Tranen om Pierre de Fermat; Een wiskundige erfenis

Simon Singh: Het laatste raadsel van Fermat - Het verhaal van een stelling die de grootste geesten der aarde 358 jaar lang tot wanhoop dreef. Uit het Engelse vertaald door Mea Flothuis, De Arbeiderspers, 367 blz. ƒ59,90

Oo 23 juni 1993 sloot de Britse wiskundige Andrew Wiles een serie van drie congresvoordrachten in Cambridge af met een bewijs van de beroemde Laatste Stelling van Fermat. Dat was een wiskundige sensatie van de eerste orde. Sinds Pierre de Fermat omstreeks 1637 die stelling in de marge van een uitgave van Diophantus' Arithmetica gekrabbeld had, met de opmerking dat hij er een prachtig bewijs voor had gevonden dat helaas niet in de kantlijn paste, hadden de grootste wiskundigen er hun tanden al op stukgebeten. Niemand had Fermats bewijs kunnen reconstrueren.

De uitdaging om toch een bewijs te leveren dan wel om aan te tonen dat de stelling niet waar was, had de wiskundige wereld meer dan 300 jaar achtervolgd. Daarbij was gaandeweg duidelijk geworden dat Fermats stelling niet zo maar een curiositeit was, maar een stelling die verbonden was met allerlei centrale onderzoeksvragen. De stelling houdt in dat de vergelijking xn + yn = zn geen oplossingen heeft in positieve gehele getallen als n groter is dan 2.

Hele nieuwe takken wiskunde hadden hun ontwikkeling mede te danken aan mislukte bewijspogingen van de stelling van Fermat. De opwinding in de wiskundige gemeenschap toen Wiles zijn bewijs bekendgemaakte was dan ook enorm. En niet alleen binnen de wiskunde: kranten brachten het nieuws in grote opmaak en op tal van plaatsen werden speciale Fermat-dagen georganiseerd die volle zalen trokken.

In het najaar van 1993 sloeg het noodlot echter toe. Tijdens het refereeproces ontdekte Nick Katz een wezenlijke lacune in het 200 pagina's tellende bewijs. Aanvankelijk meende Wiles er wel een mouw aan te kunnen passen, maar dat bleek ijdele hoop. Op 4 december 1993 maakte Wiles zelf aan alle geruchten een einde door een e-mail rond te sturen met de boodschap dat er inderdaad een probleem was, dat hij daarom zijn manuscript nog niet verder wilde verspreiden, en dat hij hoopte begin februari het gat gedicht te hebben. Opnieuw ijdele hoop, zoals blijken zou. Van de hoogte toppen van de Olympus was Wiles in de diepste afgrond gevallen. De gehele wereld keek over zijn schouder mee. Hoe moest hij onder zulke omstandigheden zijn kalmte bewaren en zijn concentratie hervinden? Het leek een onmenselijke opgave.

Drama

Een schrale troost was de waardering en de bewondering die hij ondanks alles in vakkringen had geoogst. Wat hij gepresteerd had, was op zichzelf beschouwd namelijk toch baanbrekend en revolutionair: het waren onderzoeksresultaten van het allerhoogste niveau. Maar de kroon op het werk ontbrak.

Niemand die de BBC-Horizon documentaire over de laatste stelling van Fermat gezien heeft, zal de beelden vergeten was Andrew Wiles, die voor de camera ten slotte de dramatische ontknoping beschrijft: 'Plotseling, volkomen onverwacht, kwam die ongelofelijke flits van inzicht (..) Ik bleef wel twintig minuten ongelovig naar mijn aantekeningen staren. De rest van de dag liep ik rond door het instituut, maar telkens ging ik weer terug naar mijn bureau om te zien of het er nog steeds was. Het was er.'

Wiles had bedachtzaam en aarzeleng gesproken. Maar toen stokte zijn stem, en de tranen sprongen in zijn ogen. Hij had het, zei hij, die dag aan niemand durven vertellen. De volgende ochtend controleerde hij thuis opnieuw alle stappen van het bewijs. Om 11 uure was hij klaar. Hij ging naar beneden, en zei tegen zijn vrouw Nada: 'Ik heb het! Ik denk dat ik het gevonden heb!' De maand daarna besteedde hij aan het uitschrijven van het bewijs. Er kwamen geen nieuwe obstakels aan het licht en in 1995 verscheen het bewijs in de Annals of Mathematics.

Dramatiek en human interest kunnen dit verhaal dus niet ontzegd worden en dat zal voor een deel ook de fascinatie bij een groot publiek verklaren, al zullen maar weinigen de wiskunde erachter zelfs maar benadering kunnen volgen. De emotie van Wiles, het enthousiasme en de belangloze bewondering van zijn collega's, de impact van zijn resultaten op het gehele onderzoek in de zuivere wiskunde, dat alles kwam in de BBC-documentaire duidelijk uit de verf.

