Een wiskundige nomade; Paul Erdos (1913-1996)

Wat hebben de Nederlandse wiskundigen N.G. de Bruijn, R. Tijdeman en J.H. van Lint met elkaar gemeen? Dat ze op hun vakgebied internationaal hun sporen hebben verdiend, zeker, en ook zijn ze alle drie lid van de Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Maar wat ze echt met elkaar verbindt is hun Erdosgetal, te weten 1. Daarmee behoren ze tot het selecte gezelschap van 485 wiskundigen die ten minste een artikel hebben gepubliceerd met de Hongaarse getaltheoreticus Paul Erdos.

Het Erdosgetal is onder wiskundigen een begrip. Wie heeft gepubliceerd met iemand die ooit met Erdos heeft gepubliceerd (maar dat zelf niet voor elkaar kreeg), heeft als Erdosgetal 2; wie publiceerde met iemand die publiceerde met iemand die publiceerde met Erdos staat op 3 enzovoort. Het hoogst achterhaalde Erdosgetal is tot nu toe 7, en de (on)gelukkige geniet de bekendheid van de rode lantaarndrager in de Tour de France.

Paul Erdos was een wiskundig fenomeen. Een academische positie had hij niet, vrouw en kinderen of een vaste woonplaats evenmin. Liever reisde hij de wereld af, rondkomend van hetgeen lezingen en gastdocentschappen aan universiteiten hem opleverden. Op de gekste momenten stond hij met een versleten koffer en een plastic tas bij collega's op de stoep. `My brain is open', zei hij dan, waarmee hij bedoelde dat hij graag een paar dagen bleef logeren om samen te werken. Dat viel niet mee. Erdos, klein van stuk en broodmager, werkte bij voorkeur 19 uur per dag, zichzelf op de been houdend met peppillen en sloten espresso. Wanneer hij er genoeg van kreeg, of wanneer de gastheer afgepeigerd afhaakte, vertrok hij weer, op weg naar een nieuw adres. Zijn motto: `another roof, another proof'.

Teennagels

Een gemakkelijke gast was Erdos niet. Hij mocht cadeautjes voor de kinderen meenemen, helpen in de huishouding was er niet bij. Hij kon nog geen ei koken, ging ervan uit dat zijn vuile sokken op tijd gewassen zouden worden en zelfs bestond hij het de vrouw des huizes te vragen zijn teennagels te knippen. Wanneer hij voor dag en dauw meende dat er verder gewerkt moest worden, liet hij dat met veel kabaal blijken. Ook had hij de gewoonte wiskundigen op eigen houtje uit te nodigen op zijn logeeradres, of hij belde collega's zonder zich af te vragen hoe laat het aan de andere kant van de lijn was.

Een typische conversatie verliep als volgt: `Hallo, Erdos hier, laat k een geheel getal zijn...' Niettemin was hij een welkome gast: wiskunde doen met Paul Erdos was een feest.

Aan dit obsessieve nomadenbestaan zonder pensioengerechtigde leeftijd kwam in 1996 een eind toen Erdos op 83-jarige leeftijd in Warschau, waar hij een wiskundeconferentie bezocht, aan een hartaanval bezweek. Zijn nalatenschap: 1475 publicaties en een indrukwekkende lijst aan openstaande problemen waarvoor Erdos, afhankelijk van de moeilijkheidsgraad, geldbedragen van $10 tot $3000 had uitgeloofd aan wie ze zou kraken. Ronald Graham, vooraanstaand informaticus op de befaamde Bell Labs en na de dood van Erdos' moeder Pauls toeverlaat, heeft er een aantal geadopteerd en staat garant voor eventuele uitbetaling.

Erdos' kracht school in zijn ongeevenaarde vermogen de juiste problemen op te werpen en te tackelen: niet zo triviaal dat een kind de was kon doen en ook niet zo hondsmoeilijk dat er zelfs voor het knapste brein geen beginnen aan was. Het liefst speelde hij met gehele getallen: daar kon een scherpe geest, zonder zich een vracht technische ballast te hoeven eigen maken, al snel veel uitrichten. Getaltheorie is onuitputtelijk. Op priemgetallen (die slechts deelbaar zijn door een en door zichzelf bijvoorbeeld 23 of 1.000.000.000.061) zijn oneindig veel theorema's te baseren. Eenvoud is hier verraderlijk. Zo vermoedde Christian Goldbach in 1742 dat ieder even getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen: 8 = 5+3; 12 = 7+5, enzovoort. Kan een probleem simpeler? Computers hebben inmiddels gecontroleerd dat het tot 100 miljoen klopt maar dat zegt de wiskundige helemaal niets. Nog altijd wacht die op een bewijs.

Paul Erdos was een wonderkind. Al op zijn vierde vermenigvuldigde hij uit het hoofd getallen van drie cijfers met elkaar. Zijn ouders waren beiden leraar wiskunde. Kort voor Pauls geboorte stierven zijn twee zusjes aan roodvonk. Het gevolg was een zeer beschermende moeder, zeker nadat vader in de Eerste Wereldoorlog door de Russen krijgsgevangen was genomen en zes jaar in Siberie moest doorbrengen. Op zeventienjarige leeftijd baarde Erdos opzien door het omslachtige bewijs van Chebyshev van de stelling dat tussen een willeurig getal en het dubbele van dat getal altijd een priemgetal zit aanzienlijk te versimpelen. Hier openbaarde zich het elegante, elementaire redeneren dat zijn handelsmerk zou worden.

