Op een rijtje; ENGELSE DAME VAN 85 VINDT FORMULE VOOR MAGISCHE VIERKANTEN

'Het is hier een gekkenhuis”, zegt Dame Kathleen Ollerenshaw vanuit Manchester. “Het boek over de magische vierkanten moet officieel nog verschijnen maar nu al heeft het overweldigend succes. Mensen met verstand van zaken die ik het alvast toestuurde, waaronder Martin Gardner en Ian Steward, bedolven ons met loftuitingen. Ik bloos ervan. Binnenkort geef ik bij mij thuis een feestje, al de hele ochtend ben ik bezig met in de tuin een flink looppad te organiseren. Iedereen komt, van de burgemeester tot royal astronomer Sir Bernard Lovell.”

Alle opwinding is begonnen om een bijzonder boek. Het heet Most-perfect pandiagonal magic squares: their construction and enumeration en gaat over een deelgebied van de getaltheorie, de combinatoriek. Kathleen Ollerenshaw, die op 1 oktober 86 jaar wordt, schreef het samen met haar benedenbuurman David Brée, hoogleraar kunstmatige intelligentie aan de Universiteit van Manchester (en pas 59). Het boek geeft - en bewijst - een formule om de magische vierkanten van een speciaal type te tellen, iets wat tot nu toe nog geen wiskundige was gelukt. Het doet Ollerenshaw intens plezier dat zij, ruim veertig jaar nadat ze de wiskunde als beroepsbeoefening vaarwel zei, toch nog met een belangrijk resultaat op de proppen weet te komen. “Het doen van een wiskundige ontdekking is niet voorbehouden aan jeugdigen.”

Magische vierkanten bestaan uit verschillende gehele getallen die zo zijn gerangschikt dat ze opgeteld voor iedere rij en iedere kolom, en ook voor beide hoofddiagonalen, dezelfde uitkomst geven. Neem de eerste rij in de figuur: 0+14+3+13=30. En de tweede: 7+9+4+10=30. Of de derde kolom: 3+4+15+8=30. De diagonaal vam linksonder naar rechtsboven: 11+5+8+6=30. Vindt de leek het al een wonder dat zo'n magisch vierkant van vier bij vier überhaupt kan, bewezen is dat er 880 verschillende mogelijkheden zijn (spiegelingen en rotaties niet meegeteld). De mooiste daarvan bevatten de opeenvolgende getallen 0 t/m 15 (of 1 t/m 16) en heten normaal.

SCHILDPAD

De oudste melding van een magische vierkant is te vinden in een Chinese anekdote, opgetekend in de middeleeuwen. In de regeerperiode van mythologische eerste keizer Yu, (ca. 2200 v.Chr.), werd in de Gele Rivier een dam aangelegd om de overstromingen het hoofd te bieden. Terwijl de keizer in gedachten verzonken aan de oever voor zich uit staarde, verscheen een goddelijke schildpad genaamd Hi. Op zijn rug stonden de getallen 1 t/m 9, in drie rijen van drie en met in het centrum 5, in het oude China een heilig getal. Toen een kind, aldus de overlevering, opmerkte dat de kolommen, rijen en diagonalen steeds als som 15 hadden, was de interpretatie dat er vijftien offers gebracht moesten worden om de goden te behagen.

Hetzelfde magische vierkant duikt veelvuldig op in de islamitische traditie: het zou (in de semitische volgorde) de eerste negen letters van het Arabisch alfabet bevatten. De hoekpunten leveren dan buduh op, soms geïnterpreteerd als de naam van een geest. Het woord werd ter bescherming op muren aangebracht, of op amuletten die om de hals of bovenarn werden gedragen. Ook boden ze steun aan barende vrouwen. Turkse en Indiase krijgers droegen magische vierkanten op hun hemd. In het westen deden ze (waarschijnlijk) pas in de vijftiende eeuw hun intrede. Alchemisten benutten ze in hun pogingen lood in goud te veranderen en ze werden in verband gebracht met de planeten. Op de gravure Melencolia I van Albrecht Dürer staat er een van vier bij vier afgebeeld, met als centrale getallen in de onderste rij 15 en 14, samen het jaartal waarin Dürer de prent voltooide.

