'Ook de Babyloniërs deden aan wiskunde voor de lol'; ELEANOR ROBSON WERPT NIEUW LICHT OP BERUCHT KLEITABLET

Eerst werd ze wiskundige, toen assyrioloog. De combinatie maakt Eleanor Robson tot een uniek geleerde. 'De Babyloniërs zijn dezelfde soort mensen als wij, maar toch zo wezenlijk anders.'

'OM HET EVEN of het nu een koninklijk bevel is of een kladje van een scholier, het gevoel een kleitablet in handen te nemen dat in 4.000 jaar door niemand is gelezen is heel opwindend.'' Dr. Eleanor Robson, wiskundige en assyriologe in Oxford, is een levendige, zeer Britse verschijning. Na afloop van de workshop Counting in cuneiform: Old Babylonian arithmetic at school, afgelopen weekend tijdens de Nationale Wiskundedagen in Noordwijkerhout, legt ze met aanstekelijk enthousiasme uit hoe in het oude Mesopotamië het rekenonderwijs in elkaar stak en waarom een kleitablet met intrigerende kwadraten, die de wildste interpretaties hebben opgeroepen, nader beschouwd in nauw verband staat met rechttoe, rechtaan 'knip-en-plak' meetkunde.

Robson studeerde in Warwick, hèt centrum voor wiskunde in Engeland. Dat was bedoeld als opstapje naar theoretische natuurkunde, waar ze zich op de ultieme bouwstenen van de materie wilde storten. Het liep anders. Robson: “In Warwick lopen mensen rond met ongelofelijke wiskundeknobbels en zo vreselijk briljant was ik nu ook weer niet. Ik besloot de geschiedenis van de wiskunde erbij te doen. Op de cursus moesten studenten om beurten een praatje houden. Omdat ik daar tegenop zag wilde ik als eerste, dan was het maar achter de rug. Het onderwerp was Mesopotamië, oudere wiskunde is er niet. Ik kreeg van de docent een stapel materiaal mee en binnen de kortste keren was ik aan het onderwerp verslingerd.”

Zozeer dat u besloot de taal te leren?

“Zeker. Hoe kom ik hierover meer aan de weet, vroeg ik me af. Al snel merkte ik dat ik die kleitabletten in spijkerschrift zelf wilde lezen. Om een lang verhaal kort te maken: ik ging naar Oxford om Akkadisch en Sumerisch te studeren, promoveerde in 1995 op Oudbabylonische lijsten met wiskundige constanten en zit nog altijd op het Oriental Institute.”

Hoeveel collega's heeft u?

“Ha! Met de hand op mijn hart kan ik verklaren dat niemand anders ter wereld èn afgestudeerd is in wiskunde èn verstand heeft van spijkerschrift. Dat wil niet zeggen dat ik moederziel alleen sta. Ik ken twee collega-wiskundigen die op Mesopotamië zitten. Al zijn ze voor het lezen van kleitabletten aangewezen op assyriologen, ze doen fundamenteel werk. Eenzaam ben ik in die zin dat ik nooit iemand àlles kan vertellen.”

Wat ziet uw wiskunde-oog als u de gepubliceerde kleitabletten nog eens naloopt?

“Veel. Een collega stuitte in het British Museum op kleitabletten met spreekwoorden in het Sumerisch, de literaire taal van het tweede millennium. Op de achterkanten van die tabletten zag ik wiskundige berekeningen. Indertijd heeft een assyrioloog die teksten netjes getranslitereerd en gepubliceerd - zonder de wiskunde. Misschien achtte hij die onbelangrijk, of boezemde het hem angst in. Vroeger zijn tabletten met getallen - die eenvoudig te lezen zijn - door wiskundigen afgehandeld. Haal ik het originele spijkerschrift erbij, dan zie ik woorden die anderen nooit opmerkten. Niet dat ze zo moeilijk zijn, maar wie de taal niet kent ontgaan ze.”

De laatste wiskundige met kennis van het spijkerschrift was Otto Neugebauer. Eind jaren veertig stapte die van de Babylonische wiskunde over op die van de oude Egyptenaren. Hoe heeft het terrein sindsdien zo lang braak kunnen liggen?

