Het vak van de toekomst; Wiskunde zonder formules

Ian Stewart: Life's Other Secret. The New Mathematics of the Living World. Allen Lane/The Penguin Press, 285 blz. ƒ 69,65

Ivars Peterson: The Jungles of Randomness. Mathematics at the Edge of Certainty, Penguin Books, 239 blz. ƒ 42,55

Hoe is het leven op aarde ontstaan? Hoe heeft het zich ontwikkeld? Wat zijn de kenmerken? Wat is het verschil tussen levende en dode materie? Is er eigenlijk wel een principieel verschil? Sinds 1953 weten we dat we de antwoorden op dit soort vragen in de moleculaire biologie moeten zoeken. Toen ontdekten Crick en Watson de dubbele helixstructuur van DNA, waarmee in één klap twee raadsels tot klaarheid gebracht werden: hoe organische cellen zichzelf reproduceren en hoe erfelijke eigenschappen worden vastgelegd.

Reproductie vindt plaats doordat de dubbele helix zich overlangs in tweeën splitst, waarbij elke helft zichzelf met behulp van de omringende grondstoffen uit de cel weer tot een exacte kopie van het origineel aanvult. De genetische informatie in DNA ligt vast in de volgorde van speciale moleculaire groepen, de zogenaamde basen, die de twee strengen van de dubbele helix met elkaar verbinden. Groepjes basen vormen samen de genen die bepalen welke eiwitten door de betreffende cel kunnen worden geproducerd. Simpel gezegd ligt op die manier het bouwschema van het gehele organisme vast in het DNA van de celkernen.

Het in kaart brengen van het menselijk genoom, dat wil zeggen het bepalen van de volledige basenvolgorde op de DNA-moleculen in onze celkernen, is een reuzenproject waarmee reeds indrukwekkende vorderingen zijn gemaakt. We begrijpen inmiddels ook al veel beter hoe celdeling in zijn werk gaat en hoe DNA-moleculen de vorming van eiwitten, de bouwstenen van ons lichaam, reguleren. De moleculaire biologie lijkt daarmee de aangewezen discipline te zijn om op den duur de grote raadselen van het leven bloot te leggen.

Patronen

Volgens Ian Stewart, hoogleraar wiskunde aan de universiteit van Warwick en een van de meest succesvolle popularisatoren van de wiskunde van dit moment, is dit echter maar een deel van het verhaal. In zijn nieuwste boek Life's Other Secret betoogt hij dat er minstens zoveel raadselen te ontcijferen zijn op een heel ander niveau, het niveau van patronen en structuren. Is het wel waar dat alleen de genen verantwoordelijk zijn voor alle specifieke vormen van groeiwijzen van levende organismen? Of worden die mede bepaald door andere, fysische, chemische en wiskundige mechanismen? Ligt in de genen vast hoe de neuronen in onze hersenen gerangschikt zijn, hoe de longblaasjes gevormd worden en functioneren, hoe de hartspier samentrekt, hoe kanker ontstaat? Bepalen genen de strepen op een tijger en de vlekken op een panter, de patronen op een vlindervleugel, de kleurenbanen op de huid van tropische vissen? Of ontstaan al die gecompliceerde structuren voor een groot deel vanzelf, dat wil zeggen onder invloed van de omstandigheden en de gewone wetten van de fysica? Kunnen we het ontstaan van zulke patronen op de computer simuleren en op die manier iets te weten komen over hoe het in werkelijkheid gaat?

Neem bijvoorbeeld de spiralen die voorkomen op de schubben van een dennenappel, een ananas of op de zaadbodem van een zonnebloem. Je ziet daarbij steeds tegelijkertijd twee soorten spiralen, linksom draaiend en rechtsom draaiend. Als je ze telt, krijg je haast altijd getallen uit de zogenaamde rij van Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., een rij waarin elke term de som is van zijn twee voorgangers. Waarom? In 1993 gaven Stéphane Douady en Yves Couder het antwoord. Zij verklaarden het ontstaan van de Fibonacci-spiralen met behulp van een eenvoudig wiskundig model voor het groeiproces. Of bekijk de kleurenbanen die op schelpen of tropische vissen ontstaan tijdens de groei. Ook het ontstaan van die patronen kan men eenvoudig wiskundig modelleren, de eerste die zulke modellen beschreef was niemand minder dan de beroemde wiskundige en logicus Alan Turing, een van de vaders van de moderne computer.

Niet bekend

Het is pure wiskunde, maar de resultaten ervan maken wel aannemelijk dat er soortgelijke mechanismen ten grondslag liggen aan de regulering van de gecoördineerde beenbewegingen van honden, paarden, olifanten en andere dieren. Ook het lopen van insecten, tot duizend- en miljoenpoten toe, kan men op deze wijze natuurgetrouw modelleren.