Het construeren van magische vierkanten van toenemende grootte is al snel een heidens karwei. Benjamin Franklin (1706-1790) was er aan verslingerd, tot de politiek hem op een ander pad zette. In de loop der eeuwen zijn diverse methoden ontwikkeld om ze te maken, maar geen enkele is uitputtend. Al bij zes bij zes biedt trial and error geen soelaas, zelfs niet voor een computer. Terwijl er 275.305.224 magische vierkanten van vijf bij vijf zijn, is het aantal mogelijkheden van vierkanten vanaf zes bij zes vooralsnog onbekend.

Om toch vooruitgang te boeken, richtten (amateur-)wiskundigen zich toen op magische vierkanten met extra eigenschappen. Bekijken we opnieuw de figuur, en wel speciaal de gebroken diagonalen (die we krijgen door te verspringen). Een voorbeeld is 7, 2, 8 en 13. Samen is dat weer 30. Of: 5 + 15 + 10 + 0 = 30. En: 7 + 14 + 8 + 1 = 30. Magische vierkanten met deze eigenschap heten pandiagonaal. Ook de benamingen 'volmaakt', 'duivels' en 'nasik' komen voor - de laatste is van een Britse missionaris die in 1866, toen hij in Nasik gestationeerd was (een plaats niet ver van Bombay) in een wiskundig tijdschrift een methode publiceerde om ze te construeren. Pandiagonale magische vierkanten hebben de eigenschap dat je door de kolommen en rijen naar buiten toe te herhalen een getallenpatroon krijgt waarbinnen elk vierkant (in dit geval steeds van vier bij vier) opnieuw pandiagonaal magisch is.

Vanzelfsprekend zijn er door de eis aan de gebroken diagonalen minder mogelijkheden, maar in het geval vijf bij vijf zijn het er toch nog altijd 28.800. Daarboven is het aantal onbekend: ook voor pandiagonale magische vierkanten bestaat geen methode die ze allemaal genereert.

Een laatste blik op het afgebeelde vierkant. Bekijken we een willekeurig blokje van twee bij twee getallen, bijvoorbeeld 7, 9, 12 en 2, dan valt op dat de som andermaal 30 is. Ook 2+15+5+8=30, enzovoort. Voor blokjes die voor de helft of voor driekwart buiten het vierkant steken is het niet anders: 14 + 3 + 5 + 8 = 30 en 0 + 11 + 13+6=30. Met deze eigenschap promoveert het pandiagonale vierkant tot perfects (most-perfect). En over deze perfectste pandiagonale vierkanten, die alleen lukken als iedere rij (en kolom) uit 4 of 8 of 12 of... getallen bestaat (een veelvoud van vier), heeft Kathleen Ollerenshaw zich het hoofd gebroken.

Kathleen Ollerenshaw, geboren in 1912 in Manchester, studeerde van 1931-34 wiskunde in Oxford. Vervolgens paste ze haar kennis toe op het Shirley Institute, in die tijd vooraanstaand in katoenonderzoek. Kathleen was een sportief type. Ze was aanvoerder van het vrouwenhockeyteam van Oxford, beklom de toppen van de Dolomieten en werd in 1939 tweede bij de Engelse kampioenschappen kunstrijden op de schaats voor paren. Tijdens de oorlogsjaren, toen haar man in de Noord-Afrikaanse woestijn tegen Rommel vocht, keerde ze, nog maar net moeder, terug naar Oxford als part-time lid van de wetenschappelijke staf, in 1946 resulterend in een proefschrift over de geometrie van getallen.