“Neugebauer was een pionier, zonder zijn bemoeienis is het onderwerp ondenkbaar. Hij heeft prachtig werk gedaan, weinig is fout. Dat na hem een gat is gevallen, komt door zijn hoge status. Neugebauer had het allemaal al eens gedaan, in zijn schaduw staan schrok af. Wellicht dat zijn dood in 1990 de ban heeft doorbroken.”

In uw proefschrift plaatst u de wiskunde van Mesopotamië in een bredere context. Waartoe diende die wiskunde?

“Neugebauer en consorten keken naar de tabletten als op zichzelf staande wiskunde. Ze hadden alleen oog voor inhoud en omvang, niet voor het hoe en waarom. Ik kijk naar de wiskunde als onderdeel van de Babylonische samenleving. Veel tabletten, zo blijkt uit mijn onderzoek, dienden een onderwijsdoel. Ze waren geschreven door leraren om een methode uit te leggen. Of ze hadden dienst gedaan als kladtablet voor leerlingen. Hoe kregen leerlingen wiskundekennis aangereikt, wilde ik weten. Wat deden ze er later mee? Waren er in die honderdduizenden tabletten met gegevens over graanvoorraden, voorspellingen van oogsten, materiaalbeheer en renteberekeningen sporen te vinden van wat op school was geleerd?”

Hoe zat dat wiskundeonderwijs in elkaar?

“Veel tabletten bevatten instructies en ademen de sfeer van een kookboek. Eerst wordt het probleem gesteld. Als een muur 16 el lang is, 6 hoog en 2 breed, en ik gebruik standaardbakstenen, hoeveel heb ik er dan nodig? Volgt de oplossingsmethode. Vermenigvuldig hoogte met breedte en je krijgt een zeker getal. Dat keer de lengte geeft je het volume. Die uitkomst deel je door het volume van je standaardbaksteen en voilà, je hebt het gevraagde aantal. Ziedaar je methode.

“Het zijn òf modeloplossingen als ruggensteuntje voor de leraar, òf ze zijn bedoeld om door leerlingen gekopieerd te worden. In tegenstelling tot de geordende woordenlijsten, waarvan vooral in Nippur zeer veel exemplaren bewaard zijn gebleven, zijn die rekenkundige voorbeeldtabletten relatief zeldzaam. In verschillende locaties vind je vaak dezelfde methode, al zijn de woorden anders. Verder zien we veel tafels van vermenigvuldiging en tabellen met kwadraten en wortels, soms als naslagwerk op nette vier- of zeszijdige kleiprisma's. Door ze steeds opnieuw over te schrijven leerden scholieren die tabellen uit het hoofd.

“Ook leerboeken komen voor. Bijvoorbeeld tabletten met meetkundige figuren vol elkaar snijdende cirkels in vierkanten. Delen van zo'n samengestelde figuur heten koeienneuzen of manen, heel plastisch. Toepassingen stonden voorop. Zo weten we dat graan werd opgeslagen in hopen die de vorm hadden van een afgeknotte piramide. Prompt zie je een tablet met een methode om uitgaande van de hoogte de inhoud te bepalen. Maar ook in Babylonië kruipt het bloed waar het niet gaan kan: op datzelfde piramidetablet worden vragen opgeworpen die iedere toepassing ver achter zich laten: puur wiskunde om de wiskunde.”

Egyptologen worden geteisterd door piramidioten die met de uitzinnigste theorieën komen. Hoe staat het met de aantrekkingskracht van de Babylonische getallen, krijgt u regelmatig dolle post?

“Helaas wel. Altijd gaat het over Plimpton 322. Dat beruchte tablet heeft jammer genoeg meer aandacht getrokken dan alle andere wiskundetabletten bij elkaar. Twee jaar terug was ik het zo zat om briefschrijvers met wilde interpretaties op hun feilen te wijzen, dat ik het tablet erbij heb gepakt en naar beste weten heb geanalyseerd. Mijn conclusie: hier is geen sprake van een Babylonisch genie dat met goniometrische verhoudingen speelt en zo zijn tijd een paar duizend jaar vooruit is, maar van een lijst met specifieke getallen die op school dienst deed binnen doodgewoon onderwijs in knip-en-plak-meetkunde.”

Hoe zat dat, met Plimpton 322?

