DE REGEL VAN DRIEËN

JAN IS vijftien jaar en woont in een van de handelssteden in de Noordelijke Nederlanden. Het is 1591. Hij groeit op in een koopmansfamilie die in steeds betere doen geraakt. Daarom hebben de ouders van Jan hem naar de Franse school gestuurd. Daar leert hij in elk geval de Franse taal en rekenen. Beide vakken zijn onontbeerlijk voor een knaap met handelsgeest die in de voetsporen van zijn vader zal treden. Zijn ouders moeten dubbel schoolgeld betalen, zowel aan het stadsbestuur als aan de school, maar dat kunnen ze zich permitteren. Jan heeft op de `kleine school' al leren lezen en beetje leren schrijven. Daar maakte hij waarschijnlijk nog geen kennis met het nieuwe cijferschrift, dat totaal anders is dan de Romeinse cijfers waarmee zijn vader vertrouwd is. Het is de verdienste van de Franse school dat Jan leert rekenen in dit nieuwe cijferschrift. Om zich heen ziet hij nog regelmatig handelslui met penningen op een bord rekenen en de uitkomst in Romeinse cijfers noteren.

Waarschijnlijk heeft hij op school geen eigen rekenboek, maar lost hij alle praktische rekenvraagstukken die hij in verhaalvorm door de meester krijgt voorgelegd uit op een lei. Papier was schaars, dus duur. Gaandeweg beschikt Jan over een flinke hoeveelheid feitenkennis: de tafels tot en met twaalf kent hij in elk geval uit het hoofd, maar ook de waarden van munteenheden en allerlei tabellen van gewichten en maten. Jan leert op school vooral rekenrecepten. Rekenvaardigheid moet hij later in de praktijk opdoen. Tenzij hij een moderne meester heeft getroffen die weet heeft van de `Italiaanse praktijk', en meer oog heeft voor praktische rekenfoefjes.

In de vijftiende en zestiende eeuw werd de basis gelegd voor ons huidige rekenonderwijs. De opkomende stand van koopmans- en ambachtslieden wenste voor hun zonen goed rekenonderwijs in het Hindoe-Arabische cijferschrift, dat langzamerhand het penningrekenen en de notering in Romeinse cijfers verdrong. Reken-wiskundedocente Marjolein Kool heeft na grondig speurwerk 36 Nederlandstalige rekenboekjes gevonden uit de late Middeleeuwen. Twaalf handschriften en 24 gedrukte boeken. Het oudste boekje dateert uit 1445 en het jongste uit 1600.

Op 9 februari promoveert Kool op het proefschrift `Die conste vanden getale', waarin ze aan de hand van deze rekenboekjes een beeld schetst van het rekenonderwijs in die tijd. Bovendien maakte Kool studie van de rekentermen die ze aantrof in de boekjes en stelde daarvan een glossarium samen, een lijst van 1936 rekentermen met betekenisomschrijvingen, citaten en bronvermeldingingen. Een zeer bijzondere aanvulling op de Middelnederlandse woordenschat. Kool doceert de didactiek van rekenen en wiskunde aan Pabo-studenten van Hogeschool Domstad in Utrecht. Daarnaast is ze neerlandica met als bijvak de geschiedenis van de wiskunde. En los van dit alles is ze ook nog light-verse dichteres met twee bundels op haar naam. Na haar promotie krijgt ze eindelijk tijd om zich met drs. P. te wijden aan een bundel wis- en natuurlyriek. Haar doctoraalscriptie schreef ze indertijd over een handgeschreven rekenboekje uit 1532 dat ze in Gent aantrof. Haar belangstelling was gewekt en ze ging op zoek naar nog meer exemplaren.

``Vanaf de twaalfde eeuw verbreidde het Hindoe-Arabische cijferschrift, dat wat wij nu gebruiken, zich via Spanje en Italië langzaam naar de noordelijke delen van Europa'', vertelt Kool. Tot dan toe werd er met penningen op een bord gerekend en de uitkomst werd als dat nodig was in Romeinse cijfers opgetekend. ``Voordeel van het penningrekenen was dat het aanschouwelijk was, maar een nadeel was dat je het niet kon teruglezen om de uitkomst te controleren. Met Romeinse cijfers kon niet gerekend worden, daarmee werd alleen een uitkomst genoteerd. Met het nieuwe cijferschrift kon men zowel rekenen als noteren.''