VAARWEL

In 1953 zei Ollerenshaw haar docentschap aan de Universiteit van Manchester vaarwel om zitting te nemen in de lokale Onderwijscommissie. Het was de start van een zeer gevarieerde bestuurlijke carrière. “Als wiskundige én vrouw was ik een gewild lid van lokale en nationale commissies”, zegt ze. “Ik kon alle beleidsmakers om mijn vinger winden, kreeg makkelijk geld los en kon veel naar mijn hand zetten. Dat bestuurlijke werk heb ik niet opgezocht, ik ben ervoor gevraagd. Hoe gaat dat, het begint met een vergadering per week en voor je er erg in hebt neemt het je totaal in beslag. It's the way the cookie crumbles. Bovendien had ik van mijn ouders meegekregen dat ik als vrouw anderen moest dienen, wiskunde was voor een meisje niet meer dan een hobby waarin ze helemaal kon opgaan, net als in het lezen van romans.”

Ollerenshaw nam zitting in de Manchester gemeenteraad, zelfs werd ze in 1975 gekozen tot burgemeester, een grote eer. Een uitnodiging om zich als Tory kandidaat te stellen voor het parlement sloeg ze af: haar zieke vader en haar gezin hadden haar nabijheid nodig. Nog altijd is ze actief als president van St Leonards kostschool in St Andrews, waar ze in de jaren twintig leerling was, en sinds ze op 79-jarige leeftijd de sterrenkunde als hobby ontdekte, is ze vice-president van de Manchester Astronomical Society.

Ondanks al haar bestuurlijke bezigheden - beloond met vijf eredoctoraten - verloor Ollerenshaw de wiskunde niet uit het oog. In 1964 was ze betrokken bij de oprichting van het IMA, het Institute of Mathematics and his Applications. In 1979 was ze president. Door de IMA-tijdschriften te lezen blijft ze op de hoogte en ook houdt ze via het IMA contact met wiskundigen. Ollerenshaw: “Die leggen me vervolgens wiskundige problemen en puzzels voor. Ook correspondeerde ik met Martin Gardner naar aanleiding van zijn column in Scientific American. Tijdens saaie vergaderingen ga ik daarmee aan de slag, iedereen weet dat. Ook in de trein en in het vliegtuig doe ik aan wiskunde. Regelmatig publiceer ik als uitvloeisel kleine artikelen in Mathematics Today, in het augustusnummer nog een stuk samen met David Brée over het construeren van pandiagonale magische vierkanten.”

Ollerenshaw's interesse in magische vierkanten dateert van begin jaren tachtig. “Het begon allemaal met de kubus van Rubik”, zegt ze. “Ik was een van de eersten in Engeland die er een in handen kregen. Ik was direct verslaafd en publiceerde in Mathematics Today een algemene oplossing. Het bracht me de nodige bekendheid. Zo fanatiek was ik aan het draaien met die kubus dat ik mijn duim blesseerde en een operatieve ingreep moest ondergaan. Toen stapte ik over op de puzzel waarbij je vijftien vlakjes in een vierkant van vier bij vier aan het verschuiven bent. Naar de magische vierkanten is dan maar een kleine stap.”

VERVELING

Op een bijeenkomst in Londen, toen Kathleen uit verveling weer eens met magische vierkanten bezig was, trok ze de aandacht de kosmoloog Sir Hermann Bondi, die naast haar zat. Uit de samenwerking die volgde vloeide de ontdekking voort dat Bernard Frénicle de Bessey, die in 1693 zou hebben bewezen dat er 880 magische vierkanten van vier bij vier bestaan, in feite niet meer had gedaan dan alle mogelijkheden stuk voor stuk langslopen. Samen kwamen Ollerenshaw en Bondi alsnog tot een analytisch bewijs en publiceerden het in de Philosophical Transactions, omdat Bondi fellow is van de Royal Society. Het is een omvangrijk, gezaghebbend artikel dat in brede kring de aandacht trok.