Toonladders

Anders dan bijna iedereen tegenwoordig schijnt te denken, is wiskunde niet een soort hogere rekenkunde. Gecijferdheid heeft net zoveel met wiskunde te maken als het spelen van toonladders met muziek, dat wil zeggen vrijwel niets. Wiskunde is de wetenschap van patronen en structuren.

Volgens Ian Stewart kan alleen een samenspel van wiskunde en biologie helpen de structurele eigenschappen van het leven verder te verklaren. Voor hem is wiskunde, naast DNA, het andere geheim van het leven. In zijn visie zal de wiskunde in de komende eeuw dan ook wezenlijke bijdragen kunnen leveren aan de oplossing van belangrijke levensvragen.

Verfrissend is in zijn betoog de totale afwezigheid van hersenschimmen als 'zelfzuchtige genen', 'Gaia-hypothese', mysterieuze natuurkrachten en andere hokus-pokus die je nogal eens aantreft in boeken over evolutie en erfelijkheid. Life's Other Secret is een boek vol uitdagende en prikkelende ideeën, meeslepend geschreven zonder formules en technische uitwijdingen.

Veel materiaal voor zijn boek heeft Stewart al eerder gepubliceerd in zijn wiskunderubriek in The Scientific American. De wiskundige Ivars Peterson verzorgt net zo'n rubriek in Science News, en net als Stewart bewerkt ook Peterson geregeld series artikelen tot een samenhangend boek rond een bepaald thema. In The Jungle of Randomness, zijn meest recente boek, draait alles om kansen en toeval. Ook hierin geen formules, wat niet wegneemt dat Peterson in gewone taal allerlei lastige wiskundige zaken ook voor buitenstaanders duidelijk weet te maken. De wortels van de kansrekening liggen in het dobbelspel. Iedere ervaren dobbelaar weet dat je een winstkans hebt van meer dan vijftig procent als je wedt dat je in hoogstens vier worpen een zes kunt gooien. Maar wanneer je meent, net als Chevalier de Méré in de zeventiende eeuw, dat het dus ook profijtelijk is om te wedden dat je met twee dubbelstenen in hoogstens zes maal vier worpen een dubbelzes kunt gooien, kom je bedrogen uit, zoals De Méré tot zijn schade had ondervonden. Pascal kon de onfortuinlijke edelman voorrekenen dat die kans op dubbelzes in 24 worpen inderdaad minder dan vijftig procent bedraagt.

Potpourri

Het boek van Petersen is veel meer een potpourri dan dat van Stewart. Hij brengt sterk uiteenlopende onderwerpen ter sprake: kansspelen, Brownse beweging, chaos, fractals, combinatoriek, foutenherstellende codes, de anatomie van virussen, de loopbeweging van zoogdieren (inderdaad, hetzelfde verhaal als bij Stewart!) en het optreden van opzienbarende coïncidenties. Vooral dat laatste hoofdstuk, dat voor een deel gebaseerd is op materiaal dat Frederick Mosteller en Persi Diaconis in de loop der jaren verzameld hebben, is leerzaam en vermakelijk.

Vaak hebben opzienbarende toevalligheden bij nader onderzoek toch een plausibele oorzaak. Maar in veel gevallen kan ook worden berekend dat de kans op het optreden van zo'n verbazingwekkende gebeurtenis helemaal zo klein niet is. Hoe groot schat u bijvoorbeeld de kans op een serie van zes maal kop achter elkaar bij 250 keer tossen? Of neem het verhaal van de vrouw uit New Jersey die in 1986 binnen vier maanden tweemaal een miljoenenprijs in een loterij won. Natuurlijk had zij enorm veel geluk, maar de kans dat er in de loop der jaren zoiets bij iemand gebeurt, is helemaal niet zo klein, gezien de vele loterijen die er op de wereld plaatsvinden en de miljoenen mensen die er aan meedoen.

Het standaardvoorbeeld op dit gebied is de verjaardagenparadox. De kans dat er in een willekeurige groep mensen twee op dezelfde dag jarig zijn, is al meer dan 50 procent als de groep slechts 23 leden telt! En bij slechts zeven personen is de kans op twee verjaardagen die niet meer dan een week verschillen, ongeveer 60 procent. Denk nu niet dat het hierbij slechts gaat om een frivool tijdverdrijf, de 'birthday attack' is een uiterst serieuze en vaak succesvolle methode om geheime sleutels van cryptosystemen te achterhalen, en die methode is precies op dit soort principes gebaseerd.

    • Jan van de Craats