijk een wonderkind. Hij ging op zijn zestiende in Amsterdam studeren en trof gelukkig de wiskundige Korteweg die in het genie uit Overschie al snel zijn meerdere erkende, hem hielp zijn wilde proefschrift academisch te maken, hem aan een baantje hielp, ja, ten slotte zijn eigen baan aan hem gaf. De jonge Brouwer vond wiskunde maar niks. Hij had een eigen levensbeschouwing waarin de vernietiging van de aarde door de mensen, door de wetenschap, en dus door de wiskunde, de erfzonde verving. Wat betreft de mensen (ik verafschuw ze, schreef hij in zijn remonstrantse geloofsbelijdenis, maar als God er op staat, zal ik ze liefhebben), vrouwen (dom, maar goed getemd dienen ze de man), leefstijl (zomer en winter zwemmen, geen vlees eten) had hij bizarre opvattingen. In zijn Collected Works uit 1976 zijn de ergste stukken over vrouwen weggelaten. Maar zulke opvattingen waren in het begin van deze eeuw heel gewoon bij kunstenaars en intellectuelen. Frederik van Eeden, Mondriaan, Van Ginneken, allemaal geloofden ze in spiritisme, theosofie, de suprematie van de man en van de blanke. Brouwers ideeën over de vrouw werden gedeeld door velen, al schreef hij het wel heel rabiaat op. Zijn vrouwenmisprijzen ging niet zo ver als bij Wittgenstein en Turing, want hij trouwde direct na zijn doctoraal examen met een vrouw die elf jaar ouder en 33 centimeter kleiner was, en nam er later nog een klasgenootje van zijn stiefdochter bij. Zijn vrouw moest een apotheek runnen en de biograaf vertelt fijntjes hoe zij daarvoor het doctoraal in de farmacie haalde, zonder dat dit veel opzien baarde. Zij moet een heel verstandige vrouw zijn geweest om naast de rancuneuze, humorloze, eigenwijze wiskundige te kunnen blijven leven. Een andere biograaf zou een heel nummer zijn gaan maken van de komst van de mooie 23 jaar jongere Cor bij het echtpaar, maar Van Dalen laat ons onze eigen gedachten maken.

Metselprincipe

Van Dalens boek gaat vooral over de betekenis van Brouwer in de wiskunde. Die is groot, en wel om twee redenen. Ten eerste bracht Brouwer de topologie op gang, de meetkunde waarin de figuren op rekbaar rubber getekend lijken en alleen eigenschappen als verbondenheid en tussenheid tellen en niet de groottes van lijnstukken en hoeken. Brouwer vond de topologie niet uit, maar bewees wel in korte tijd een serie belangrijke stellingen. Cantor had de wiskundigen in 1878 laten schrikken door te laten zien dat je de zijde van een vierkant op dat vierkant kon afbeelden, alsof er geen dimensies meer bestonden. Brouwer bewees in 1910 dat er wel degelijk een fundamenteel begrip dimensie bestaat. De toen al beroemde Franse wiskundige Lebesque (wij kenden hem alleen van een stomme integraal) zei: `O, maar dat wist ik allang, dat bewijs ik met mijn Metselprincipe: er zijn op de zijde van een gemetseld muurtje punten die op de hoeken van drie stenen liggen.' Hij wist nog niet dat Brouwer behalve in wiskunde ook heel goed was in ruziemaken. Brouwer antwoordde dat het Metselprincipe dan eerst zelf nog bewezen moest worden, en daagde Lebesque uit dat bewijs te leveren. Zelf had Brouwer het bewijs in 1912 gevonden, maar Lebesque deed er tot 1924 over.

De grote topologische stellingen van Brouwer zijn aan niet-wiskundigen niet uit te leggen. Als u, rustig zonder spatten, in een kopje koffie roert, dan zal er na het roeren altijd een koffiepunt op zijn oude plek beland zijn. Als je een harige tennisbal kamt, zal er altijd ergens een kruin verschijnen. Je kunt een land in drie provincies verdelen, waarbij elk grenspunt een drieprovinciepunt is. Vreemde feiten, maar hoe bewijs je ze?