Nomadenbestaan

In 1930 begon Erdos zijn studie wiskunde aan de universiteit van Boedapest de beperkte toelating van joden omzeilde hij door als scholier een nationale competitie te winnen. Na zijn promotie in 1934 verliet hij uit vrees voor het fascisme Hongarije en startte zijn gejaagde en monomane nomadenbestaan, eerst in Engeland, vanaf 1938 (na de crisis in Tsjechoslowakije) in de Verenigde Staten. Zijn onorthodoxe, wereldvreemde gedrag gaf in de repressieve McCarthy-tijd problemen. Op de vraag `wat vind je van Marx?' antwoordde Erdos de autoriteiten: `Wie ben ik om te oordelen maar ongetwijfeld was hij een groot man'. Prompt mocht de Hongaar na een bezoek aan het internationale wiskundig congres in 1954 in Amsterdam de Verenigde Staten niet meer binnen. Hij week uit naar Israel. Pas in 1963, nadat honderden Amerikaanse wiskundigen een pro-Erdos petitie naar het State Department hadden gestuurd, kreeg hij weer een visum.

Er was weinig normaal aan Erdos.

Van fysieke intimiteiten moest hij niets hebben, in plaats van iemand de hand te schudden legde hij ter begroeting slapjes de zijne op die van de ander. Iemand vertrouwelijk bij zijn voornaam noemen kwam niet bij hem op. Van seksuele driften heeft niemand iets gemerkt, de vrouw die, in de hoop op meer, zich als zijn chauffeur opwierp, hield het na enkele maanden voor gezien. Literatuur beeldende kunst, film: het deed hem niets. Wiskunde, wiskunde en wiskunde daar ging het om. Of hij de eerste was met een bewijs, deed er zoveel niet toe, als iemand er maar mee kwam. En het mooiste waren de bewijzen die door hun elementaire schoonheid en radicale eenvoud zo uit het Boek van de Supreme Fascist (Erdostaal voor God) leken te zijn geplukt.

Dat ook een groot wiskundige er soms faliekant naast zit, bewees Erdos bij het beruchte driedeurenprobleem. Dat gaat als volgt. Als deelnemer aan een spelshow mag je kiezen tussen drie deuren. Achter een zit de prijs. Stel je kiest nummer 1. De spelleider (die helemaal op de hoogte is) opent een andere deur: geen schat. De vraag: is het zinvol om nu alsnog van keuze te veranderen? Het tegen-intuitieve antwoord luidt: ja. Het is hier niet de plaats de argumentatie nog eens grondig uiteen te zetten dat is eerder gebeurd. Waar het om gaat is dat Erdos er niet aan wilde. Pas na emotionele discussies met een collega ging hij om, maar de redenering bleef hem tegen staan.

Erdosgetal2

Aan het eind van zijn leven kreeg Erdos hartproblemen, maar kalmer aan doen kwam niet bij hem op. Toen hij ter controle in een ziekenhuis in Boedapest werd opgenomen, ging hij gewoon door met zijn wiskunde. De kamer in het ziekenhuis lag spoedig bezaaid met wiskundetijdschriften en collega's liepen af en aan om hun getaltheorieproblemen met de zieke door te nemen.

Verdwijn, voegde Erdos zijn verbouwereerde artsen toe, zien jullie dan niet dat ik druk bezig ben? Eenmaal uit het ziekenhuis ontslagen, haastte Erdos zich zijn jachtige bestaan weer op te pakken. Tot zijn hart het op 20 september 1996 in Warschau alsnog begaf. Sindsdien is Erdosgetal 2 voor een wiskundige het hoogst haalbare.

Paul Hoffmans The man who loved only numbers is een onevenwichtige biografie geworden. In 1987 schreef Hoffman nu werkzaam bij de Encyclopaedia Brittannica, al een Erdos-profiel voor The Atlantic Monthly, voor welk project hij enkele weken met de Hongaar optrok. Aan dat materiaal, voornamelijk impressies van collega's, heeft hij weinig toe weten te voegen. Om zijn artikel tot een boek op te blazen heeft Hoffman veel ruimte ingelast voor andere wiskundige beroemdheden als G.H. Hardy, Ramanujan en Andrew Wiles zonder ook maar een poging te wagen hun precieze relatie tot Erdos uit de doeken te doen. Het gevolg is een boek zonder structuur. De Hongaar zelf blijft intussen in nevelen gehuld: hij was er de man niet naar Hoffman, of wie dan ook, over zijn prive-leven of drijfveren in te lichten. Nu stelt Hoffman zich tevreden met anekdotes en gossip, niet het materiaal dat een biografie kan schragen. Waarom niet meer schriftelijk materiaal opgedoken, bijvoorbeeld in Hongarije? Schreef Erdos brieven aan zijn moeder? Wellicht ligt daar de sleutel tot zijn leven.

Nu is het schrijven over wiskunde een krachttoer. Het is allemaal zo hopeloos abstract, zo ijl esotherisch. Zelfs analogieen en metaforen schieten dan nauwelijks te hulp. En aan een wiskundige valt zo weinig te zien. Het is aardig dat Ronald Graham midden in een salto op de trampoline een ingeving krijgt, dat Hendrik Lenstra (die pas een Spinozapremie kreeg) wiskunde bij voorkeur in het zwembad bedrijft.

Maar wat er in hun hoofd omgaat, blijft duister.

Bij Erdos is het niet anders. Over het wiskundige denkproces van de gedreven Hongaar komen we weinig te weten. Dat valt Hoffman niet te verwijten. Wel dat hij Erdos' wetenschappelijke output, 1475 wiskundige artikelen, niet aan een verhelderende analyse onderwerpt. Nergens waagt Hoffman een poging uit te leggen wat Erdos' voornaamste bewijzen in essentie inhouden, legt hij uit waarin hun schoonheid schuilt, onderzoekt hij het kenmerkende van hun stijl. Paul Erdos, zo is de conclusie, verdient een betere biograaf. Intussen blijft het raadsel intact.