De rekenboekjes uit die tijd leerden de leerlingen het nieuwe cijferschrift lezen en schrijven. Belangrijke nieuwigheid was het gebruik van de nul, die bij het penningrekenen geen rol speelde want bij nul was het bord leeg. Het Romeinse cijferschrift kende de nul evenmin. ``Het was een grote stap in het denken toentertijd om iets dat eigenlijk niets was toch uit te beelden'', zegt Kool en met verschillende citaten laat ze zien dat de nul ook de schrijvers van de rekenboekjes bezighield. Vervolgens voerden de leerlingen eenvoudige bewerkingen uit als optellen en aftrekken, die in wezen niet verschillen van wat kinderen nu leren op de basisschool. Later leerden ze delen en vermenigvuldigen, breuken en soms ook worteltrekken. ``Symbolen voor plus, min, keer of delen waren er toen nog niet'', aldus Kool. `'Ze kregen de sommen in hele lappen tekst voorgeschoteld. Of alle kinderen zo goed konden lezen is de vraag, ik denk dat veel door de schoolmeester werd voorgelezen.''

Toch ziet Kool in de loop van de periode die ze bestudeerd heeft dat sommige termen een symboolfunctie krijgen en dat geprobeerd wordt de lappen tekst te verkorten. ``Ze zitten tegen 1600 toch heel dicht tegen de symbolen aan, je ziet die boekjes er naar toe groeien.'' Kijkend naar didactiek van de rekenboekjes moet Kool vaststellen dat men in de late Middeleeuwen al heel bewust aandacht schonk aan de opbouw van de leerstof: ``Het gaat van makkelijk naar moeilijk en eerst leren kinderen de bewerkingen en vervolgens krijgen ze vraagstukken.''

De hoofdmoot van de rekenboekjes bestaat uit vraagstukken over de regel van drieën, die breedvoerig en in vele varianten werd geoefend. Deze regel wordt gebruikt om bij drie gegeven getallen het vierde evenredige getal te berekenen, in handel en ambacht een veelvoorkomende situatie. Een uitzonderlijk kort en eenvoudig voorbeeld uit het proefschrift: `Oft 9 naijsters maecten op eenen dach 15 paer hemden, hoe veel soudender 6 naijsters maken?' Kool geeft een hele serie voorbeelden van deze regel van drieën die onder verschillende benamingen geoefend werd door de leerlingen van de Franse school: de regel van buitenlandse berekeningen, de regel van interest, de regel van gezelschap, de regel van mengsels, de ruilregel, de regel van taxatie, de regel van winst en verlies.

``Ze heten allemaal anders, maar ze beschrijven aldoor dezelfde rekenkundige handeling'', concludeert Kool. ``De ene keer gaat het om haring de volgende keer om rogge, maar alle vraagstukken lijken op elkaar. Leerlingen moesten alle verschillende rekenrecepten kennen als passend voorbeeld voor situaties die ze in hun latere beroepspraktijk konden tegenkomen.'' Vrijwel alle sommen werden aan de werkelijkheid ontleend. Maar er werd niet gezocht naar gemeenschappelijke wiskundige kenmerken van de vraagstukken. Waarom een rekenrecept werkte leek niet belangrijk. De leerlingen hoefden zelf nauwelijks inzicht te hebben.

Kool: ``Vergelijk de rekenboekjes uit die tijd met een kookboek waarin precies staat wat je moet doen.'' Dat was de bedoeling van het rekenonderwijs in de vijftiende en zestiende eeuw, het leren herkennen en oplossen van praktische vraagstukken in de handel. ``Jan moest eerst nog flink oefenen in de praktijk voordat hij er echt handig in zou worden'', zegt Kool. De onderzochte rekenboekjes hebben volgens de promovenda geen directe invloed gehad op de ontwikkeling van de wiskunde. ``Maar'', zegt ze, ``doordat steeds meer leerlingen de basisvaardigheden van het rekenen onder de knie kregen, werd de groep die een bijdrage kon leveren aan de wiskunde wel groter.''