Korteweg had de grootste moeite om Brouwers proefschrift, dat zijn paspoort in de wiskundewereld moest worden, te ontdoen van al te gekke uitspraken en te vullen met degelijke formules en bewijzen. Volgens Brouwer waren formules hoogstens een noodzakelijk kwaad. Het ging er in de wiskunde niet om strikt logisch bewijzen af te leiden, maar om waarheden te zien. Nooit heeft hij zich met een gewoon rekenprobleem opgehouden. Heeft Hilbert in 1900 een lijst gemaakt van de belangrijkste problemen voor de twintigste eeuw? Brouwer vertelt zijn promotor dat hij er drie van zó kan oplossen! Van bescheidenheid had hij nooit last.

Veel energie bij Brouwers beoefening van deze `normale' wiskunde ging zitten in de ruzies met andere wiskundigen. Behalve Lebesque moeten Jahnke, Koebe, Schoenfliess, Schouten, Denjoy, Hilbert, Fraenkel en Heijting zijn scherpe verwijten in ontvangst nemen. En dan waren de laatste twee nog zijn medestanders.

Pi

Hoe prachtig de wiskundige vondsten ook waren, ze hadden, wat later, ook door een ander gedaan kunnen worden. Maar zonder L.E.J. Brouwer was er nooit een Intuïtionistische Wiskunde geweest. Poincaré had wel gewezen op de grote betekenis die de intuïtie speelt in de wiskunde, maar Brouwer gaf aan de wiskunde een heel nieuwe grondslag en hij had gelijk toen hij Fraenkel verweet dat die Poincaré als voorloper van het intuïtionisme had genoemd.

Onlangs is er een Nederlandse vertaling van een paar essays van Poincaré bij uitgeverij Epsilon verschenen. Jammer dat die niet door een wiskundige is nagekeken. In de wiskunde worden, anders dan in de opschepkunde, vaak gewone woorden als vaktermen gebruikt. Het Franse singularités betekent inderdaad `bijzonderheden', en Poincaré speelt met die gewone betekenis, maar op pagina 123 moet het toch echt `singulariteiten' zijn. In Frankrijk zijn de essays onlangs ook, en ook in een geel omslag, uitgegeven (bij Flammarion) en daar heeft Jules Vuillemin er een mooie inleiding bij geschreven, waarin het debat over het invoeren van de getallen tussen Poincaré en Russell wordt opgehaald. Russell wilde de wiskunde op de logica baseren, iets wat Poincaré en Brouwer, en Wittgenstein, met afschuw van zich wierpen. Gelukkig stierf Poincaré in 1925 zodat hij geen ruzie met Brouwer kreeg.

In de logica heerst het Principe van het Uitgesloten Derde: iets is zo of het is niet zo, een derde mogelijkheid is er niet. In het dagelijks leven weten we allemaal dat de uitspraak `het regent of het regent niet' maar betrekkelijk is. Dat komt omdat de betekenis van `het regent' niet precies vast ligt. Hoe veel druppels moeten er per minuut op mijn hoofd vallen voor ik zeggen mag: `het regent'? Hoe groot moeten die druppels zijn en mijn hoofd? Maar in de wiskunde gaat het om nauw omschreven, want zelfverzonnen, zaken, en daar gold altijd: `Een getal is gelijk aan 7 of het is niet gelijk aan 7'. Brouwer liet zien dat het zo simpel niet ligt. Schrijf het getal pi op, althans begin dat getal op te schrijven dat de lengte van een cirkelomtrek gedeeld door de lengte van de middellijn aangeeft. Schrijf nu onder elke decimaal een 7, maar als er een rijtje komt van honderd negens schrijf dan verder alleen negens op. De rij getallen onder pi convergeert naar 7 of naar 9. De definitie van het getal is bikkelhard maar zijn waarde niet zolang we niet weten of er een rij van honderd negens in pi voorkomt. Heijting had het over drie zevens, maar de bekende decimalen van pi zijn inmiddels vermiljoenvoudigd.

Veel wiskundigen vonden dit een spijker op laag water. Wittgenstein vond het te ver gaan. Wel getuigt Feigl dat Wittgenstein in 1930, na een lezing van Brouwer in Wenen gehoord te hebben, weer zin in filosofie kreeg en naar Cambridge terugging. Landauer stelde voor een Pathologische Wiskunde te stichten, onder te brengen bij de Medicijnen. Anderen waren bang dat zonder het logische Principe van het Uitgesloten Derde hun mooie wiskunde ineen zou storten. Brouwer, zoon Heijting, kleinzoon Van Dalen, en anderen, hebben laten zien dat dit niet hoeft.

