Koelkromme

AL MEER DAN een maand ritselt een boze brief in de AW-brieventrommel. 't Is er een van dr. O.S.A. uit de dr. M. ten O.-laan. Hij is het oneens met de commissie van de laatste wetenschapsquiz die meent dat men er verstandig aan doet subiet koffiemelk in een zojuist ingeschonken kopje koffie te laten lopen als er aan de deur wordt gebeld. Dan zou de kans dat de koffie nog lekker warm is na het gesprek aan de deur groter zijn dan in het geval men de Friese Vlag pas achteraf toevoegt. Volgens A. is het onzin.

Routiniers weten dat dit een klassiek, maar vooral ook theoretisch probleem is. In dat opzicht verschilt het van het typisch Britse debat over `milk in first' (of juist niet) waar het thee betreft. Daar gaat het om een heel praktische vraag die elke dag terugkeert: hoe behoed ik het porselein van mijn kostbare theeservies voor te hoge temperatuurschokken. En hoe komt de smaak van de rundermelk het beste tot ontwikkeling. Het is een bitter dispuut dat de natie heeft verdeeld in verklaarde voorstanders van het `milk in first' (de miffers) en uitgesproken tegenstanders: de non-miffers.

Het koffieprobleem is theoretisch, want: hoe vaak wordt er nu nog aan de deur gebeld? Toch is het wel een aardig raadsel omdat de intuïtie tekort schiet al kan het stellen van de limiet wel een beetje inzicht verschaffen. Duurt het gesprek aan de deur oneindig kort dan maakt het natuurlijk niets uit wanneer de vette melk erbij gaat. Duurt het een dag dan zal het achteraf toevoegen van de koffiemelk de temperatuur van de koffie doen stijgen (tenzij de koffiemelk al die tijd in de ijskast stond) want verdampbare vloeistoffen die wijd open staan aan de lucht koelen meetbaar af tot beneden de omgevingstemperatuur. We leren eruit dat het quizprobleem op minstens twee punten slecht was gedefinieerd: hoe lang duurde het gesprek aan de deur en waar stond al die tijd de koffiemelk?

Terug naar A. in de M.ten O.-laan. A. bedreef een modern staaltje paperless physics en rekende aan de hand van een denkbeeldig kopje koffie uit wat het MIF of non-MIF voor consequentie zou hebben. Hij gebruikte 100 ml virtuele koffie van 80 graden en voegde daar voor of na het deurgesprek 10 ml koffiemelk van 0 graden aan toe. Hij ging er van uit dat de afkoelsnelheid op elk moment evenredig was met het temperatuurverschil tusen de koffie en de omgeving (conform de afkoelingswet van Newton), stelde dat de soortelijke warmte van koffie en melk gelijk is en nam ten slotte aan dat 100 ml koffie of 110 ml koffie-met-melk volgens dezelfde krommen afkoelen.

Met deze punten als leidraad toont A. moeiteloos aan: het maakt geen reet uit. Het rekenprogramma van zijn Macintosh komt steeds op precies dezelfde temperatuur uit, hoe lang men het deurgesprek ook laat duren en wat ook de typische afkoelingscurve van de 100 of 110 ml vloeistof is. De quizcommissie heeft dus het verkeerde antwoord goed gerekend, schrijft hij, en dat is des te pijnlijker nu zij geen discussie toestaat.

Het beoefenen van paperless physics is niet geheel zonder risico. Om het contact met de werkelijkheid te herstellen zijn van AW-wege ook een aantal afkoelingscurven bepaald in de tastbare wereld en met hulp van de gebloemde kop-en-schotels van het visiteservies. Steeds met 125 ml water van ruim 85 graden bij de start in een omgeving van 22 graden. Elke minuut een meting en na 25 minuten om de vijf minuten. Direct na de start daalde de temperatuur met zo'n vier graden per minuut, na 50 minuten was dat nog maar 0,3 graden per minuut. Dat heet (als het patroon heel regelmatig is) een exponentieel verloop.

De metingen waren schitterend reproduceerbaar en met hulp van de verkregen gladde curves was de theorie van A. afdoende te bevestigen. Er is niet echt de proef op de som genomen omdat verwacht werd dat het geknoei met 10 ml vette melk sowieso geen significante resultaten zou opleveren. In plaats daarvan is nagegaan in hoeverre de vullingsgraad van de gebloemde kopjes van invloed was op de uitslag van de metingen. Koelt een tot de rand met heet water (82 graden) gevuld kopje even snel af als een kopje dat maar voor driekwart vol staat met even heet water?

Het antwoord is: nee, het volle kopje blijft véél langer warm. Waar het eerste kopje na tien minuten nog op 65 graden stond, was de tweede al tot 55 graden gezakt - de grens van wat nog net aangenaam warm is. Dit is de crux van het quizprobleem: gaat de koffiemelk er direct bij dan koelt de vloeistof ook nog eens trager af omdat er gewoon meer vloeistof is. A.'s aanname dat 100 of 110 ml op dezelfde wijze afkoelt was dus onjuist. Of het verschil bij een scheut van 10 ml al meetbaar is is de vraag, maar praktisch heeft de quizcommissie gelijk.

Nu de kwestie van zulke details blijkt af te hangen ligt het voor de hand te bekijken of er nog meer pietluttigheden zijn die een rol kunnen spelen. Om te beginnen is er de vraag of de afkoeling van koffie eigenlijk wel echt wiskundig exponentieel verloopt. Het snelst is men daar achter als de logaritme van het verschil tussen de op elk moment bepaalde koffietemperatuur en de omgevingstemperatuur (22 graden) op grafiekpapier tegen de tijd wordt uitgezet. Dat moet een rechte lijn opleveren.

Maar dat doet het niet. De werkelijk optredende afkoeling verloopt in het begin te hard, of aan het eind te langzaam om echt exponentieel te mogen heten. Alsof er tijdens het afkoelen een koelingsmechanisme langzaam wegvalt. Omdat gesloten plastic flessen met heet water, zoals eerder is aangetoond, wel mooi exponentieel afkoelen is het aannemelijk dat het de optredende verdamping is die de zaak compliceert. Wat zou er eigenlijk gebeuren als op de hete koffie een dunne film olie kwam te drijven? Wel, dat was snel uitgezocht, in een wip lag er twee theelepel zonnebloemolie op het hete water. Het resultaat was verbluffend: niet alleen onderdrukte de olie elke wasemvorming maar ook bleek het een uitstekende isolator. Na tien minuten was er al een verschil van 7 graden tussen `koffie' mèt en koffie zònder olie. Het is dus aannemelijk dat echt goed vette koffiemelk nog een extra voordeel heeft.