Dat geldt zeker ook voor het boek dat Simon Singh, een van de makers van de film, mede op basis van het verzamelde materiaal heeft geschreven. Het is breed opgezet, goed gedocumenteerd, wiskundig verantwoord en ook voor beginners begrijpelijk. Natuurlijk is het ook voor Singh een onmogelijke opgave om het bewijs, een tour de force waar Wiles meer dan zeven jaar aan had gewerkt, voor leken te verklaren. Daarvoor ligt die theorie eenvoudig veel te diep. Er zijn op dit moment hooguit enige tientallen experts die alle details van het bewijs kunnen volgen.

Wat leer je dan wel uit dit boek, en waarom is het ook voro niet-wiskundigen zulke fascinerende lecteuur? Allereerst is daar de historie van het probleem, die teruggaat tot de oude Babyloniërs en de Stelling van Pythagoras, de directe inspiratiebron van Fermats observatie. De wiskunde die daarbij hoort, is ook voor beginners nog helemaal te volgen. Dat zou met enige moeite ook wel opgaan voor het geval n = 4 van Fermats stelling, het enige geval waarvoor Fermat zelf een bewijs heeft nagelaten. Singh neemt daarvan echter de details niet op, en ook verder volstaat hij met globale beschrijvingen en anekdotes. Wel geeft hij af en toe eenvoudige bewijzen van ander elementaire wiskundige resultaten die niet direct met de stelling van Fermat verbonden zijn, maar die toch iets laten zien van de manier waarop in de wiskunde stellingen worden bewezen. Zo kan de beginner toch kennismaken met echte wiskunde zonder gelijk in het diepe te springen.

Vage notie

'Sire, er is geen koninklijke weg in de wiskunde', moet Archimedes geantwoord hebben op de vraag van koning Hiero van Syracuse om hem nu eens kort in de geheimen van de wiskunde in te wijden. Ook het boek van Singh kan degenen die echt willen weten hoe het zit alleen maar verwijzen naar de uitgebreide vakliteratuur. De meeste lezers zullen echter vooral geïnteresseerd zijn in de culturele achtergronden. Iedereen is ervan overtuigd dat wiskunde in de wetenschap en techniek en onmisbaar hulpmiddel is dat zijn nut telkens weer bewijst, maar weinigen hebben meer dan een vage notie van wat wiskunde nu eigenlijk is, en wat de beoefenaars ervan voor mensen zijn.

Het is niet eenvoudig om op zulke vragen een bevredigend antwoord te geven. Je kunt om te beginnen zeggen dat abstractie het wezen van de wiskunde is. Wiskundigen onderzoeken abstracte structuren die zij aantreffen in de werkelijkheid of die ze los van de werkelijkheid construeren. Dat kunnen getallenstructuren zijn, of meetkundige structuren, structuren van vorm, van beweging, van symmetrie, of van taal van logica. Getallenstructuren hebben de mensheid al gefascineerd vanaf het moment dat de eerste contouren van het getalbegrip zichtbaar werden, en het grote succes van het kinderboek De Telduivel van Hans Magnus Enzensberger (Boeken 13-3, CS 27-2-98) laat zien dat er op dat gebied nog niets veranderd is.

Bij de laatste stelling van Fermat is de bron van alle belangstelling ervoor misschien vooral gelegen in de verwondering over het feit dat zo'n eenvoudige uitspraak over gehele getallen aanleiding geeft tot een van de grootste intellectuele uitdagingen die de mensheid gekend heeft.

Fermat's Last Theorem van Simon Singh is in een Nederlandse vertaling verschenen onder de wat kinderachtig klinkende titel Het laatste raadsel van Fermat, als Fermat een soort quiz-master zou zijn geweest. Misschien was de uitgever of vertaler bang dat het woord 'stelling' in de titel kopers zou afschrikken. 'De laatste stelling van Fermat's is echter gewoon de algemeen gebruikelijke wiskundige vakterm, en die had dan ook zo vertaald moeten worden. We spreken toch ook niet over Einsteins betrekkelijkheidstheorie of over Darwins ontwikkelingstheorie?

Dat neemt niet weg dat Singhs boek zonder twijfel het beste in zijn soort is, veel beter bijvoorbeeld dan het al eerder in vertaling verschenen Fermatboek van Amir d. Aczel, dat wemelt van de fouten en de slordigheden. Uiterst betreurenswaardig, want ook al zul je als leek niet alle details kunnen volgen en controleren, toch wil je graag of kunnen gaan op de deskundigheid van de gids die je het onbekende gebied binnenloodst. Bij Singh ben je wat dat betreft in goede handen, bij Aczel helaas niet.