Het hoofdstuk over de intuïtionistische resultaten van Brouwer is nog mooier dan dat over de topologie, vooral omdat het minder moeilijk te volgen is, als je maar eenmaal het Principe van het Uitgesloten Derde verwerpt. Zo kon Brouwer bewijzen dat het continuüm, de rij van alle getallen – hele getallen, breuken, wortels en getallen als pi – niet in stukken kan worden gespleten. Je kunt het wel proberen door het bijvoorbeeld te splijten in de getallen kleiner dan 8 en alle andere getallen, maar wij hebben net een getal leren kennen waarvan niet duidelijk is of het 7 of 9 is. Wat ik niet wist was dat Brouwer pas in 1920 de term intuïtionisme ging gebruiken. Tot die tijd dacht hij dat de hele wiskunde zijn wil zou volgen en een voorvoegsel dus onnodig was.

Signifisch Genootschap

Intellectueel geeft de biografie veel genot. Wat de hoofdpersoon betreft word je minder blij. Natuurlijk maakt een genie veel ruzie, maar was het niet overdreven dat Brouwer na de Eerste Wereldoorlog een Franse geleerde die in Nederland werkte, wilde dwingen om weer, alsof er niets gebeurd was, met Duitsers samen te werken? Waren zijn verwijten aan Fraenkel niet buitensporig? Je ziet de Tweede Wereldoorlog met zorg tegemoet.

Dat Brouwer niet de hele wiskundige wereld heeft omgeturnd kun je aan de luiheid van de wiskundigen wijten. Maar een andere onderneming die hem in het gezelschap van Frederik van Eeden en Jacob Israël de Haan bracht, en van de terecht vergeten schrijver Borel en de even terecht vergeten taalkundige Van Ginniken, mislukte door eigen denkgebrek. Met hun Signifisch Genootschap wilden ze, natuurlijk uit de Olympische hoogte, de taal veranderen zodat er geen misverstanden meer zouden zijn. Een misverstand. De man die de Logica verwierp als basis voor de wiskunde, had moeten bedenken dat de Logica ook niet kan dienen als basis voor de taal. De Haan had het van zijn zus Carry van Bruggen kunnen leren.

De biografie schrijven van een onsympathiek mens is niet eenvoudig. Van Dalen is, wat dit eerste deel betreft, geslaagd. Het eind van deel I komt wel erg onverwacht en berust niet op een duidelijke cesuur. De lezer heeft zelfs niet gehoord wanneer de hoofdpersoon zal sterven. Soms krijgen we wel erg veel te horen wat wij niet weten willen, zoals over benoemingskwesties. Soms is de taal erg vertaald Nederlands. Ik had trouwens graag de citaten van Brouwer in het Nederlands willen lezen. In het register ontbreken de namen van Euwe, Gödel en Wittgenstein, die toch in de tekst voorkomen. Er eindigen wel heel veel alinea's op een uitroepteken! Maar ik heb het met rooie oortjes zitten lezen!

Mij viel op hoeveel Bertus Brouwer lijkt op Douwes Dekker. Beiden zijn ze niet rijk geboren, maar gedragen ze zich wel als rijke heren. Beiden hebben ze overal verstand van. Beiden hebben ze een vrouw die het goed moet vinden als hij er een vrouw bij neemt. Beiden hebben ze een dochter die erg rooms wordt. Beiden maken ze ruzie met iedereen, zelfs met brave volgelingen. Beiden zijn ze eigenwijs. Beiden lijden ze aan een opgeschroefd rechtvaardigheidsgevoel. Natuurlijk: de een is geniaal schrijver en de ander is geniaal wiskundige. Maar de schrijver schreef zonder ophouden dat hij geen schrijver wilde zijn, dat het niet gaat om mooischrijverij, maar om de waarheid. En de wiskundige beweerde onophoudelijk dat het niet gaat om axioma's, logica, rekenarij, maar om de waarheid.

Dirk van Dalen: Mystic, Geometer, and Intuitionist. The life of L.E.J. Brouwer. Volume I: The Dawning Revolution, Clarendon Press, 440 blz. ƒ178,80

Henri Poincaré: Een nacht van opwinding. Een keuze uit de filosofische essays. Vertaald door Dieuwke Eringa met een inleiding door Ferdinand Verhulst. Epsilon Uitgaven, 152 blz. ƒ27,50