Het geheim van de groenteman; EFFICIËNTSTE MANIER OM BOLLEN TE STAPELEN IS NU BEWEZEN

DE ZESTIENDE-eeuwse Engelse ontdekkingsreiziger en avonturier Sir Walter Raleigh zal niet hebben vermoed dat een simpel vraagje over kanonskogels nog eens zou leiden tot een wiskundige speurtocht die - naar het zich laat aanzien - onlangs pas ten einde is gekomen. Hij wilde wel eens weten of er een formule was om snel het aantal kanonskogels te berekenen die in stapels op het dek van zijn schip lagen.

Voor zijn assistent Thomas Harriot was dat geen echt moeilijke vraag, maar hij raakte op zijn beurt geïntrigeerd door een meer algemeen probleem: wat was eigenlijk de meest efficiënte manier om bollen te stapelen? Dat ging zíjn wiskundig inzicht in elk geval te boven en daarom riep hij in 1606 de hulp in van Johannes Kepler, die er vijf jaar over deed om met een antwoord te komen. De dichtste bolstapeling was volgens hem degene die een groenteboer tegenwoordig nog altijd gebruikt om sinaasappels te stapelen. Eerst maak je een grondlaag, waarin elke bol is omringd door zes andere. Vervolgens leg je de bollen van tweede laag in de holtes van de eerste, en zo verder. Wie zo stapelt vult 74 procent - of om precies te zijn gedeeld door de wortel uit 18 - van de beschikbare ruimte op. Maar het lukte Kepler niet om te bewijzen dat het écht niet beter kon. Dat bleek zelfs voor hem een onmogelijke opgave. Sinds 1611 hebben echter vele andere (grote) wiskundigen tevergeefs pogingen ondernomen om het 'vermoeden van Kepler' netjes te bewijzen. En tot nu toe zonder succes.

GAUSS

Er zijn een heleboel manieren waarop je bollen in een doos kunt krijgen. En wie wil bewijzen dat er één daarvan het beste is, zal van al die anderen moeten aantonen dat ze méér ruimte overlaten. Het was Friedrich Gauss die in de negentiende eeuw voor het eerst echt vooruitgang wist te boeken, toen hij bewees dat de sinaasappelstapeling het meest efficiënt is van alle regelmatige roosterstapelingen. Vervolgens duurde tot het begin van de jaren vijftig voordat er weer wat meer zicht kwam op een oplossing. De Hongaarse wiskundige Laszlo Tóth wist het probleem terug te brengen tot een enorme berekening van een groot aantal specifieke gevallen. Hoewel hij liet zien dat het niet noodzakelijk was om het bewijs te leveren voor een onbeperkt aantal bollen, vroeg zijn methode nog zoveel rekenwerk dat pas met het beschikbaar komen van snelle computers het bewijs binnen handbereik leek te komen.

De situatie deed sterk denken aan het vier-kleurenprobleem, de vraag hoeveel kleuren nodig zijn om de landen van willekeurig welke landkaart, hoe ingewikkeld ook, van elkaar te kunnen onderscheiden. Ook dat kon pas worden bewezen toen het met wat wiskundig redeneerwerk was teruggebracht tot een aantal kleinere problemen, die met behulp van de computer konden worden nagerekend.

Op zichzelf is dat - ook voor wiskundigen - een wat onbevredigende situatie. De opwinding was daarom des te groter toen in 1991 de wiskundige Wu-Yi Hsiang van de universiteit van Berkeley beweerde een 'klassiek' bewijs te hebben gevonden zonder de computer te hoeven inschakelen. Zijn honderd pagina's lange manuscript bleek echter niet iedereen tevreden te kunnen stellen. Zo ging hij uit van een aantal beweringen die uiterst simpel konden worden weerlegd. Uiteindelijk kwam er nog wel een revisie, maar de belangstelling voor zijn werk was toen al weg: het stoelde op te veel onvoldoende onderbouwde claims. Zo bleef alleen de methode-Tóth over, een weg die met name door Thomas Hales van de universiteit van Michigan werd gevolgd. Maar die bleek sneller dan verwacht succesvol: op zondag 9 augustus kondigde hij in een e-mailbericht zijn collega's aan dat hij het bewijs had gevonden (zie (http://www.math.lsa.umich.edu/ ~hales/countdown/). Hij was stug doorgegaan met het doorrekenen van configuraties van vijftig bollen. Omdat de positie van elke bol door drie coördinaten wordt bepaald, heeft de vergelijking die de efficiëntie van de pakking beschrijft niet minder dan 150 variabelen. Van die functie moet dus het maximum worden gevonden. En daarvoor zijn de gewone methoden niet meer toereikend.

VLIEGTUIG

Stel dat je het hoogste punt van een onbekend gebergte wil bepalen. Daartoe neem je een vliegtuig waarmee je op een vaste hoogte rondjes gaat vliegen. Door steeds lager te gaan en de vlieghoogte te noteren, kom je voortdurend dichter bij de top van de hoogste berg. Maar je moet wel uitkijken dat je niet te laag vliegt. Hales deed iets dergelijks, zij het dat voor een 'gebergte' dat met 150 variabelen wordt beschreven hypervlakken nodig zijn. Bovendien is niet elk willekeurig hypervlak toegestaan en vergt elke 'hoogtebepaling' een enorme hoeveelheid rekentijd op een snelle computer. Anderen hadden op deze manier de maximumwaarde al laten dalen tot 77.31 procent, nog maar een klein stukje verwijderd van de door Kepler vermoede waarde. Hales blijkt nu - samen met een student - systematisch alle mogelijke hypervlakken te hebben doorgerekend, waarmee hij het maximum inderdaad op 74 procent wist te krijgen. Heel belangrijk daarbij was dat hij eerst een efficiënte manier wist te ontwikkelen om de lege ruimte rond elke bol heen te verdelen. Hij houdt zelf nog wat slagen om de arm, omdat zijn bewijs in de vorm van vijf artikelen nog door anderen moet worden gecheckt. Maar blijkens hun commentaar in Science (28 augustus 1998) zijn zijn collega's optimistisch, vooral omdat Hales de door hem te volgen methode al eerder zo nauwkeurig had uiteengezet.

Het zal toch nog wel een paar maanden duren voor de definitieve bevestiging volgt. Maar dan kunnen andere bolstapelingsproblemen worden aangepakt. Want hoe stapel je bollen in meer dan drie dimensies? Of een daarmee samenhangende vraag - het zogenaamde kissing problem: hoeveel identieke bollen passen er rond een gegeven centrale bol? In drie dimensies is het antwoord twaalf, maar in vier dimensies is het nog onzeker. Voor de groenteman op de hoek is dat allemaal van niet belangrijk meer. Maar hij wist natuurlijk al lang dat het niet beter kon.