Bal & bom

WAT IS DE overeenkomst tussen de voetbalbal en de laaste atoomproeven? In de eerste plaats dat Pakistan er zo'n belangrijke rol in speelt, natuurlijk. Maar er is meer: zowel voor de voetbal als voor de atoombom die Pakistan beproefde is waarschijnlijk, of beter: mogelijk, eenzelfde ontwerp gebruikt. Zéker is dat, als waar is wat wordt beweerd, dat de Pakistani een Chinees ontwerp gebruikten, want de Chinezen aapten de Russen na en de Russen gebruikten met hulp van Klaus Fuchs het Amerikaanse ontwerp. Dan is de bom van Khan eigenlijk de bom van Oppenheimer.

Het ontwerp van de voetbal is bekend genoeg. Hij bestaat uit 12 vijfhoeken en 20 zeshoeken, 32 'panelen' in totaal. De Daily Telegraph dacht dat dat was omdat er ook precies 32 ploegen meedoen aan de komende wereldkampioenschappen. Dat er dus volgend jaar wat meer zouden zijn als ook de overige 150 landen van de wereld meespelen. Maar anderen weten dat het getal 32 meetkundig onvermijdelijk is, zolang men vijf en zeshoeken wenst te combineren in een bolvormig veelvlak.

Die voorkeur voor 32 panelen is er niet altijd geweest, schrijft hofleverancier Adidas in een persbericht dat haar laatste voetbal op de weg naar het AW-labo begeleidde. 'Vroege fabrikanten' maakten een bal met 8 diamantvormige panelen. Later kwamen er ballen met 12, 18, 26 en uiteindelijk 32 panelen. Toen van AW-wege voor het laatst een voetbal werd aangeraakt was dat nog een leren monster dat uit rechthoeken bestond die gedeeltelijk met een veter werden dichtgeregen. Er waren 12 van zulke rechthoeken, heeft het Nederlands Sportmuseum in Lelystad nageteld. Hoe men vandaar op 32 is terechtgekomen is aan de aandacht ontsnapt, ook Lelystad wist het niet eentweedrie boven tafel te krijgen.

Vast staat dat een belangrijke grens werd gepasseerd toen het besluit viel panelen van verschillend formaat, dus vijf- en zeshoeken, toe te staan. Had men, uit wiskundig onbegrip, besloten alleen maar regelmatige veelvlakken toe te staan (dat zijn veelvlakken opgebouwd uit regelmatige veelhoeken die steeds dezelfde hoek met elkaar maken), dan was de keus beperkt geweest. Er zijn zegge en schrijve maar vijf regelmatige veelvlakken, ze heben 4, 6, 8, 12 of 20 vlakken. Die laatste twee, de dodecaëder en de icosaëder, zijn opgetrokken uit vijfhoeken en driehoeken, ze staan hier op het plaatje.

Dat er niet meer van die veelvlakken zoals boven gedefinieerd kunnen zijn, is al aangetoond door de Griek Plato. Zijn elegante bewijs, gebaseerd op het uitputten van mogelijkheden, is te vinden in de Encyclopaedia Britannica en stond een jaar of 35 geleden ook nog in leerboeken stereometrie. Naar Plato heten de vijf veelhoeken de Platonische lichamen. The Platonic solids. De Zwitser Euler heeft ook nog naar de lichamen gekeken en er een handzame formule aan toegevoegd. De som van het aantal hoekpunten en vlakken is gelijk aan het aantal ribben plus twee: Veelvlakformule.

Er was dus groot vertrouwen dat het klopt. Anderzijds was er, tot halverwege deze week, de knagende herinnering aan de zogenoemde 'geodesic domes' van de Amerikaanse architect Buckminster Fuller. Ze ontbreken in geen naslagwerk en lijken te spotten met de beperkingen die Plato aan de koepels oplegt. Want veel van de bolvormige koepels van Buckminster Fuller bestaan uit loutergelijkzijdige driehoeken en er zijn er vele tientallen van.

Nooit goed gekeken en te laat begonnen met denken. Eén druk op Internet en de zaak is opgelost. De driehoeken van BF maken wisselende hoeken met elkaar, door de grote aantallen zijn de verschillen maar klein, maar het is net genoeg. Ze voldoen niet aan de definitie van een regelmatig veelvlak. Er komt het sterke vermoeden bij dat Fuller er waarschijnlijk ook niet in alle gevallen in zou zijn geslaagd zijn driehoeken tot goed sluitende complete bollen te verenigen.

En de goede sluiting van de bol is the proof of the pudding. Dat is een belangrijk inzicht dat men verwerft bij het genoeglijk knutselen met de plastic veelhoeken die voor de afbeelding zijn gebruikt. Het zijn driehoeken en vijfhoeken van Polydron, 'didactisch en ondersteunend materiaal' voor kinderen dat wordt geïmporteerd door Lekopro in Amsterdam. Niet goedkoop, maar mooi genoeg om dat te compenseren. En het materiaal is streng in de leer, het staat geen gesmokkel toe. Veelvlakken die niet tot sluiting zijn te brengen kunnen wiskundig niet door de beugel.

Des te aardiger is de perfecte sluiting van het 32-vlak dat, à la de voetbal, uit vijf- en zeshoeken is op te trekken. Het Polydron-instructieboekje toont een overvloed aan andere goed sluitende bouwsels die vaak een heel regelmatige indruk maken. De wereld stopt niet bij Plato.

Nu gaan we even naar Internetsite www.milnet.com/milnet/ nukeweap voor de laatste details over bouw en samenstelling van kernwapens, zowel de klassieke drie van 1945 als de meer moderne. Toen het Manhattan-team in Los Alamos omstreeks 1943 begreep dat uit plutonium (met veel spontane splijting) geen gun-type bom viel samen te stellen, werd besloten tot de bouw van een implosiebom. Een subkritische hoeveelheid plutonium moest door omringende conventionele springstoffen tot een superkritische dichtheid worden samengeperst. Dat zou alleen lukken als de schokgolven die vanuit de ontstekers aan de buitenzijde van de bom de diepte ingingen precies tegelijk bij het centrum aankwamen. De uiteindelijke oplossing kwam van het gebruik van explosieve lenzen waarin springstoffen van sterk verschillende snelheid werden gecombineerd zoals flint- en kroonglas in goede optische lenzen. De ontstekers moesten zo nauwkeurig mogelijk op regelmatige afstand van elkaar worden aangebracht, anders zouden de springstoffen de plutonium pit uiteenblazen voor hij kritisch was. Rangschikking van de explosieve lenzen op basis van een regelmatig veelvlak lag voor de hand, maar had als hinderlijk bezwaar dat er dan maar hooguit 20 konden worden gemonteerd. Na rijp beraad is besloten tot het concept dat pas veel later in de voetbal zou terechtkomen: 32 ontstekers. Dat werkte.

Daar is het niet bij gebleven. Begin jaren negentig ontdekten chemici de wonderlijke eigenschappen van de buckybal, een kopie van de voetbal op moleculaire schaal, geheel bestaand uit koolstof. Chemische formule: C. Dus 60 hoekpunten, 32 vlakken. Met een viltstift en de Adidasbal als hulpmiddel voegen we er aan toe: en 90 ribben. Conclusie: Eulers veelvlakformule gaat verder dan alleen regelmatige veelvlakken.

    • Karel Knip