“Plimpton 322 is een tablet met kolommen getallen. Het komt waarschijnlijk uit de Babylonische stad Larsa, in het huidige Zuid-Irak, en dateert van circa 1800 voor Christus. Hoe het precies zijn weg naar de collectie van Columbia University heeft gevonden, is onduidelijk. Waarschijnlijk is het kort na de Eerste Wereldoorlog opgegraven, geroofd door antiekhandelaren en op de markt in Bagdad verkocht. Een deel van het tablet ontbreekt en de zijkant vertoont lijmsporen. Wellicht zit het andere stuk nog in de grond, of wacht het in Philadelphia of Yale in een la op iemand als ik - zoveel wiskundetabletten zijn nog ongepubliceerd. Ik begreep dat de Amsterdamse wiskundige E.M. Bruins, die overigens met iedereen over alles in de clinch lag, Neugebauer ervan betichtte aan de linkerkant van Plimpton 322 klei te hebben weggekrast om zijn interpretatie aannemelijker te maken. Een waanzinnig verhaal. Eerder denk ik dat een antiekhandelaar in Bagdad, om een beter verkoopbaar product te krijgen, willekeurig stukken kleitablet aan elkaar plakte, waarna in New York een opmerkzame curator of conservator het onbeduidende deel er weer heeft afgebroken.”

Wat maakt Plimpton 322 wiskundig zo intrigerend?

“Neugebauer en Sachs publiceerden hun analyse van het tablet in Mathematical Cuneiform Texts, een boek uit 1945. Eerder hadden assyriologen de inhoud van het tablet als bedrijfscalculaties geïnterpreteerd - wisten zij veel. In werkelijkheid gaat het om wiskunde. Na wat inleidende opmerkingen volgen 15 regels met getallen verdeeld over 4 kolommen. De laatste kolom telt van 1 t/m 15. De twee middelste geven - in het bij Babylonische berekeningen gebruikelijke zestigtallige stelsel - de lengte van de rechthoekszijde en van de hypothenusa van een rechthoekige driehoek. De controverse betreft de getallen in de linkerkolom.

“Wat vele geesten op hol gejaagd heeft, is de haast terloopse opmerking bij Neugebauer dat, als je de driehoeken tekent en de hoek meet, deze steeds met 1° oploopt. In het verlengde hiervan is wel geopperd dat de linkerkolom het kwadraat van een goniometrische verhouding zou voorstellen. En dat terwijl het hoekbegrip pas de eerste eeuw na Christus bij Ptolemaeus als zodanig opduikt. Neugebauer wist dat, liet het bij een terzijde en ging over tot de orde van de dag. Andere historisch geïnteresseerde wiskundigen tilden dat tablet wel uit zijn Mesopotamische context en bekeken het puur op wiskundige mogelijkheden. Het gevolg: Babylonische genieën die zogenaamd hun tijd millennia vooruit waren.

“Waar die mensen geen oog voor hadden waren de beginregels. Een deel van het eerste woord ontbrak, maar is al door Neugebauer correct gereconstrueerd. In 1990 achterhaalde de Deense assyrioloog Jens Hoyrup de betekenis, een technische term uit de Babylonische plak-en-knip-meetkunde die je ook in andere teksten aantreft. Dat is de sleutel. Uit mijn analyse blijkt zonneklaar dat het om een lijst getallen gaat die functioneerde binnen typisch Babylonische sommen. Waarschijnlijk is Plimpton 322 geschreven door een leraar als ruggensteuntje bij het formuleren van problemen voor zijn leerlingen.”

Wat zijn uw vooruitzichten?

“Op het moment hou ik me met twee scholen uit Nippur en Ur bezig. Daarnaast ben ik voor drie jaar aangesteld bij een project dat het hele corpus aan Sumerische literaire teksten in transcriptie en vertaling op internet gaat zetten. Het gaat om zo'n vierhonderd mythen, hymnen, verhalen, zegswijzen, enzovoort - bij elkaar de omvang van Shakespeare. Maar mijn liefde ligt bij de Babylonische wiskunde. Ooit hoop ik mijn Neugebauer en Sachs te schrijven, een geschiedenis van de Mesopotamische wiskunde in zijn maatschappelijke context, van het allereerste begin in 3000 voor Christus tot de tijd van Euclides, ongeveer 300 voor Christus. Alleen ik kan zo'n alomvattend boek schrijven. Eng hè?”