De pandiagonale magische vierkanten kwamen in beeld toen in 1984 vanuit Bremen elektrotechnisch ingenieur Ph. W. Besslich de vraag stelde of Bondi en Ollerenshaw soms wisten of je kon tellen hoeveel pandiagonale vierkanten van acht bij acht er waren, en hoe je er een van 16x16 getallen, of nog groter, kon construeren. Zulke vierkanten zou de Duitser goed kunnen gebruiken bij het verwerken van foto's opgebouwd uit witte en zwarte puntjes, zoals in de krant. Hoe groter de vierkanten, des te groter het aantal grijstinten dat in foto's kon worden aangebracht.

Het tellen van pandiagonale vierkanten bleek onbegonnen werk. Daarom richtte Ollerenshaw zich op het tellen en construeren van de subklasse der perfectste vierkanten. Ook daarvan lopen de aantallen snel op: in het geval acht bij acht zijn het er 368.640. Bewezen kan worden dat het aantal getallen per kolom of rij in zo'n vierkant, n, een veelvoud van vier moet zijn. Ollerenshaw's intuïtie leidde haar naar de formule die vertelt hoeveel van die perfectste vierkanten er zijn voor n gelijk aan 4, 8, 16, 32... (machten van 2). Ze publiceerde haar resultaat in 1989 in het jubileumnummer van IMA Bulletin. In datzelfde artikel kwam ze met een formule voor een nog omvangrijker - maar evenmin complete - groep perfectste vierkanten.

“Die formules had ik gevonden door patronen op te merken en vanuit het bijzondere geval via extrapolatie naar het algemene toe te werken”, zegt Ollerenshaw. “Dat is een allesbehalve solide basis voor wiskunde waarbij je richting oneindig werkt. Ik had dus geen bewijs. Dat stak en vaak moest ik denken aan mijn idool G.H. Hardy, die ik in 1931 nog net in Oxford heb meegemaakt en die hamerde op stricte, wiskundig waterdichte bewijsvoering. Wat ik met de allerperfectste vierkanten gedaan had was niet af en ik heb een gloeiende hekel aan dingen die niet af zijn.”

Intussen was Kathleen's man overleden, had ze vanwege haar leeftijd minder bestuurswerk om handen en kwam er weer volop ruimte voor wiskunde, haar oude liefde. “Steeds als ik de honden uitliet brak ik mijn hersens over die vermaledijde vierkanten”, zegt ze. “Toen kreeg ik in een flits de beslissende ingeving. Ik moest de vierkanten transformeren in eenvoudiger exemplaren en wel zo dat ze één op één bij elkaar hoorden. Wanneer het aantal 'omkeerbare' vierkanten wél in een degelijk onderbouwde formule te vangen viel, was de klus alsnog geklaard. Ik dirigeerde de honden direct naar huis en zette me aan de slag om het idee uit te werken. Al snel dijde de zaak uit en het artikel werd een monografie. En ik moet zeggen: Hardy, die sterk aan wiskundige schoonheid hechtte, zou tevreden zijn.”

Maar eer het zover was, moest er een berg werk verzet worden. Kathleen trok zich terug in haar cottage in het Lake District en werkte in afzondering aan haar vierkanten. “Het was een groot avontuur. Ik zocht het allemaal vanaf de bodem uit, achteraf bleek ik een aantal resultaten van anderen te hebben herontdekt. Ook hanteerde ik een eigen notatie, die afweek van wat de specialisten hanteerden. Wist ik veel. Iedere keer als ik een nieuw tussenresultaat bereikte, voelde ik die enorme euforie. Zeer opwindend.”

Toen het manuscript in 1995, naar Ollerenshaw meende, zijn voltooiing naderde, bleek de wiskundige Hollingdale, die het zou beoordelen, ongeneeslijk ziek. Benedenbuurman David Brée bood, toen hij Kathleen bij de voordeur ontmoette, grootmoedig aan het werkstuk in de paasvakantie te lezen, niet wetend wat hij zich op de hals haalde. Brée, van 1970 tot 1990 hooglaraar psychologie aan de Erasmus Universiteit in Rotterdam, houdt zich in Manchester bezig met kunstmatige intelligentie en natuurlijke taal. “Ik nam het manuscript mee naar Amsterdam, waar ik nog steeds een huis heb”, zegt hij vanuit Manchester. “Al snel besefte ik dat het veel te ingewikkeld was om in een paar dagen door te nemen. Bij terugkeer uit Amsterdam had ik alleen de eerste hoofdstukken van commmentaren en suggesties ter verbetering voorzien. Al die honderden bladzijden met tabellen, het kostte me maanden eer ik in de gaten had wat ze er precies mee bedoelde. Ik werkte aan het manuscript voor het ontbijt.”

LAATSTE HINDERNIS

De conclusie was dat een compleet bewijs nog altijd ontbrak. Inmiddels was het 1996 en zetten Brée en Ollerenshaw zich samen aan de taak dat alsnog te leveren. Gaandeweg bleek dat de methode ook de algemene formule voor het aantal perfectste magische pandiagonale vierkanten genereerde. Maar het strict aantonen van de één op één correspondentie tussen de perfectste vierkanten en de door Kathleen ontdekte omkeerbare vierkanten wilde nog steeds niet lukken.

Die laatste hindernis werd genomen in 1997, toen David Brée voor zeven maanden sabbatical leave naar Stanford toog. “In Manchester communiceerden we door briefjes bij elkaar onder de deur te schuiven”, zegt hij. “Terwijl Kathleen me naar het vliegveld reed zei ik dat het jammer was dat ze geen e-mail had. Toen ik in Californië aankwam, had ze haar eerste mailtje al gestuurd, niet gek voor een dame van ruim in de tachtig. Ik schoof mijn oorspronkelijke plannen voor Stanford terzijde en stortte me op het rond krijgen van ons bewijs. Terwijl Kathleen sliep bekeek ik haar vorderingen, in mijn slaap boog zij zich over de mijne. Toen we slaagden, was dat een enorme bevrijding. Wel was het boek totaal herschreven en was ik van beoordelaar opgeklommen tot co-auteur.”

Nu het boek er daadwerkelijk ligt - er wordt nagedacht over een populaire versie - hebben Ollerenshaw en Brée de taken verdeeld: David houdt zich bezig met de commerciële toepassingen en Kathleen doet de promotie. Er is inmiddels een patent aangevraagd dat betrekking heeft op het coderen en versleutelen van beelden, waarbij perfectste magische vierkanten het grote voordeel hebben dat ze door hun structuur beelden vrijwel in tact laten als een brok digitale informatie onverhoopt wegvalt.

Kathleen op haar beurt heeft het voor elkaar gekregen dat in november boekhandel Blackwell's zijn uitgebreide filiaal in Manchester heropent met een speciaal programma rond het boek. Het stofomslag, dat ze op de dag van Lady Di's begrafenis in een treincoupé in Frankrijk ontwierp, heeft Kathleen voor 150 Pond opnieuw laten drukken, ditmaal voorzien van een selectie van de complimenten die bevriende wiskundigen - Kathleen heeft er zeer vele - haar genereus toestuurden. Als het boek eenmaal loopt, en wie twijfelt daar nog aan, is ze van plan op basis van haar magische vierkanten spelletjes te ontwerpen. “Ik heb een dozijn ideeën, één groot plezier. En als het geen plezier geeft, is het de moeite niet waard.”

Kathleen Ollerenshaw en David Brée. Most-perfect pandiagonal magic squares: their construction and enumeration. ISBN 0 90501 06X. Te bestellen bij het Institute of Mathematics and its Applications, Engeland. Tel. (00) 44 1702 354020. E-mail: publications@ima.org.uk.